Sách bài tập Toán 9 Bài 1 (Cánh diều): Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn - Cánh diều

Bài 1 trang 9 SBT Toán 9 Tập 1: Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

a) $\frac{13}{4-x^2}=1;$

b) $\frac{x}{2}-\frac{1}{5}=\frac{x^2}{x-3};$

c) $\frac{3}{-5x+5}-3x=\frac{12x}{x^2-1}.$

Lời giải:

a) Ta có: 4 ‒ x² = (2 ‒ x)(2 + x).

Do đó, điều kiện xác định của phương trình $\frac{13}{4-x^2}=1$ là 4 ‒ x² ≠ 0 hay 2 ‒ x ≠ 0 và 2 + x ≠ 0. Do đó x ≠ 2 và x ≠ ‒2.

b) Điều kiện xác định của phương trình $\frac{x}{2}-\frac{1}{5}=\frac{x^2}{x-3}$ là x ‒ 3 ≠ 0 hay x ≠ 3.

c) Điều kiện xác định của phương trình $\frac{3}{-5x+5}-3x=\frac{12x}{x^2-1}$ là ‒5x + 5 ≠ 0 và x² ‒ 1 ≠ 0

⦁ Với ‒5x + 5 ≠ 0 ta có ‒5x ≠ ‒5 hay x ≠ 1;

⦁ Với x² ‒ 1 ≠ 0 ta có (x ‒1)(x + 1) ≠ 0 hay x ≠ 1 và x ≠ ‒1.

Vậy điều kiện xác định của phương trình đã cho là x ≠ 1 và x ≠ ‒1.

Bài 2 trang 9 SBT Toán 9 Tập 1: Giải các phương trình:

Lời giải:

a) $\left(3x+5\right)\left(\frac{12}{5}-2x\right)=0$

3x + 5 = 0 hoặc $\frac{12}{5}-2x=0$

3x = –5 hoặc $-2x=-\frac{12}{5}$

$x=-\frac{5}{3}$ hoặc $x=\frac{6}{5}.$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là $x=-\frac{5}{3}$ và $x=\frac{6}{5}.$

b) (7x ‒1)² = 4(1 ‒ 2x)²

(7x ‒ 1)² ‒ 4(1 ‒ 2x)² = 0

(7x ‒ 1)² ‒ [2.(1 ‒ 2x)]² = 0

(7x ‒ 1)² ‒ (2 ‒ 4x)² = 0

[(7x ‒ 1) ‒ (2 ‒ 4x)].[(7x ‒1) + (2 ‒ 4x)] = 0

[7x – 1 – 2 + 4x].[7x – 1 + 2 – 4x] = 0

(11x ‒ 3)(3x + 1) = 0

11x ‒ 3 = 0 hoặc 3x + 1 = 0

11x = 3 hoặc 3x = –1

$x=\frac{3}{11}$ hoặc $x=-\frac{1}{3}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x=\frac{3}{11}$ và $x=-\frac{1}{3}$

c) Điều kiện xác định của phương trình: $x\ne -\frac{3}{4}.$

$\frac{2x^2}{4x+3}-\frac{4x-3}{8}=1$

$\frac{8\cdot 2x^2}{8\left(4x+3\right)}-\frac{\left(4x+3\right)\left(4x-3\right)}{8\left(4x+3\right)}=\frac{8\left(4x+3\right)}{8\left(4x+3\right)}$

8.2x² – (4x + 3)(4x – 3) = 8(4x + 3)

16x² ‒ (16x² ‒ 9) = 32x + 24

16x² ‒ 16x² + 9 = 32x + 24

‒32x = 24 – 9

‒32x = 15

$x=-\frac{15}{32}$

Ta thấy $x=-\frac{15}{32}$ thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=-\frac{15}{32}$.

d*) Ta có:

x² + 4x ‒ 5 = (x² + 4x + 4) ‒ 9

= (x + 2)² ‒ 3² = (x + 2 – 3)(x + 2 + 3)

= (x ‒ 1)(x + 5).

