Sách bài tập Toán 9 Bài 1 (Cánh diều): Hàm số y = ax^2 (a ≠ 0)

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{ax}}^2$ (a ≠ 0)

Bài 1 trang 57 SBT Toán 9 Tập 2: Diện tích toàn phần của hình lập phương cạnh a được cho bởi công thức S=6a².

a) Tính các giá trị của S rồi hoàn thiện bảng sau:

b) Tính cạnh a của hình lập phương (theo đơn vị centimét và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm), biết diện tích toàn phần của hình lập phương đó bằng 42 cm².

Lời giải:

a) Với a = 2 cm ta có: S = 6.2² = 24 (cm²).

Với a = 2,7 cm ta có: S = 6.(2,7)² = 43,74 (cm²).

Với a = 1,22 cm ta có: S = 6.(1,22)² = 8,9304 (cm²).

Với a = 0, 001 cm ta có: S = 6.(0,001)² = 0,000006 (cm²).

Vậy ta có bảng sau:

b) Ta có: 6a² = 42.

Suy ra a² = 7, nên a ≈ 2,65 cm.

Bài 2 trang 57 SBT Toán 9 Tập 2: Cho hàm số y = –ax²(a ≠ 0). Tìm a, biết khi x = 1,2 thì y = –2,88.

Lời giải:

Ta có: –2,88 = –a.(1,2)² hay 1,44a = 2,88. Do đó a = 2.

Bài 3 trang 57 SBT Toán 9 Tập 2: Galileo Galilei là người phát hiện ra quãng đường chuyển động của vật rơi tự do tỉ lệ thuận với bình phương của thời gian. Liên hệ giữa quãng đường chuyển động s (mét) và thời gian chuyển động x (giây) được cho bởi hàm số s=4,9x². Người ta thả một vật nặng từ độ cao 56 m trên tháp nghiêng Pi–sa xuống đất (sức cản của không khí không đáng kể).

a) Hỏi sau thời gian 2,5 giây vật nặng còn cách mặt đất bao nhiêu mét?

b) Khi vật nặng còn cách mặt đất 17,584 m thì nó đã rơi thời gian bao nhiêu giây?

Lời giải:

a) Ta có công thức s = 4,9x²

Thay x = 2,5 giây vào công thức trên ta có:S = 4,9.2,5² = 30,625 (m).

Vậy sau thời gian 2,5 giây vật nặng còn cách mặt đất số mét là:

56 ‒ 30,625 = 25,375 (m).

b) Quãng đường vật nặng đi được khi vật nặng còn cách mặt đất 17,584 m là:

56–17,584=38,416(m).

Thời gian vật nặng đi được quãng đường 38,416 m là $\sqrt{\frac{38,416}{4,9}}=2,8$ (giây).

Bài 4 trang 57 SBT Toán 9 Tập 2: Một viên bi lăn trên mặt phẳng nghiêng. Đoạn đường đi được liên hệ với thời gian bởi hàm số y = at² (t tính bằng giây, y tính bằng mét). Người ta đo được quãng đường viên bi lăn được ở thời điểm 3 giây là 2,25 m. Hỏi khi viên bi lăn được quãng đường 6,25 m thì nó đã lăn trong bao lâu?

Lời giải:

Với t = 3, y = 2,25 ta có: 2,25 = a.3² nên a = 0,25.

Với a = 0,25 ta có: y = 0,25t². (1)

Thay y = 6,25 vào (1) ta được: 6,25 = 0,25t². (2)

Từ (2) và t > 0, ta có t = 5.

Vậy khi viên bi lăn được 6,25 m thì nó đã lăn trong 5 giây.

Bài 5 trang 57, 58 SBT Toán 9 Tập 2: a) Điểm A(–0,2; 1) thuộc đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau: y=10x²; y =–10x²; y=25x²; y=–25x²; $\mathrm{y}=\frac{1}{25}{\mathrm{x}}^2;$ $\mathrm{y}=\frac{-1}{25}{\mathrm{x}}^2?$

b) Trong các điểm $\mathrm{B}\left(-2;4\sqrt{3}\right),$ $\mathrm{C}\left(-2;-4\sqrt{3}\right),$ $\mathrm{D}\left(-0,2;-0,4\sqrt{3}\right),$ $\mathrm{E}\left(0,4\sqrt{3};0,2\right),$ điểm nào thuộc đồ thị hàm số $\mathrm{y}=-\sqrt{3}{\mathrm{x}}^2?$

Lời giải:

a) Từ A(‒0,2; 1) ta có: x_A = ‒0,2; y_A = 1.

