Sách bài tập Toán 9 Bài 3 (Cánh diều): Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải SBT Toán 9 Bài 3: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn - Cánh diều

Bài 17 trang 20 SBT Toán 9 Tập 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

Lời giải:

a) $\left\{\begin{array}{l}10x-3y=-0,5\left(1\right)\\ x+2y=0,41\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (2), ta có: x = 0,41 ‒ 2y. (3)

Thế vào phương trình (1) ta được:

10.(0,41 ‒ 2y) ‒ 3y = ‒0,5. (4)

Giải phương trình (4):

10.(0,41 ‒ 2y) ‒ 3y = ‒0,5

4,1 ‒ 20y ‒ 3y = ‒0,5

‒20y ‒ 3y = ‒0,5 – 4,1

‒23y = ‒4,6

y = 0,2.

Thay y = 0,2 vào phương trình (3) ta có:

x = 0,41 ‒ 2.0,2 = 0,01.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (0,01; 0,2).

b) $\left\{\begin{array}{l}x-\frac{y}{2}=\frac{1}{2}\left(1\right)\\ \frac{x}{3}-2y=-\frac{5}{3}\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (1), ta có: $x=\frac{1}{2}+\frac{y}{2}=\frac{y+1}{2}.$ (3)

Thế vào phương trình (2) ta được:

$\frac{\frac{y+1}{2}}{3}-2y=-\frac{5}{3}$ hay $\frac{y+1}{6}-2y=-\frac{5}{3}.$ (4)

Giải phương trình (4):

$\frac{y+1}{6}-2y=-\frac{5}{3}$

$\frac{y+1}{6}-\frac{6\cdot 2y}{6}=-\frac{5\cdot 2}{6}$

y + 1 – 6.2y = ‒5.2

y + 1 ‒ 12y = ‒10

‒11y = ‒11

y = 1.

Thay y = 1 vào phương trình (3) ta có: $x=\frac{1+1}{2}=\frac{2}{2}=1.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 1).

c) $\left\{\begin{array}{l}5x-0,7y=1\left(1\right)\\ -10x+1,4y=-2\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (1), ta có:

5x = 1 + 0,7y nên $x=\frac{1+0,7y}{5}.$ (3)

Thế vào phương trình (2) ta được: $-10\cdot \frac{1+0,7y}{5}+1,4y=-2.$ (4)

Giải phương trình (4):

$-10\cdot \frac{1+0,7y}{5}+1,4y=-2$

$\frac{-10-7y}{5}+\frac{1,4y\cdot 5}{5}=\frac{-2\cdot 5}{5}$

‒10 ‒ 7y + 1,4y.5 = ‒2.5

‒10 ‒ 7y + 7y = ‒10

0y = 0.

Do phương trình trên có vô số nghiệm nên hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm $\left(x;y\right)=\left(\frac{1+0,7y}{5};y\right)$ với y ∈ ℝ.

Bài 18 trang 20 SBT Toán 9 Tập 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

Lời giải:

a) $\left\{\begin{array}{l}2x-5y=-11\left(1a\right)\\ -3x+7y=15\left(2a\right)\end{array}\right.$

Nhân hai vế của phương trình (1a) với 3 và nhân hai vế của phương trình (2a) với 2, ta được hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}6x-15y=-33\left(3a\right)\\ -6x+14y=30\left(4a\right)\end{array}\right.$

Cộng từng vế hai phương trình (3a) và (4a), ta nhận được phương trình:

‒y = ‒3 hay y = 3.

Thay y = 3 vào phương trình (1a), ta có: 2x ‒ 5.3 = ‒ 11. (5a)

Giải phương trình (5a):

2x ‒ 5.3 = ‒ 11

2x – 15 = ‒11

2x = ‒11 + 15

2x = 4

x = 2.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 3).

b) $\left\{\begin{array}{l}0,3x-2y=-0,7\left(1b\right)\\ 2x-0,2y=1,9\left(2b\right)\end{array}\right.$

Nhân hai vế của phương trình (2b) với 10, ta được hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}0,3x-2y=-0,7\left(1b\right)\\ 20x-2y=19\left(3b\right)\end{array}\right.$

Trừ từng vế hai phương trình (3b) và (1b), ta nhận được phương trình:

19,7x = 19,7 hay x = 1.