Điều kiện xác định: x ≠ 1 và x ≠ ‒5.

$\frac{x}{x^2+4x-5}-\frac{2}{x-1}=0$

$\frac{x}{\left(x-1\right)\left(x+5\right)}-\frac{2\left(x+5\right)}{\left(x-1\right)\left(x+5\right)}=0$

x ‒ 2(x + 5) = 0

x ‒ 2x ‒ 10 = 0

‒x = 10

x = ‒10.

Ta thấy x = ‒10 thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = ‒10.

Bài 3 trang 9 SBT Toán 9 Tập 1: Một ô tô đi quãng đường AB dài 61,5 km. Sau khi đi được 30 km với tốc độ không đổi, ô tô đi tiếp quãng đường còn lại với tốc độ tăng thêm 2 km/h. Tính tốc độ ban đầu của ô tô, biết thời gian ô tô đi trên 30 km đầu bằng thời gian ô tô đi trên 31,5 km còn lại.

Lời giải:

Gọi x (km/h) là tốc độ ban đầu của ô tô với x > 0.

Thời gian của ô tô đi với quãng đường 30 km là: $\frac{30}{x}$ (giờ).

Quãng đường còn lại sau khi ô tô đi được 30 km là: 61,5 – 30 = 31,5 (km).

Vận tốc của ô tô khi đi quãng đường còn lại là: x + 2 (km/h).

Thời gian ô tô đi quãng đường còn lại là: $\frac{30}{x}=\frac{31,5}{x+2}.$ (giờ).

Theo bài, thời gian ô tô đi trên 30 km đầu bằng thời gian ô tô đi trên 31,5 km còn lại nên ta có phương trình:$\frac{30}{x}=\frac{31,5}{x+2}$

Giải phương trình:

$\frac{30}{x}=\frac{31,5}{x+2}$

$\frac{30\left(x+2\right)}{x\left(x+2\right)}=\frac{31,5x}{x\left(x+2\right)}$

30(x + 2) = 31,5x

30x + 60 = 31,5x

–1,5x = –60

x = 40 (thỏa mãn điều kiện x > 0).

Vậy tốc độ ban đầu của ô tô là 40 km/h.

Bài 4 trang 9 SBT Toán 9 Tập 1: Một ca nô đi xuôi dòng từ địa điểm A đến địa điểm B, rồi lại đi ngược dòng từ địa điểm B trở về địa điểm A. Thời gian ca nô đi xuôi dòng và thời gian ca nô đi ngược dòng chênh lệch nhau 40 phút. Tính tốc độ của ca nô khi nước yên lặng. Biết rằng độ dài quãng đường AB là 24 km, tốc độ của dòng nước là 3 km/h và tốc độ của ca nô khi nước yên lặng không đổi trên suốt quãng đường.

Lời giải:

Đổi 40 phút = $\frac{2}{3}$ giờ.

Gọi x (km/h) là tốc độ của ca nô khi nước yên lặng với x > 3.

Vận tốc khi ca nô xuôi dòng là: x + 3 (km/h).

Vận tốc khi cano ngược dòng là: x ‒ 3 (km/h).

Thời gian cano xuôi dòng: $\frac{24}{x+3}$ (h).

Thời gian cano ngược dòng: $\frac{24}{x-3}$ (h).

Do thời gian ca nô đi xuôi dòng và thời gian ca nô đi ngược dòng chênh lệch nhau 40 phút ( $\frac{2}{3}$ giờ) mà khi đi xuôi dòng luôn nhanh hơn đi ngược dòng nên ta có phương trình: $\frac{24}{x-3}-\frac{24}{x+3}=\frac{2}{3}.$

Giải phương trình:

$\frac{24}{x-3}-\frac{24}{x+3}=\frac{2}{3}$

$\frac{24\cdot 3\left(x+3\right)}{3\cdot \left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\frac{24\cdot 3\left(x-3\right)}{3\cdot \left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{2\left(x+3\right)\left(x-3\right)}{3\left(x-3\right)\left(x+3\right)}$

24.3(x + 3) – 24.3(x – 3) = 2(x + 3)(x – 3)

72x + 216 ‒ 72x + 216 = 2(x² ‒ 9)

432 = 2x² – 18

–2x² = –450

x² = 225

x = 15 hoặc x = ‒15

Do x > 3 nên x = 15.

