Sách bài tập Toán 9 Bài 2 (Cánh diều): Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông - Cánh diều

Bài 10 trang 84 SBT Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại C có $AC=\frac{5}{13}AB.$ Tính sin A và tan B.

Lời giải:

Vì tam giác ABC vuông tại C, theo định lí Pythagore ta có:

AB² = AC² + BC²

Suy ra BC² = AB² – AC²

$=A{B}^2={\left(\frac{5}{13}AB\right)}^2=A{B}^2-\frac{25}{169}A{B}^2=\frac{144}{169}A{B}^2.$

Do đó $BC=\sqrt{\frac{144}{169}A{B}^2}=\sqrt{{\left(\frac{12}{13}AB\right)}^2}=\frac{12}{13}AB.$

Vậy $\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{\frac{12}{13}AB}{\frac{12}{13}AB}=\frac{12}{13};\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{\frac{5}{13}AB}{\frac{12}{13}AB}=\frac{5}{12}.$

Bài 11 trang 84 SBT Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 21 cm, $\widehat{C}=47°.$ Tính độ dài đường phân giác BD của tam giác ABC (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của centimet).

Lời giải:

Trong tam giác vuông ABC có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{B}=180°-\widehat{A}-\widehat{C}=180°-90°-47°=43°.$

Mà BD là phân giác góc B nên $\widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\frac{1}{2}\widehat{B}=\frac{1}{2}\cdot 43°=21,5°.$

Vì tam giác ABD vuông tại A nên $\cos \widehat{B_1}=\frac{AB}{BD}.$

Suy ra $BD=\frac{AB}{\cos \widehat{B_1}}=\frac{21}{\cos 21,5°}\approx 22,57 ( \text{cm}).$

Bài 12 trang 85 SBT Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, $\widehat{A}=15°,\widehat{B}=35°.$ Tính độ dài đường cao CH của tam giác ABC (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của centimét).

Lời giải:

Do CH là đường cao tam giác ABC nên CH ⊥ AB tại H.

Tam giác ACH vuông tại H nên $AH=CH\cdot \cot \widehat{A}=CH\cdot \cot 15°.$

Tam giác BCH vuông tại H nên $BH=CH\cdot \cot \widehat{B}=CH\cdot \cot 35°.$

Mà AH + BH = AB

Suy ra CH.cot15° + CH.cot35° = AB hay CH(cot15° + cot35°) = AB

Suy ra $CH=\frac{AB}{\cot 15°+\cot 35°}=\frac{6}{\cot 15°+\cot 35°}\approx 1,16\left(cm\right).$

Bài 13 trang 85 SBT Toán 9 Tập 1: Tìm x, y trong mỗi hình 14a, 14b, 14c (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của centimét).

Lời giải:

⦁ Hình 14a):

Trong tam giác ABD vuông tại D có:

$\sin \widehat{B}=\frac{AD}{AB}$ hay $\sin 32°=\frac{x}{9}$

Suy ra x = 9.sin 32° ≈ 4,8 cm.

Trong tam giác ADC vuông tại D có:

$\cos \widehat{CAD}=\frac{AD}{AC}$ hay $\cos 50°\approx \frac{4,8}{y}$

Suy ra $y\approx \frac{4,8}{\cos 50°}\approx 7,5cm.$

⦁ Hình 14b):

Trong tam giác GHK vuông tại K có $\widehat{H}=45°$ nên tam giác GHK vuông cân tại K.

Suy ra GK = HK = 5 cm.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác GHK vuông tại K, ta có:

HG² = HK² + GK² = 5² + 5² = 50.

Suy ra $HG=\sqrt{50}\approx 7,1cm$ hay x ≈ 7,1 cm.

Trong tam giác GIK vuông tại K có:

$\sin \widehat{I}=\frac{GK}{GI}$ hay $\sin 36°=\frac{5}{y}$

Suy ra $y=\frac{5}{\sin 36°}\approx 8,5cm.$

⦁ Hình 14c):

Trong tam giác MOQ vuông cân tại Q có:

MO² = QM² + QO² hay ${\left(2\sqrt{2}\right)}^2=2Q{M}^2$

Do đó 2QM² = 8 nên QM² = 4

Suy ra OP = QO = QM = 2 cm.

Mặt khác, $\widehat{MOQ}+\widehat{MON}+\widehat{NOP}=180°$

Mà $\widehat{MOQ}=45°$ (do tam giác MOQ vuông cân tại Q) và $\widehat{MON}=105°$

Suy ra $\widehat{NOP}=180°-\widehat{MOQ}-\widehat{MON}=180°-45°-105°=30°.$

Trong tam giác ONP vuông tại P có:

⦁ $x=NP=OP\cdot \tan \widehat{NOP}=2\cdot \tan 30°=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\approx 1,2cm;$

⦁ $\cos \widehat{NOP}=\frac{OP}{ON}$ suy ra $y=ON=\frac{OP}{\cos \widehat{NOP}}=\frac{2}{\cos 30°}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\approx 2,3cm.$

Bài 14 trang 85 SBT Toán 9 Tập 1: Chứng minh diện tích của tam giác đều cạnh a là $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$.

