Sách bài tập Toán 9 Bài 2 (Cánh diều): Một số phép tính về căn bậc hai của số thực

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Một số phép tính về căn bậc hai của số thực - Cánh diều

Bài 11 trang 57 SBT Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một bình phương, hãy tính:

Lời giải:

Do $\sqrt{11}<\sqrt{16}$ hay $\sqrt{11}<4$ nên $\sqrt{11}-4<0.$

Vì thế, ta có: $\left|\sqrt{11}-4\right|=4-\sqrt{11}.$

Vậy $\sqrt{{\left(\sqrt{11}-4\right)}^2}=\left|\sqrt{11}-4\right|=4-\sqrt{11}.$

c) $\sqrt{{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^2}=\left|\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right|=\left|\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}\right|=\left|\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\right|.$

Do 3 > 2 nên $\sqrt{3}>\sqrt{2},$ do đó $\sqrt{3}-\sqrt{2}>0.$

Lại có $\sqrt{6}>0$ nên $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}}>0.$

Vì thế ta có $\left|\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\right|=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}}.$

Vậy $\sqrt{{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^2}=\left|\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\right|=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}}.$

d*) $\sqrt{9+4\sqrt{5}}=\sqrt{2^2+2\cdot 2\cdot \sqrt{5}+{\left(\sqrt{5}\right)}^2}=\sqrt{{\left(2+\sqrt{5}\right)}^2}=\left|2+\sqrt{5}\right|=2+\sqrt{5}.$

Bài 12 trang 57 SBT Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một tích, hãy tính:

Lời giải:

Bài 13 trang 57 SBT Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một thương, hãy tính:

Lời giải:

Bài 14 trang 57 SBT Toán 9 Tập 1: Rút gọn biểu thức:

Lời giải:

Bài 15 trang 57 SBT Toán 9 Tập 1: So sánh:

Lời giải:

b) Ta có: $\frac{5}{2}\sqrt{\frac{1}{6}}=\sqrt{{\left(\frac{5}{2}\right)}^2\cdot \frac{1}{6}}=\sqrt{\frac{25}{4}\cdot \frac{1}{6}}=\sqrt{\frac{25}{24}};$

$6\sqrt{\frac{1}{35}}=\sqrt{6^2\cdot \frac{1}{35}}=\sqrt{\frac{36}{35}}.$

Ta có 24 < 35 nên $\frac{1}{24}>\frac{1}{35}$

Do đó $1+\frac{1}{24}>1+\frac{1}{35},$ hay $\frac{25}{24}>\frac{36}{35}$

Suy ra $\sqrt{\frac{25}{24}}>\sqrt{\frac{36}{35}},$ hay $\frac{5}{2}\sqrt{\frac{1}{6}}>6\sqrt{\frac{1}{35}}.$

c) Ta có: $-5\sqrt{8}=-\sqrt{5^2\cdot 8}=-\sqrt{25\cdot 8}=-\sqrt{200}.$

Do 200 > 190 nên $\sqrt{200}>\sqrt{190},$ do đó $-\sqrt{200}<-\sqrt{190}.$

Vậy $-5\sqrt{8}<-\sqrt{190}.$

d) Ta có: $16=\sqrt{256};\sqrt{15}\cdot \sqrt{17}=\sqrt{15\cdot 17}=\sqrt{255}.$

Do 256 > 255 nên $\sqrt{256}>\sqrt{255}$ hay $16>\sqrt{15}\cdot \sqrt{17}.$

Bài 16 trang 58 SBT Toán 9 Tập 1: Sắp xếp $4\sqrt{3};3\sqrt{4};4\sqrt{5};5\sqrt{4};3\sqrt{6}$ theo thứ tự tăng dần.

Lời giải:

Ta có:

Vậy ta có sắp xếp theo thứ tự tăng dần là: $3\sqrt{4};4\sqrt{3};3\sqrt{6};4\sqrt{5};5\sqrt{4}.$

Bài 17 trang 58 SBT Toán 9 Tập 1: Cho các biểu thức: $A=\frac{\sqrt{{35}^3+1}}{\sqrt{{35}^2-34}};$ $B=\left(\frac{\sqrt{14}-\sqrt{7}}{1-\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}\right):\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}.$ Chứng minh: A = 6; B = –2.

Lời giải:

Vậy A = 6 và B = –2.

Bài 18 trang 58 SBT Toán 9 Tập 1: Rút gọn biểu thức:

Lời giải:

Bài 19 trang 58 SBT Toán 9 Tập 1: Cho $a=\sqrt{3-2\sqrt{2}}$ và $b=\sqrt{3+2\sqrt{2}}.$ Chứng minh:

a) a – b là một số nguyên;

b) ab là một số tự nhiên.