Vậy tốc độ của ca nô khi nước yên lặng là 15 km/h.

Bài 5 trang 10 SBT Toán 9 Tập 1: Cho một phân số có mẫu số lớn hơn tử số là 2. Nếu bớt tử số đi 3 đơn vị và bớt mẫu số đi 6 đơn vị thì ta được một phân số mới bằng phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.

Lời giải:

Gọi x là tử số của phân số cần tìm với x ∈ ℤ và x ≠ 0.

Mẫu số của phân số là: x + 2.

Ta có phân số cần tìm có dạng $\frac{x}{x+2}.$ Khi đó ta có điều kiện x ≠ ‒2.

Nếu bớt tử số đi 3 đơn vị và bớt mẫu số đi 6 đơn vị thì phân số có dạng $\frac{x-3}{x+2-6}=\frac{x-3}{x-4}.$

Khi đó, ta có điều kiện x ≠ 4.

Theo bài, phân số mới bằng phân số nghịch đảo của phân số đã cho nên ta có phương trình: $\frac{x-3}{x-4}=\frac{x+2}{x}.$

Giải phương trình:

$\frac{x-3}{x-4}=\frac{x+2}{x}$

$\frac{\left(x-3\right)x}{\left(x-4\right)x}=\frac{\left(x+2\right)\left(x-4\right)}{x\left(x-4\right)}$

(x – 3)x = (x + 2)(x – 4)

x² ‒ 3x = x² ‒ 4x + 2x ‒ 8

x² – x² – 3x + 4x – 2x = ‒8

‒x = ‒8

x = 8.

Với x = 8 thoả mãn x ∈ ℤ và x ≠ ‒2; x ≠ 0; x ≠ 4.

Như vậy, phân số cần tìm có tử số là 8 và mẫu số là 8 + 2 = 10.

Vậy phân số cần tìm là $\frac{8}{10}$

Bài 6 trang 10 SBT Toán 9 Tập 1: Biết khối lượng riêng của kim loại A lớn hơn khối lượng riêng của kim loại B là 6,24 kg/m³. Thể tích của 45 kg kim loại B bằng thể tích của 149 kg kim loại A. Tính khối lượng riêng của kim loại B.

Lời giải:

Gọi x (kg/m³) là khối lượng riêng của kim loại B với x > 0.

Khối lượng riêng của kim loại A là: x + 6,24 (kg/m³).

Thể tích của 45 kg kim loại B là: $\frac{45}{x}$ (m³).

Thể tích của 149 kg kim loại A là: $\frac{149}{x+6,24}$ (m³).

Do thể tích của 45 kg kim loại B bằng thể tích của 149 kg kim loại A nên ta có phương trình: $\frac{45}{x}=\frac{149}{x+6,24}.$

Giải phương trình:

$\frac{45}{x}=\frac{149}{x+6,24}$

$\frac{45\left(x+6,24\right)}{x\left(x+6,24\right)}=\frac{149x}{x\left(x+6,24\right)}$

45(x + 6,24) = 149x

45x + 280,8 = 149x

–104x = –280,8

x = 2,7.

Ta thấy x = 2,7 thỏa mãn x > 0.

Vậy khối lượng riêng của kim loại B là 2,7 kg/m³.

Bài 7 trang 10 SBT Toán 9 Tập 1: Bác Lan dự định dùng hết số tiền 480 nghìn đồng để mua gạo nếp gói bánh chưng nhân dịp tết Nguyên đán. Khi đến cửa hàng, loại gạo mà bác Lan dự định mua đã tăng 2 nghìn đồng/kg. Do vậy, bác Lan đã mua lượng gạo giảm $\frac{1}{16}$ lần so với dự định. Tính giá tiền mỗi kilôgam gạo mà bác Lan đã mua.

