Sách bài tập Toán 9 Bài 4 (Cánh diều): Góc ở tâm. Góc nội tiếp

Giải SBT Toán 9 Bài 4: Góc ở tâm. Góc nội tiếp

Bài 27 trang 115 SBT Toán 9 Tập 1: Trong các góc ABC, DEG, HIK, MNP, QRS, XYZ lần lượt ở các hình 32a, 32b, 32c, 32d, 32e, 32g, góc nào là góc nội tiếp? Vì sao?

Lời giải:

Do góc nội tiếp là góc có đỉnh thuộc đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó nên các góc ABC, HIK, QRS là góc nội tiếp.

Góc DEG, MNP có đỉnh không nằm trên đường tròn nên không phải góc nội tiếp.

Góc XYZ có cạnh YZ không chứa dây cung của đường tròn nên không phải góc nội tiếp.

Bài 28 trang 115 SBT Toán 9 Tập 1: Nhận định nào sau đây là sai?

A. Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

B. Góc nội tiếp là góc có đỉnh thuộc đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

C. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo bằng 90°.

D. Số đo của cung AB được kí hiệu là $\text{sđ}\stackrel{⏜}{AB}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Số đo của cung AB được kí hiệu là $\text{sđ}\stackrel{⏜}{AB}.$

Bài 29 trang 115 SBT Toán 9 Tập 1: Biểu đồ hình quạt tròn ở Hình 33 biểu diễn số lớp học cấp trung học cơ sở của năm tỉnh Tây Nguyên tính đến ngày 30/9/2021 (tính theo tỉ số phần trăm). Hãy cho biết các cung tương ứng với phần biểu diễn số lớp học cấp trung học cơ sở của các tỉnh Kon Tum, Gia Lai, Đắk Lắk, Đắk Nông, Lâm Đồng tính đến ngày 30/9/2021 lần lượt có số đo là bao nhiêu độ?

Lời giải:

Do số lớp học cấp trung học cơ sở của tỉnh Kon Tum chiếm 11% tổng số lớp học nên số đo cung tương ứng bằng 11% số đo của cung cả đường tròn. Vì thế, số đo cung này bằng $360°\cdot \frac{11}{100}=39,6°.$

Tương tự, ta cũng tính được số đo của các cung tương ứng với phần biểu diễn số lớp học cấp trung học cơ sở của các tỉnh Gia Lai, Đắk Lắk, Đắk Nông, Lâm Đồng.

Vậy các cung tương ứng với phần biểu diễn số lớp học cấp trung học cơ sở của các tỉnh Kon Tum, Gia Lai, Đắk Lắk, Đắk Nông, Lâm Đồng tính đến ngày 30/9/2021 lần lượt có số đo là: 39,6°; 86,4°; 118,8°; 36°; 79,2°.

Bài 30 trang 116 SBT Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O) và ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn sao cho tam giác ABC cân tại A và $\widehat{BAC}=50°.$ So sánh các cung nhỏ AB, BC.

Lời giải:

Do tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

Mà $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180°$ (tổng ba góc của tam giác ABC)

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}=\frac{180°-50°}{2}=65°.$

Ta có:

⦁ số đo cung nhỏ AB gấp hai lần số đo của góc nội tiếp ACB chắn cung đó nên $\text{sđ}\stackrel{⏜}{AB}=2\cdot \widehat{ACB}=2\cdot 65°=130°.$

⦁ số đo cung nhỏ BC gấp hai lần số đo của góc nội tiếp ABC chắn cung đó nên $\text{sđ}\stackrel{⏜}{BC}=2\cdot \widehat{BAC}=2\cdot 50°=100°.$

Do đó $\text{sđ}\stackrel{⏜}{AB}>\text{sđ}\stackrel{⏜}{BC}.$

Vậy cung nhỏ AB lớn hơn cung nhỏ BC.

Bài 31 trang 116 SBT Toán 9 Tập 1: Bạn An đố bạn Bình: “Hãy xác định tâm của đường tròn mà chỉ dùng ê ke.” Bạn Bình đã xác định tâm O của đường tròn như sau:

– Lần thứ nhất: đặt góc vuông của ê ke tại điểm A, hai cạnh góc vuông của ê ke lần lượt cắt đường tròn tại hai điểm (gọi hai điểm đó là B, C);

– Lần thứ hai: đặt góc vuông của ê ke tại điểm H, hai cạnh góc vuông của ê ke lần lượt cắt đường tròn tại hai điểm (gọi hai điểm đó là I, K).

Quan sát Hình 34 và chứng minh rằng bằng cách làm hai lần như trên thì bạn Bình đã giải được câu đố của bạn An.

Lời giải:

Xét đường tròn (O) có $\widehat{BAC}=\widehat{IHK}=90°$ nên $\widehat{BAC}$ và $\widehat{IHK}$ là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.

Suy ra BC và HK là hai đường kính của đường tròn (O).

Khi đó, BC cắt HK tại tâm O của đường tròn.

Vậy qua hai lần sử dụng ê ke, bạn Bình đã giải được câu đố của bạn An.

Bài 32 trang 116 SBT Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O; R) và hai điểm A, B nằm trên đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O), hai tiếp tuyến đó cắt nhau tại M.

a) Tính số đo cung nhỏ AB và số đo cung lớn AB nếu $\widehat{AMB}=40°.$

b) Tính diện tích của tứ giác OAMB theo R nếu số đo cung nhỏ AB bằng 120°.

Lời giải:

a) (Hình a) Vì MA, MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O) nên MA ⊥ OA và MB ⊥ OB.

Xét tứ giác OAMB có: $\widehat{AOM}+\widehat{AMB}+\widehat{OBM}+\widehat{AOB}=360°$

Suy ra $\widehat{AOB}=360°-\widehat{AOM}-\widehat{AMB}-\widehat{OBM}=360°-90°-40°-90°=140°.$

Do đó số đo cung nhỏ AB bằng số đo của góc ở tâm AOB, bằng 140° và số đo cung lớn AB bằng 360° ‒ 140° = 220°.

b) (Hình b) Do số đo cung nhỏ AB bằng 120° suy ra $\widehat{AOB}=120°.$

Lại có MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại M nên MA = MB và OM là tia phân giác của góc AOB nên $\widehat{AOM}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}=\frac{1}{2}\cdot 120°=60°.$

Do tam giác OAM vuông tại A nên $MA=OA\cdot \tan \widehat{AOM}=R\sqrt{3}.$

Xét ∆OAM và ∆OBM có: OA = OB; MA = MB; OM là cạnh chung

Do đó ∆OAM = ∆OBM (c.c.c) nên S_∆OAM = S_∆OAM­

Suy ra S_OAMB = S_∆OAM + S_∆OBM­ = 2S_OAM.

Vậy $S_{OAMB}=2\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot OA\cdot MA\right)=2\cdot \frac{1}{2}\cdot R\cdot R\sqrt{3}=R^2\sqrt{3}$ (đơn vị diện tích).

Bài 33 trang 116 SBT Toán 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R) cắt nhau tại hai điểm A, B. Kẻ đường kính AC của đường tròn (O) và đường kính AD của đường tròn (O’). So sánh độ dài dây BC của đường tròn (O) và độ dài dây BD của đường tròn (O’).

Lời giải:

Trong đường tròn (O), đường kính AC có $\widehat{ABC}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat{ABC}=90°.$

Trong đường tròn (O’), đường kính AD có $\widehat{ABD}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat{ABD}=90°.$

Xét ∆ABC (vuông tại B) và ABD (vuông tại B) có:

AC = AD = 2R và cạnh AB chung

Do đó ∆ABC = ∆ABD (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra BC = BD.

Vậy độ dài dây BC của đường tròn (O) bằng độ dài dây BD của đường tròn (O’).

Bài 34 trang 116 SBT Toán 9 Tập 1: Một chiếc cầu được thiết kế như một cung AB của đường tròn (O) với độ dài AB = 40 m và chiều cao MK = 6 m (Hình 35). Tính bán kính của đường tròn chứa cung AMB (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét).

Lời giải:

Xét ∆OAB có đồng thời là đường cao của tam giác, hay OK ⊥ AB. Mà MK ⊥ AB nên ba điểm O, K, M thẳng hàng.

Kẻ đường kính MN của đường tròn (O).