Lời giải:

Xét tam giác đều ABC cạnh a với đường cao AH.

Khi đó, ta có AB = BC = a và $\widehat{B}=60°.$

Vì tam giác ABH vuông tại H nên

$AH=AB\cdot \sin \widehat{B}=a\cdot \sin 60°=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Vậy diện tích của tam giác ABC là:

$\frac{1}{2}BC\cdot AH=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$

Bài 15 trang 85 SBT Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh:

$\tan \frac{\widehat{B}}{2}=\frac{AC}{AB+BC}.$

Lời giải:

Kẻ đường phân giác BD của tam giác ABC. Khi đó, ta có $\widehat{B_1}=\frac{\widehat{B}}{2}.$

Vì tam giác ABD vuông tại A nên $\tan \widehat{B_1}=\frac{AD}{AB}.$

Theo tính chất đường phân giác, ta có: $\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BC}$ hay $\frac{AD}{AB}=\frac{CD}{BC}.$

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{AD}{AB}=\frac{CD}{BC}=\frac{AD+CD}{AB+BC}=\frac{AC}{AB+BC}.$

Vậy $\tan \widehat{B_1}=\frac{AC}{AB+BC}$ hay $\tan \frac{\widehat{B}}{2}=\frac{AC}{AB+BC}.$

Bài 16 trang 85 SBT Toán 9 Tập 1: Hai khinh khí cầu được thả lên cùng độ cao là 350 m (ở hai vị trí A và B). Tại vị trí C trên mặt đất, người ta quan sát và đo được $\widehat{ACH}=40°,\widehat{ACB}=10°$ (Hình 15). Tính khoảng cách giữa hai khinh khí cầu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).

Lời giải:

Vì tam giác ACH vuông tại H nên $CH=AH\cdot \cot \widehat{ACH}=350\cdot \cot 40°.$

Ta có: $\widehat{BCK}=\widehat{BCA}+\widehat{ACH}=10°+40°=50°.$

Vì tam giác BCK vuông tại K nên $CK=BK\cdot \cot \widehat{BCK}=350\cdot \cot 50°.$

Do BK ⊥ CH tại K, AH ⊥ CH tại H suy ra BK // AH.

Mà BK = AH = 350 m

Nên ABKH là hình bình hành.

Suy ra khoảng cách giữa hai khinh khí cầu là:

AB = HK = CH ‒ CK

= 350.cot 40° ‒ 350.cot 50°

= 350.(cot 40° ‒ cot 50°)

≈ 123 m.

Vậy khoảng cách giữa hai khinh khí cầu là khoảng 123 mét.

Bài 17 trang 85 SBT Toán 9 Tập 1: Bạn Đức đứng trên nóc ngôi nhà ở độ cao 8 m. Vị trí mắt bạn Đức (tại vị trí A) cách nóc nhà 1,5 m. Bạn nhìn thấy vị trí B cao nhất của một toà nhà với góc tạo bởi tia AB và tia AH theo phương nằm ngang là $\widehat{BAH}=60°.$ Bạn Đức cũng nhìn thấy vi trí K tại chân toà nhà đó với góc tạo bới tia AK và tia AH là $\widehat{HAK}=15°,$ AH vuông góc với BK tại H (Hình 10). Tính chiều cao BK của toà nhà (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét).

Lời giải:

Do AH ⊥ BK tại H, AC ⊥ CK, CK ⊥ BK nên $\widehat{ACK}=\widehat{AHK}=\widehat{CKH}=90°$

Do đó tứ giác ACHK là hình chữ nhật.

Suy ra HK = AC = 1,5 + 8 = 9,5 m.

Vì ∆AHK vuông tại H nên $AH=HK\cdot \cot \widehat{HAK}=9,5\cdot \cot 15°.$

Vì ∆AHB vuông tại H nên $BH=AH\cdot \tan \widehat{BAH}=9,5\cdot \cot 15°\cdot \tan 60°.$

Chiều cao của toà nhà là:

BK = HK + BH

= 9,5 + 9,5.cot 15°.tan 60°

= 9,5.(1 + cot 15°.tan 60°)

≈ 70,9 (m).

Vậy chiều cao của tòa nhà khoảng 70,9 mét.

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 9 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 3: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Bài tập cuối chương 4