Lời giải:

Gọi x (nghìn đồng) là giá tiền mỗi kilôgam gạo mà bác Lan đã mua với x > 2.

Giá tiền mỗi kilôgam gạo bác Lan dự định mua là: x ‒ 2 (nghìn đồng).

Lượng gạo thực tế mà bác Lan đã mua là: $\frac{480}{x}$(kg).

Lượng gạo bác Lan dự định mua là: $\frac{480}{x-2}$ (kg).

Do lượng gạo đã mua giảm $\frac{1}{16}$ lần so với dự định nên ta có phương trình: $\frac{480}{x}=\frac{15}{16}\cdot \frac{480}{x-2}.$

Giải phương trình:

$\frac{480}{x}=\frac{15}{16}\cdot \frac{480}{x-2}$

$\frac{1}{x}=\frac{15}{16}\cdot \frac{1}{x-2}$

$\frac{16\left(x-2\right)}{16x\left(x-2\right)}=\frac{15x}{16x\left(x-2\right)}$

16(x ‒ 2) = 15x

16x ‒ 32 = 15x

x = 32.

Ta thấy x = 32 thỏa mãn điều kiện x > 2.

Vậy giá tiền mỗi kilôgam gạo mà bác Lan đã mua là 32 nghìn đồng.

Bài 8 trang 10 SBT Toán 9 Tập 1: Một mảnh vườn có dạng hình chữ nhật với chiều rộng là 10 m. Chủ vườn đã làm con đường thảm cỏ (phần tô màu xám) với các kích thước như Hình 2.

a) Tính chiều dài của mảnh vườn, biết tỉ số giữa diện tích của con đường thảm cỏ và diện tích của mảnh vườn là $\frac{1}{3}$

b) Biết rằng chi phí để hoàn thành mỗi mét vuông của con đường thảm cỏ là 100 000 đồng. Tính số tiền mà chủ vườn đã chi để làm con đường thảm cỏ đó.

Lời giải:

a) Gọi x (m) là chiều dài của mảnh vườn với x > 10.

Khi đó, diện tích của mảnh vườn là 10x (m²).

Con đường thảm cỏ được chia thành:

⦁ 2 phần đường cỏ hình chữ nhật có chiều dài 10 m và chiều rộng 1 m;

⦁ 2 phần đường cỏ hình chữ nhật có chiều dài x – 1 – 1 = x – 2 (m) và chiều rộng 1 m;

⦁ 1 phần đường cỏ hình bình hành có đáy 1 m và chiều cao ứng với cạnh đáy là 10 – 1 – 1 = 8 (m).

Diện tích của con đường thảm cỏ là:

2.10.1 + 2.(x ‒2).1 + 1.8

= 20 + 2x ‒ 4 + 8 = 2x + 24 (m²).

Theo bài, tỉ số giữa diện tích của con đường thảm cỏ và diện tích của mảnh vườn là $\frac{1}{3}$ nên ta có phương trình: $\frac{2x+24}{10x}=\frac{1}{3}.$

Giải phương trình:

$\frac{2x+24}{10x}=\frac{1}{3}$

$\frac{3\left(2x+24\right)}{3\cdot 10x}=\frac{10x}{3\cdot 10x}$

3(2x + 24) = 10x

6x + 72 = 10x

–4x = –72

x = 18.

Ta thấy x = 18 thỏa mãn điều kiện.

Vậy chiều dài của mảnh vườn là 18 m.

b) Diện tích của con đường thảm cỏ là 2.18 + 24 = 60 (m²).

Do chi phí để hoàn thành mỗi mét vuông của con đường thảm cỏ là 100 000 đồng nên số tiền chủ nhà đã chi để làm con đường thảm cỏ đó là:

60 . 100 000 = 6 000 000 đồng.

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 9 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 3: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Bất đẳng thức

Bài 2: Bất phương trình bậc nhất một ẩn