Suy ra điểm O thuộc MN và $AK=BK=\frac{AB}{2}=\frac{40}{2}=20 \text{m}.$

Xét ∆AKM và ∆NKB có:

$\widehat{AKM}=\widehat{NKB}=90°;$

$\widehat{MAK}=\widehat{MNB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB)

Do đó ∆AKM ᔕ ∆NKB (g.g)

Suy ra $\frac{AK}{NK}=\frac{MK}{BK}$ hay $NK=\frac{AK\cdot BK}{MK}=\frac{20\cdot 20}{6}=\frac{200}{3} \text{m}.$

Độ dài đường kính của đường tròn (O) là:

$MN=MK+NK=6+\frac{200}{3}=\frac{218}{3} \text{m}.$

Vậy bán kính của đường tròn chứa cung AMB là

$\frac{218}{3}:2=\frac{109}{3}\approx 36,3 \left(\text{m}\right).$

Bài 35 trang 117 SBT Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AC. Trên tia BH, lấy điểm D sao cho H là trung điểm của đoạn thẳng BD. Nối A với D cắt đường tròn (O) tại E. Chứng minh:

a) CH là tia phân giác của góc ACE;

b) OH // EC.

Lời giải:

a) Xét ∆ABH và ∆ADH có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHD}=90°;$

BH = HD (do H là trung điểm của BD);

Cạnh AH chung

Do đó ∆ABH = ∆ADH (hai cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}.$

Mà $\widehat{A_1}=\widehat{C_2}$ (vì cùng phụ với $\widehat{CAH}$) và $\widehat{A_2}=\widehat{C_1}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EH)

Suy ra $\widehat{C_1}=\widehat{C_2}.$

Vậy CH là tia phân giác của góc ACE.

b) Xét đường tròn (O) có $\widehat{O_1}$ và $\widehat{C_2}$ lần lượt là góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung AH nên $\widehat{O_1}=2\widehat{C_2}$

Mà $\widehat{ACE}=2\widehat{C_2}$ (vì CH là tia phân giác của góc ACE)

Suy ra $\widehat{O_1}=\widehat{ACE},$ mà hai góc này ở vị trí đồng vị

Do đó OH // CE.

Bài 36 trang 117 SBT Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O; 1 dm) và ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn sao cho $\widehat{ABC}=45°,\widehat{ACB}=15°.$ Kẻ AH vuông góc với BC tại H, tia AH cắt đường tròn (O) tại E (Hình 36). Tính:

a) Số đo cung nhỏ CE và số đo cung lớn BC;

b) Độ dài các đoạn thẳng AC, BC.

Lời giải:

a) Trong$2\widehat{BAC}=2\cdot 120°=240°.$ tam giác AHC có: $\widehat{CAH}+\widehat{ACH}=90°$ (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông)

Suy ra $\widehat{CAH}=180°-\widehat{ACH}=180°-15°=75°.$

Mà $\widehat{CAE}$ hay chính là $\widehat{CAH}$ là góc nội tiếp chắn cung nhỏ CE của đường tròn (O)

Do đó số đo cung nhỏ CE bằng $2\widehat{CAH}=2\cdot 75°=150°.$

Trong tam giác ABC có: $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$

Suy ra $\widehat{BAC}=180°-\widehat{ABC}-\widehat{ACB}=180°-45°-15°=120°.$

Mà $\widehat{BAC}$ là góc nội tiếp chắn cung lớn BC của đường tròn (O)

Do đó số đo cung lớn BC bằng $2\widehat{BAC}=2\cdot 120°=240°.$

b) Trong đường tròn (O), $\widehat{AOC}$ và $\widehat{ABC}$ lần lượt là góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung AC nên $\widehat{AOC}=2\widehat{ABC}=2\cdot 45°=90°.$

Suy ra ∆OAC vuông tại O, theo định lí Pythagore, ta có:

AC² = OA² + OC²

Do đó $AC=\sqrt{O{A}^2+O{C}^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}dm}.$

Kẻ OM vuông góc với BC tại M.

Xét ∆OBM (vuông tại M) và ∆OCM (vuông tại M) có:

OB = OC, cạnh OM chung

Do đó ∆OBM = ∆OCM (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra BM = CM hay M là trung điểm của BC, suy ra BC = 2CM.

Vì ∆OAC vuông tại O có OA = OC nên ∆OAC vuông cân tại O, suy ra $\widehat{OCA}=45°.$

Ta có: $\widehat{OCM}=\widehat{OCA}-\widehat{ACB}=45°-15°=30°.$

Xét ∆OCM vuông tại M có: $CM=OC\cdot \cos \widehat{OCM}=1\cdot \cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}dm}.$

Vậy $BC=2CM=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}dm}.$

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán lớp 9 bộ sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 5: Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên

Bài tập cuối chương 5

Bài 1: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng, biểu đồ

Bài 2: Tần số. Tần số tương đối

Bài 3: Tần số ghép nhóm. Tần số tương đối ghép nhóm