Thay x = 1 vào phương trình (3b), ta được:

20.1 – 2y = 19. (4b)

Giải phương trình (4b):

20.1 – 2y = 19

20 – 2y = 19

–2y = 19 – 20

–2y = –1

y = 0,5.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 0,5).

c) $\left\{\begin{array}{l}-5x+7y=3\left(1c\right)\\ 7x-9,8y=-4\left(2c\right)\end{array}\right.$

Nhân hai vế của phương trình (1c) với 7 và nhân hai vế của phương trình (2c) với 5, ta được hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}-35x+49y=21\left(3c\right)\\ 35x-49y=-20\left(4c\right)\end{array}\right.$

Cộng từng vế hai phương trình (3c) và (4c), ta nhận được phương trình:

0x + 0y = 1.

Phương trình trên vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 19 trang 20 SBT Toán 9 Tập 1: Tìm hai số, biết rằng bốn lần số thứ nhất cộng với ba lần số thứ hai bằng 6 120 và ba lần số thứ nhất hơn hai lần số thứ hai là 1 615.

Lời giải:

Gọi x là số thứ nhất, y là số thứ hai.

Bốn lần số thứ nhất là: 4x, ba lần số thứ hai là 3y.

Theo bài, bốn lần số thứ nhất cộng với ba lần số thứ hai bằng 6 120 nên ta có phương trình:

4x + 3y = 6 120. (1)

Ba lần số thứ nhất là 3x, hai lần số thứ hai là 2y.

Theo bài, ba lần số thứ nhất hơn hai lần số thứ hai là 1 615 nên ta có phương trình:

3x – 2y = 1 615. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}4x+3y=6120\left(1\right)\\ 3x-2y=1615\left(2\right)\end{array}\right.$

Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 và nhân hai vế của phương trình (2) với ‒4, ta được hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}12x+9y=18360\left(3\right)\\ -12x+8y=-6460\left(4\right)\end{array}\right.$

Cộng từng vế hai phương trình (3) và (4), ta nhận được phương trình:

17y = 11 900 hay y = 700.

Thay y = 700 vào phương trình (1) ta có: 4x + 3.700 = 6 120. (5)

Giải phương trình (5):

4x + 3.700 = 6 120

4x + 2 100 = 6 120

4x = 4 020

x = 1 005.

Do đó, hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (1 005; 700).

Vậy số thứ nhất và số thứ hai cần tìm lần lượt là 1 005 và 700.

Bài 20 trang 20 SBT Toán 9 Tập 1: Một nhà máy sản xuất hai loại xi măng: loại I và loại II. Cứ sản xuất mỗi tấn xi măng loại I thì nhà máy thải ra 0,5 kg CO₂ (carbon dioxide) và 0,3 kg SO₃ (sulfur trioxide), sản xuất mỗi tấn xi măng loại II thì nhà máy thải ra 0,8 kg CO₂ và 0,45 kg SO₃. Trung bình mỗi ngày, nhà máy nhận được thông số lượng khí thải CO₂ và SO₃ lần lượt là 1 700 kg và 975 kg. Tính khối lượng xi măng loại I và loại II trung bình mỗi ngày nhà máy sản xuất được.

Lời giải:

Gọi x (tấn), y (tấn) lần lượt là khối lượng xi măng loại I, loại II trung bình mỗi ngày nhà máy sản xuất được với x > 0; y > 0.

Sản xuất x (tấn) xi măng loại I thì nhà máy thải ra 0,5x kg CO₂ và 0,3x kg SO₃.

Sản xuất y (tấn) xi măng loại II thì nhà máy thải ra 0,8y kg CO₂ và 0,45y kg SO₃.

Theo bài, trung bình mỗi ngày:

⦁ có 700 kg khí thải CO₂ được thải ra nên ta có phương trình:

0,5x + 0,8y = 700. (1)

⦁ có 975 kg khí thải SO₃ được thải ra nên ta có phương trình:

0,3x + 0,45y = 975. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}0,5x+0,8y=1700\left(1\right)\\ 0,3x+0,45y=975\left(2\right)\end{array}\right.$

Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 và nhân hai vế của phương trình (2) với 5, ta được hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}1,5x+2,4y=5100\left(3\right)\\ 1,5x+2,25y=4875\left(4\right)\end{array}\right.$

Trừ từng vế phương trình (3) và (4), ta nhận được phương trình:

0,15y = 225 hay y = 1 500.

Thay y = 700 vào phương trình (1) ta có: 0,5x + 0,8 . 1 500 = 1 700. (5)

Giải phương trình (5):

0,5x + 0,8 . 1 500 = 1 700

0,5x + 1 200 = 1 700

0,5x = 500

x = 1 000.