Lời giải:

⦁ Ta có: $a=\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2-2\cdot \sqrt{2}\cdot 1+1^2}=\sqrt{{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2}=\left|\sqrt{2}-1\right|.$

Do 2 > 1 nên $\sqrt{2}>\sqrt{1}=1$ hay $\sqrt{2}-1>0.$

Do đó, $a=\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\left|\sqrt{2}-1\right|=\sqrt{2}-1.$

⦁ Ta có: $b=\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2+2\cdot \sqrt{2}\cdot 2+1^2}=\sqrt{{\left(\sqrt{2}+1\right)}^2}=\sqrt{2}+1.$

a) Ta có: $a-b=\left(\sqrt{2}-1\right)-\left(\sqrt{2}+1\right)=\sqrt{2}-1-\sqrt{2}-1=-2.$

Vậy a ‒ b là một số nguyên.

b) Ta có: $ab=\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)={\left(\sqrt{2}\right)}^2-1^2=2-1=1.$

Vậy ab là một số tự nhiên.

Bài 20 trang 58 SBT Toán 9 Tập 1: So sánh:

Lời giải:

b) Với $a>0,b>0$, ta có: ${\left(\sqrt{a+b}\right)}^2=a+b;$${\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2=a+2\sqrt{ab}+b.$

Do $a+b<a+b+2\sqrt{ab}$ nên ${\left(\sqrt{a+b}\right)}^2<{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2.$

Mặt khác, ta lại có $\sqrt{a+b}>0$ và $\sqrt{a}+\sqrt{b}>0$ nên $\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}.$

Bài 21 trang 58 SBT Toán 9 Tập 1: Tốc độ v (m/s) cần có của một vệ tinh để giữ nó chuyển động tròn ổn định trên quỹ đạo với bán kính r (m) quanh Trái Đất được cho bởi công thức $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}.$ Tính tốc độ của một vệ tinh cách tâm Trái Đất 15,92796.10⁶ m, biết hằng số hấp dẫn là G = 6,67.10^–11 Nm²/kg² và khối lượng Trái Đất là M = 5,97 . 10²⁴ kg.

Lời giải:

Tốc độ của vệ tinh đó là:

Bài 22 trang 58 SBT Toán 9 Tập 1: Độ dài đường chéo của một hình vuông lớn hơn độ dài cạnh của nó là 4 cm. Tính độ dài cạnh của hình vuông đó.

Lời giải:

Gọi x (cm) là độ dài cạnh của hình vuông với x > 0.

Do hai cạnh của một hình vuông và đường chéo tạo thành một tam giác vuông nên áp dụng định lý Pythagore ta có:

x² + x² = 2x².

Khi đó, độ dài đường chéo của hình vuông đó là $x\sqrt{2}( \text{cm}).$

Do độ dài đường chéo của một hình vuông lớn hơn độ dài cạnh của nó là 4 cm nên ta có phương trình: $x\sqrt{2}-x=4.$

Giải phương trình:

Vậy độ dài cạnh của hình vuông đó là $4\left(\sqrt{2}+1\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm}).$

Bài 23 trang 58 SBT Toán 9 Tập 1: Tốc độ v (m/s) của một tàu lượn siêu tốc di chuyển trên một cung tròn bán kính r (m) được cho bởi công thức $v=\sqrt{ar},$ trong đó a (m/s²) là gia tốc hướng tâm.

a) Nếu tàu lượn đang di chuyển với tốc độ 14 m/s và muốn đạt mức gia tốc hướng tâm tối đa là 7 m/s² thì bán kính tối thiểu của cung tròn phải là bao nhiêu để tàu lượn không văng ra khỏi đường ray?

b) Nếu tàu lượn đang di chuyển với tốc độ 8 m/s trên cung tròn bán kính 25 m thì gia tốc hướng tâm là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Tàu lượn đang di chuyển với tốc độ 14 m/s nên v = 14 m/s.

Gia tốc hướng tâm tối đa là 7 m/s² nên a ≤ 7 m/s².

Từ biểu thức $v=\sqrt{ar}$ ta có $v^2={\left(\sqrt{\text{ar}}\right)}^2=\text{ar.}$

Suy ra $a=\frac{v^2}{r}.$

Do đó $\frac{v^2}{r}\le 7,$ suy ra $\frac{{14}^2}{r}\le 7,$ do đó 196 ≤ 7r (do r > 0).

Suy ra $r\ge \frac{196}{7}=28.$

Vậy bán kính tối thiểu của cung tròn để tàu lượn không văng ra khỏi đường ray là r = 28 m.

b) Tàu lượn đang di chuyển với tốc độ 8 m/s nên v = 8 m/s.

Bán kính 25 m nên r = 25 m.

Thay v = 8 m/s và r = 25 m vào biểu thức $v=\sqrt{ar},$ ta được:

$8=\sqrt{a\cdot 25}$ hay 25a = 64

Suy ra a = 2,56 (m/s²).

Vậy nếu tàu lượn đang di chuyển với tốc độ 8 m/s trên cung tròn bán kính 25 m thì gia tốc hướng tâm là 2,56 m/s².

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 9 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Căn thức bậc hai và căn thức bậc ba của biểu thức đại số

Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 2: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông