Sách bài tập Toán 9 Bài 2 (Cánh diều): Phép quay

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Phép quay

Bài 13 trang 111 SBT Toán 9 Tập 2: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho M(–4; 0), N(4; 0) và P(3; 3).

a) Phép quay ngược chiều α° tâm O biến điểm M thành điểm N. Tìm α.

b) Qua phép quay thuận chiều 90° tâm O, điểm P biến thành điểm nào?

Lời giải:

a)

Ta có: M(–4; 0), N(4; 0) suy ra OM = |–4| = 4; ON = |4| = 4.

Do đó OM = OM. (1)

Ta cũng suy ra được điểm M và điểm N cùng nằm trên trục Ox, đối xứng với nhau qua điểm O, khi đó $\widehat{MON}=180°.$

Do đó, tia OM quay đến tia ON theo chiều ngược kim đồng hồ tạo thành một cung có số đo bằng 180°. (2)

Từ (1) và (2), ta có phép quay ngược chiều 180° tâm O biến điểm M thành điểm N.

Vậy α = 180.

b)

Gọi H là hình chiếu của điểm P trên Ox.

Do P(3; 3) nên H(3; 0). Suy ra OH = 3 và PH = 3.

Do đó ∆OPH vuông cân tại H, nên $\widehat{POH}=45°.$

Gọi Q là điểm đối xứng với P(3; 3) qua Ox. Khi đó Q(3; –3).

Ta cũng chứng minh được $\widehat{QOH}=45°.$

Khi đó, $\widehat{POQ}=\widehat{POH}+\widehat{HOQ}=45°+45°=90°.$

Mặt khác, P và Q đối xứng với nhau qua Ox hay OH là trung trực của PQ, nên OP = OQ. Do đó tia OP quay đến tia OQ theo chiều kim đồng hồ tạo thành một cung có số đo bằng 90°.

Vậy phép quay thuận chiều 90° tâm O điểm P(3; 3) biến thành điểm Q(3; – 3).

Bài 14 trang 111 SBT Toán 9 Tập 2:

a) Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Chỉ ra phép quay ngược chiều tâm O sao cho phép quay đó biến mỗi điểm C và D thành điểm đối xứng với nó qua tâm O.

b) Cho lục giác đều A₁A₂A₃A₄A₅A₆ tâm O. Chỉ ra phép quay thuận chiều tâm O sao cho phép quay đó biến mỗi điểm A₃, A₄, A₅ thành điểm đối xứng với nó qua tâm O.

Lời giải:

a)

Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của hai đường chéo AC và BD.

Do đó A, B lần lượt là điểm đối xứng với C, D qua điểm O.

Ta có OA = OC và $\widehat{COA}=180°$ nên tia OC quay đến tia OA ngược chiều kim đồng hồ tạo thành một cung có số đo bằng 180°.

Như vậy, phép quay ngược chiều 180° tâm O biến điểm C thành điểm A đối xứng với nó qua tâm O.

Tương tự, ta có OB = OD và $\widehat{DOB}=180°$ nên phép quay ngược chiều 180° tâm O biến điểm D thành điểm B đối xứng với nó qua tâm O.

b)

Vì A₁A₂A₃A₄A₅A₆ là hình lục giác đều nên O là trung điểm của ba đường chéo A₁A₄, A₂A₅ và A₃A₆.

Do đó A₆, A₁, A₂ lần lượt là điểm đối xứng với A₃, A₄, A₅ qua điểm O.

Ta có OA₆ = OA₃ và $\widehat{A_{3}O{A}_6}=180°$ nên tia OA₃ quay đến tia OA₆ thuận chiều kim đồng hồ tạo thành một cung có số đo bằng 180°.

Như vậy, phép quay thuận chiều 180° tâm O biến điểm A₃ thành điểm A₆ đối xứng với nó qua tâm O.

Tương tự, ta chứng minh được phép quay thuận chiều 180° tâm O biến mỗi điểm A₄, A₅ lần lượt thành điểm A_1, A₂ đối xứng với mỗi điểm qua tâm O.

Bài 15 trang 111 SBT Toán 9 Tập 2: Cho hình vuông ABCD với tâm O. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AD, DC, CB, BA (Hình 15).

a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông.

b) Phép quay ngược chiều 90° tâm O biến các điểm O, D, N tương ứng thành các điểm nào?

c) Chỉ ra các phép quay tâm O giữ nguyên hình vuông MNPQ.

Lời giải:

a) Xét ∆ABC có Q, P lần lượt là trung điểm của AB, BC nên QP là đường trung bình của tam giác, do đó QP // AC và $QP=\frac{1}{2}AC.$

Tương tự, ta có: MN là đường trung bình của tam giác ACD, do đó MN // AC và $MN=\frac{1}{2}AC.$

Do đó MNPQ là hình bình hành.

Mặt khác, ta cũng chứng minh được MQ là đường trung bình của ∆ABD nên $MQ=\frac{1}{2}BD.$

Lại có ABCD là hình vuông nên AC = BD và AC ⊥ BD.

Suy ra MN = MQ và MN ⊥ MQ.

Khi đó hình bình hành MNPQ là hình vuông.

b) ⦁ Phép quay ngược chiều 90° tâm O biến điểm O tương ứng thành chính nó.

⦁ Do ABCD là hình vuông tâm O nên OA = OB = OC = OD.

Theo câu a, ta có $\widehat{AOD}=90°$

Do đó, tia OD quay ngược chiều 90° tâm O đến tia OA.

⦁ Tương tự, đối với hình vuông MNPQ ta cũng có ON = OM và $\widehat{NOM}=90°$ nên tia ON quay ngược chiều 90° tâm O đến tia OM.

Vậy phép quay ngược chiều 90° tâm O biến các điểm O, D, N tương ứng thành các điểm O, A, M.

c) Các phép quay tâm O giữ nguyên hình vuông MNPQ là các phép quay thuận chiều α° tâm O và các phép quay ngược chiều α° tâm O, với α° lần lượt nhận các giá trị:

α₁° = 90°; α₂° = 180°; α₃° = 270°; α₄° = 360°.

Bài 16 trang 112 SBT Toán 9 Tập 2: Cho hai hình vuông ABCD và BEFG (Hình 16).

a) Phép quay thuận chiều 90° tâm B biến các điểm A, B, G lần lượt thành các điểm nào?

b) Phép quay ngược chiều 45° tâm A biến các điểm B, E lần lượt thành các điểm nào?

Lời giải:

a) ⦁ Phép quay thuận chiều 90° tâm B biến điểm B tương ứng thành chính nó.

⦁ Do ABCD là hình vuông nên BA = BC và $\widehat{ABC}=90°.$

Do đó tia BA quay đến tia BC tạo thành một cung có số đo 90°.

Như vậy, phép quay thuận chiều 90° tâm B biến điểm A thành điểm C.

⦁ Tương tự, do BEFG là hình vuông nên BG = BE và $\widehat{GBE}=90°.$ Do đó phép quay thuận chiều 90° tâm B biến điểm G thành điểm E.

Phép quay thuận chiều 90° tâm B biến các điểm A, B, G lần lượt thành các điểm C, B, E.

b)

Vì ABCD là hình vuông nên AC là tia phân giác của góc DAB, suy ra $\widehat{CAB}=\frac{1}{2}\widehat{DAB}=\frac{1}{2}\cdot 90°=45°.$

Phép quay ngược chiều 45° tâm A:

– Biến điểm B thành điểm N với N nằm trên tia AC và AN = AB;

– Biến điểm E thành điểm M với M nằm trên tia AC và AM = AE.

Bài 17 trang 112 SBT Toán 9 Tập 2: Cho hình vuông ABCD, I là giao điểm của hai đường chéo AC, BD. E, F, G, H lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Q, N lần lượt là giao điểm của AC với HE và AC với GF; M, P lần lượt là giao điểm của BD với EF và BD với GH (Hình 17). Phép quay thuận chiều 90° tâm I có giữ nguyên các tứ giác EFGH và tứ giác MNPQ hay không? Vì sao?

Lời giải:

⦁ Vì I là giao điểm của hai đường chéo AC, BD của hình vuông ABCD nên I là trung điểm của AC và BD.

Vì E, I lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC nên EI là đường trung bình của ∆ABC.

Suy ra EI // BC và $EI=\frac{1}{2}BC.$

Chứng minh tương tự, ta cũng có IG là đường trung bình của ∆BCD. Suy ra IG // BC và $IG=\frac{1}{2}BC.$

Do đó IE // BC // IG và IE = IG.

Theo tiên đề Euclid, qua I có hai đường thẳng IE và IG cùng song song với BC nên ba điểm E, I, G thẳng hàng. Lại có IE = IG nên I là trung điểm của EG.

Chứng minh tương tự ta cũng có I là trung điểm của HF.

Do đó tứ giác EFGH là hình bình hành.

Ta có I là trung điểm của EG và HF nên EG = 2EI và HF = 2IF.

Mà BC = 2EI, CD = 2IF và BC = CD (do ABCD là hình vuông) nên EG = HF.

Do đó hình bình hành EFGH là hình chữ nhật.

Mặt khác, IE // BC, IF // CD và BC ⊥ CD nên IE ⊥ IF hay EG ⊥ HF.

Suy ra hình chữ nhật EFGH là hình vuông và I là giao điểm hai đường chéo.

Như vậy, phép quay thuận chiều 90° tâm I giữ nguyên hình vuông EFGH.

⦁ Ta có E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC nên EF là đường trung bình của tam giác, do đó EF // AC hay EM // AI.

Xét ∆ABI có E là trung điểm của AB và EM // AI nên EM là đường trung bình của tam giác, do đó M là trung điểm của BI, nên $MI=\frac{1}{2}BI$ mà $IB=ID=\frac{1}{2}BD$ nên $IM=\frac{1}{4}BD.$

Chứng minh tương tự ta có $IM=IP=\frac{1}{4}BD;IN=IQ=\frac{1}{4}AC$

Mà AC = BD nên IM = IN = IP = IQ và MP = NQ.

Do đó MNPQ là hình chữ nhật, lại có MP ⊥ NQ (do AC ⊥ BD) nên hình chữ nhật MNPQ là hình vuông có I là giao điểm hai đường chéo.

Như vậy, phép quay thuận chiều 90° tâm I giữ nguyên hình vuông MNPQ .

Vậy phép quay thuận chiều 90° tâm I giữ nguyên các tứ giác EFGH và MNPQ.

Bài 18 trang 112 SBT Toán 9 Tập 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD với A(1; 1), B(–1; 1), C(–1; –1), D(1; –1). Phép quay ngược chiều 45° tâm O biến các điểm A, B, C, D lần lượt thành các điểm A’, B’, C’, D’. Tính diện tích tứ giác A’B’C’D’.

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu của A trên Oy.

Ta có A(1; 1) nên suy ra AH = OH = 1.

Do đó ∆OAH vuông cân tại H nên $\widehat{AOH}=45°.$

Xét ∆OAH vuông tại H, ta có: OA² = OH² + AH² (định lí Pythagore)

Suy ra $OA=\sqrt{O{H}^2+A{H}^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.$

Tương tự, ta sẽ có $OA=OB=OC=OD=\sqrt{2}.$

Mặt khác, do ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, do đó O là tâm của hình vuông.

Do đó, phép quay ngược chiều 45° tâm O biến điểm A thành các điểm A’ nằm trên tia Oy sao cho $O{A}^{\text{'}}=OA=\sqrt{2},$ tức là $A^{\text{'}}\left(0;\sqrt{2}\right).$

Tương tự, ta chứng minh được, phép quay ngược chiều 45° tâm O biến các điểm A, B, C, D lần lượt thành các điểm $A^{\text{'}}\left(0;\sqrt{2}\right),B^{\text{'}}\left(-\sqrt{2};0\right),$ $C^{\text{'}}\left(0;-\sqrt{2}\right),D^{\text{'}}\left(\sqrt{2};0\right).$

Suy ra tứ giác A’B’C’D’ là hình vuông với hai đường chéo là A’C’ và B’D’, nên diện tích tứ giác A’B’C’D’ là:

$\frac{1}{2}\cdot A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\cdot B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=4$ (đơn vị diện tích).

Bài 19 trang 112 SBT Toán 9 Tập 2: Khi quan sát la bàn (Hình 18a), bác An thấy con tàu mà bác điều khiển đang đi thẳng và di chuyển về hướng Bắc. Hỏi bác phải thực hiện phép quay nào trên bánh lái (Hình 18b) để con tàu rẽ sang:

a) Hướng Tây?

b) Hướng Đông?

Lời giải:

a) Do con thuyền đang đi về hướng Bắc, nên để con tàu rẽ sang hướng Tây thì bánh lái cần quay sang trái (quay ngược chiều kim đồng hồ) một góc 90°.

Vậy bác An cần thực hiện phép quay ngược chiều 90° tâm là tâm của bánh lái.

b) Do con thuyền đang đi về hướng Bắc, nên để con tàu rẽ sang hướng Đông thì bánh lái cần quay sang phải (quay thuận chiều kim đồng hồ) một góc 90°.

Vậy bác An cần thực hiện phép quay thuận chiều 90° tâm là tâm của bánh lái.

Bài 20 trang 112, 113 SBT Toán 9 Tập 2: Cho hình đa giác đều có 9 cạnh ABCDEFGHI với tâm O (Hình 19). Tìm phát biểu sai, phát biểu đúng trong các phát biểu sau:

a) Các phép quay thuận chiều α° tâm O, với α° lần lượt nhận các giá trị 40°; 80°; …; 320°; 360° giữ nguyên hình đa giác đều ABCDEFGHI .

b) Phép quay ngược chiều 80° tâm O biến các điểm A, B, C, D, E lần lượt thành các điểm H, I, E, B, C.

c) Phép quay ngược chiều 120° tâm O biến các điểm A, B, C, D, E lần lượt thành các điểm G, H, I, A, C.

Lời giải:

– Phát biểu a) đúng.

– Vì phép quay ngược chiều 80° tâm O biến điểm C thành điểm A nên phát biểu phép quay ngược chiều 80° tâm O biến điểm C thành điểm E là sai. Vậy phát biểu b) sai.

– Vì phép quay ngược chiều 120° tâm O biến điểm E thành điểm B nên phát biểu phép quay ngược chiều 120° tâm O biến điểm E thành điểm C là sai. Vậy phát biểu c) sai.

Bài 21 trang 113 SBT Toán 9 Tập 2: Cho điểm O cố định và số đo α° (0° < α° < 180°).

a) Ở Hình 20, phép quay ngược chiều α° tâm O biến điểm A thành điểm A’ và biến điểm B thành điểm B’. Chứng minh AB = A’B’.

b) Ở Hình 21, phép quay thuận chiều α° tâm O biến điểm M thành điểm M’ và biến điểm N thành điểm N’. Hỏi MN có bằng M’N’ hay không? Vì sao?

Lời giải:

a) Vì phép quay ngược chiều α° tâm O biến điểm A thành điểm A’ nên OA = OA’ và $\widehat{AO{A}^{\text{'}}}=\alpha °.$

Vì phép quay ngược chiều α° tâm O biến điểm B thành điểm B’ nên OB = OB’ và $\widehat{BO{B}^{\text{'}}}=\alpha °.$

Ta có $\widehat{AOB}=\widehat{AO{A}^{\text{'}}}-\widehat{A^{\text{'}}OB}=\alpha °-\widehat{A^{\text{'}}OB};$ $\widehat{A^{\text{'}}O{B}^{\text{'}}}=\widehat{BO{B}^{\text{'}}}-\widehat{A^{\text{'}}OB}=\alpha °-\widehat{A^{\text{'}}OB}.$

Suy ra $\widehat{AOB}=\widehat{A^{\text{'}}O{B}^{\text{'}}}.$

Xét ∆OAB và ∆OA’B’ có:

OA = OA’, $\widehat{AOB}=\widehat{A^{\text{'}}O{B}^{\text{'}}},$ OB = OB’

Do đó ∆OAB = ∆OA’B’ (c.g.c)

Suy ra AB = A’B’ (hai cạnh tương ứng).

b) Vì phép quay thuận chiều α° tâm O biến điểm M thành điểm M’ nên OM = OM’ và $\widehat{MO{M}^{\text{'}}}=\alpha °.$

Vì phép quay thuận chiều α° tâm O biến điểm N thành điểm N’ nên ON = ON’ và $\widehat{NO{N}^{\text{'}}}=\alpha °.$

Ta có $\widehat{MON}=\widehat{MO{M}^{\text{'}}}-\widehat{NO{M}^{\text{'}}}=\alpha °-\widehat{NO{M}^{\text{'}}};$ $\widehat{M^{\text{'}}O{N}^{\text{'}}}=\widehat{NO{N}^{\text{'}}}-\widehat{NO{M}^{\text{'}}}=\alpha °-\widehat{NO{M}^{\text{'}}}.$

Suy ra $\widehat{MON}=\widehat{M^{\text{'}}O{N}^{\text{'}}}.$

Xét ∆OMN và ∆OM’N’ có:

OM = OM’, $\widehat{MON}=\widehat{M^{\text{'}}O{N}^{\text{'}}},$ ON = ON’

Do đó ∆OMN = ∆OM’N (c.g.c)

Suy ra MN = M’N’ (hai cạnh tương ứng).

Bài 22 trang 113 SBT Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC. Về phía ngoài tam giác đó dựng các hình vuông ABMN và ACFG (Hình 22). Sử dụng kết quả bài tập 21 chứng minh BG = CN.

Lời giải:

Vì ABMN là hình vuông nên AB = AN và $\widehat{BAN}=90°.$

Do đó phép quay thuận chiều 90° tâm A biến điểm B thành các điểm N.

Tương tự, phép quay thuận chiều 90° tâm A biến điểm G thành các điểm C.

Vì phép quay thuận chiều 90° tâm A biến các điểm B, G lần lượt thành các điểm N, C nên áp dụng kết quả bài tập 21 ta có BG = CN.

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán lớp 9 bộ sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 9

Bài 1: Hình trụ

Bài 2: Hình nón

Bài 3: Hình cầu

Bài tập cuối chương 10