Ta thấy x = 1 000 và y = 1 500 thỏa mãn điều kiện nên hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (1 000; 1 500).

Vậy khối lượng xi măng loại I và loại II trung bình mỗi ngày nhà máy sản xuất được lần lượt là 1 000 tấn và 1 500 tấn.

Bài 21 trang 20 SBT Toán 9 Tập 1: Bác Lan có 500 triệu đồng để đầu tư vào hai khoản: trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng với kì hạn 12 tháng. Lãi suất của trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng lần lượt là 7%/năm và 6%/năm. Tính số tiền mà bác Lan đầu tư vào mỗi khoản để mỗi năm nhận được tiền lãi là 32 triệu đồng từ hai khoản đầu tư đó.

Lời giải:

Gọi x (triệu đồng), y (triệu đồng) lần lượt là số tiền mà bác Lan đầu tư vào trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng với x > 0, y > 0.

Theo bài, tổng số tiền bác Lan đầu tư hai khoản là 500 triệu đồng nên ta có phương trình:

x + y = 500. (1)

Do lãi suất của trái phiếu là 7%/năm nên số tiền lãi bác Lan nhận được khi đầu tư trái phiếu là: x.7% = 0,07x (triệu đồng).

Do lãi suất của gửi tiết kiệm ngân hàng là 6%/năm nên số tiền lãi bác Lan nhận được khi gửi tiết kiệm ngân hàng là: y.6% = 0,06y (triệu đồng).

Theo bài, mỗi năm bác Lan nhận được tiền lãi là 32 triệu đồng từ hai khoản đầu tư đó nên ta có phương trình:

0,07x + 0,06y = 32. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+y=500\left(1\right)\\ 0,07x+0,06y=32\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (1), ta có x = 500 ‒ y. (3)

Thế vào phương trình (2) ta được: 0,07.(500 ‒ y) + 0,06y = 32. (4)

Giải phương trình (4):

0,07.(500 ‒ y) + 0,06y = 32

35 ‒ 0,07y + 0,06y = 32

‒0,01y = ‒3

y = 300.

Thay y = 300 vào phương trình (3) ta có:

x = 500 ‒ 300 = 200.

Ta thấy x = 200 và y = 300 thỏa mãn điều kiện nên hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (200; 300).

Vậy số tiền mà bác Lan đầu tư vào trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng lần lượt là 200 triệu đồng và 300 triệu đồng.

Bài 22 trang 21 SBT Toán 9 Tập 1: Một ô tô dự định đi từ địa điểm A đến địa điểm B trong một khoảng thời gian nhất định. Nếu ô tô đi với tốc độ 40 km/h thì ô tô đến địa điểm B chậm hơn 90 phút so với dự định. Nếu ô tô đi với tốc độ 60 km/h thì ô tô đến địa điểm B nhanh hơn 30 phút so với dự định. Tính quãng đường AB và thời gian ô tô dự định đi.

Lời giải:

Đổi 90 phút = 1,5 giờ; 30 phút = 0,5 giờ.

Gọi x (km) là quãng đường AB và y (giờ) là thời gian ô tô dự định đi với x > 0, y > 0,5.

Thời gian xe chạy quãng đường AB với tốc độ 40 km/h là: $\frac{x}{40}$ (giờ).

Thời gian xe chạy quãng đường AB với tốc độ 60 km/h là: $\frac{x}{60}$ (giờ).

Theo bài:

⦁ ô tô đi với tốc độ 40 km/h thì ô tô đến địa điểm B chậm hơn 90 phút so với dự định nên ta có phương trình:

$\frac{x}{40}-y=1,5.\left(1\right)$

⦁ ô tô đi với tốc độ 60 km/h thì ô tô đến địa điểm B nhanh hơn 30 phút so với dự định nên ta có phương trình:

$y-\frac{x}{60}=0,5.\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{40}-y=1,5\left(1\right)\\ y-\frac{x}{60}=0,5\left(2\right)\end{array}\right.$

Cộng từng vế hai phương trình (1) và (2), ta nhận được phương trình:

$\frac{x}{40}-\frac{x}{60}=2.\left(3\right)$

Giải phương trình (3):

$\frac{x}{40}-\frac{x}{60}=2$

$\frac{3x}{120}-\frac{2x}{120}=\frac{2\cdot 120}{120}$

3x – 2x = 2.120

x = 240.

Thay x = 240 vào phương trình (1) ta có: $\frac{240}{40}-y=1,5.\left(4\right)$

Giải phương trình (4):

$\frac{240}{40}-y=1,5$

6 – y = 1,5

–y = –4,5

y = 4,5.

Ta thấy x = 240 và y = 4,5 thỏa mãn điều kiện nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (240; 4,5).

Vậy quãng đường AB dài 240 km và thời gian ô tô dự định đi là 4,5 giờ.

Bài 23 trang 21 SBT Toán 9 Tập 1: Một cửa sổ có dạng hình chữ nhật được xây trên bức tường có dạng hình thang vuông với các kích thước như Hình 4. Tìm x, y biết rằng diện tích của bức tường không tính phần làm cửa sổ là 69 m² và 2x = y ‒ 3.

Lời giải:

Diện tích của hình thang vuông là: $\frac{\left(7+11\right)y}{2}=9y$ (m²).

Diện tích của cửa sổ dạng hình chữ nhật là: 4x (m²).

Do diện tích của bức tường không tính phần làm cửa sổ là 69 m² nên ta có phương trình: 9y – 4x = 69.

Ta lập được hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2x=y-3\\ 9y-4x=69\end{array}\right.$hay $\left\{\begin{array}{l}y=2x+3\left(1\right)\\ 9y-4x=69\left(2\right)\end{array}\right.$

Thế phương trình (1) vào phương trình (2) ta được:

9.(2x + 3) – 4x = 69. (3)

Giải phương trình: (3)

9.(2x + 3) – 4x = 69

18x + 27 – 4x = 69

14x = 42

x = 3.

Thay x = 3 vào phương trình (1) ta được: y = 2.3 + 3 = 9.

Vậy x = 3 và y =9.

Bài 24 trang 21 SBT Toán 9 Tập 1: Tìm các hệ số x, y để cân bằng phương trình phản ứng hoá học:

xFeO + O₂ → yFe₂O₃.

Lời giải:

Theo định luật bảo toàn nguyên tố đối với Fe và O, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}x=2y\\ x+2=3y\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{l}x-2y=0\left(1\right)\\ x-3y=-2\left(2\right)\end{array}\right.$

Trừ từng vế của hai phương trình (1) và (2), ta có: y = 2.

Thay y = 2 vào phương trình x = 2y ta có: x = 2.2 = 4.

Do đó, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (4; 2).

Vậy ta có phương trình sau cân bằng: 4FeO + O₂ → 2Fe₂O₃.

Bài 25 trang 21 SBT Toán 9 Tập 1: Hai đội công nhân cùng đào đất để đắp đê ngăn triều cường. Nếu hai đội cùng làm thì 2 ngày hoàn thành công việc. Nếu đội thứ nhất làm trong 4 ngày rồi nghỉ, đội thứ hai làm tiếp trong 1 ngày nữa thì hoàn thành công việc. Tính thời gian mỗi đội làm riêng để hoàn thành công việc.

Lời giải:

Gọi x, y (ngày) lần lượt là thời gian làm riêng để hoàn thành công việc của đội thứ nhất, đội thứ hai với x > 0, y > 0.

Khi đó, trong một ngày thì đội thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ công việc và đội thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ công việc.

Theo bài, hai đội cùng làm thì 2 ngày hoàn thành công việc nên trong một ngày, hai đội làm chung thì làm được $\frac{1}{2}$ công việc.

Khi đó, ta có phương trình: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}.\left(1\right)$

Trong 4 ngày, đội thứ nhất làm được $4\cdot \frac{1}{x}=\frac{4}{x}$ (công việc).

Theo bài, đội thứ nhất làm trong 4 ngày rồi nghỉ, đội thứ hai làm tiếp trong 1 ngày nữa thì hoàn thành công việc nên ta có phương trình: $\frac{4}{x}+\frac{1}{y}=1.\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\left(1\right)\\ \frac{4}{x}+\frac{1}{y}=1\left(2\right)\end{array}\right.$

Trừ từng vế hai phương trình (2) và (1), ta nhận được phương trình:

$\frac{3}{x}=\frac{1}{2},$ suy ra x = 2.3 = 6.

Thay x = 6 vào phương trình (1), ta được: $\frac{1}{6}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}.\left(3\right)$

Giải phương trình (3):

Ta thấy x = 6, y = 3 thỏa mãn điều kiện.

Vậy thời gian làm riêng để hoàn thành công việc của đội thứ nhất và đội thứ hai lần lượt là 6 ngày và 3 ngày.

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 9 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Bất đẳng thức

Bài 2: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Căn bậc hai và căn bậc ba của số thực