Thay x_A = ‒0,2 lần lượt vào từng hàm số ta có:

10.(‒0,2)² = 0,4 ≠ y_A.

‒10.(‒0,2)² = ‒0,4 ≠ y_A.

25.(‒0,2)² = 1 = y_A.

‒25.(‒0,2)² = ‒1 ≠ y_A.

$\frac{1}{25}\cdot {\left(-0,2\right)}^2=0,0016\ne {\mathrm{y}}_{\mathrm{A}}.$

$\frac{-1}{25}\cdot {\left(-0,2\right)}^2=-0,0016\ne {\mathrm{y}}_{\mathrm{A}}.$

Vậy A thuộc đồ thị hàm số y=25x².

b) • $\mathrm{B}\left(-2;4\sqrt{3}\right).$Thay x = ‒2, vào hàm số $\mathrm{y}=-\sqrt{3}{\mathrm{x}}^2$ ta được:

$-\sqrt{3}\cdot {\left(-2\right)}^2=-4\sqrt{3}\ne {\mathrm{y}}_{\mathrm{B}}.$

• $\mathrm{C}\left(-2;-4\sqrt{3}\right).$Thay x = ‒2, vào hàm số $\mathrm{y}=-\sqrt{3}{\mathrm{x}}^2$ ta được:

$-\sqrt{3}\cdot {\left(-2\right)}^2=-4\sqrt{3}={\mathrm{y}}_{\mathrm{C}}.$

• $\mathrm{D}\left(-0,2;-0,4\sqrt{3}\right).$Thay x = ‒0,2, vào hàm số $\mathrm{y}=-\sqrt{3}{\mathrm{x}}^2$ ta được:

$-\sqrt{3}\cdot {\left(-0,2\right)}^2=-0,04\sqrt{3}\ne {\mathrm{y}}_{\mathrm{D}}.$

• $\mathrm{E}\left(0,4\sqrt{3};0,2\right).$Thay vào hàm số $\mathrm{y}=-\sqrt{3}{\mathrm{x}}^2$ ta được:

$-\sqrt{3}\cdot {\left(0,4\sqrt{3}\right)}^2=-0,48\sqrt{3}\ne {\mathrm{y}}_{\mathrm{E}}.$

Vậy điểm C thuộc đồ thị hàm số $\mathrm{y}=-\sqrt{3}{\mathrm{x}}^2.$

Bài 6 trang 58 SBT Toán 9 Tập 2: Cho A là giao điểm của hai đường thẳng y = x–1 và y = –2x+8. Chứng minh rằng điểm A thuộc đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{2}{9}{\mathrm{x}}^2.$

Lời giải:

Gọi A(x₀; y₀) là giao điểm của hai đường thẳng y = x–1 và y = –2x+8.

Do đó ta có:

⦁ y₀ = x₀–1;

⦁ y₀ = –2x₀+8.

Suy ra: x₀–1 = –2x₀+8.

3x₀ = 9

x₀ = 3.

Thay x₀ = 3 vào hàm số $\mathrm{y}=\frac{2}{9}{\mathrm{x}}^2,$ ta được: ${\mathrm{y}}_0=\frac{2}{9}\cdot 3^2=2.$

Suy ra A(3; 2).

Mặt khác, thay x₀ = 3 và y₀ = 2 vào hàm số $\mathrm{y}=\frac{2}{9}{\mathrm{x}}^2,$ ta có $2=\frac{2}{9}\cdot 3^2$ (luôn đúng), nên điểm A thuộc đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{2}{9}{\mathrm{x}}^2.$

Bài 7 trang 58 SBT Toán 9 Tập 2: Cho hàm số y = kx²(k ≠ 0) có đồ thị là một parabol với đỉnh O như Hình 3.

a) Tìm giá trị của k.

b) Tìm tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ bằng 2.

c) Tìm các điểm thuộc parabol có tung độ bằng 2.

d*) Tìm các điểm (không phải điểm O) thuộc parabol sao cho khoảng cách từ điểm đó đến trục hoành gấp ba lần khoảng cách từ điểm đó đến trục tung.

Lời giải:

a) Do đồ thị hàm số đi qua A(3; 3) nên 3 = k.3², suy ra $\mathrm{k}=\frac{1}{3}.$

Vậy hàm số có dạng $\mathrm{y}=\frac{1}{3}{\mathrm{x}}^2.$

b) Do tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ bằng 2 nên x = 2.

Thay x = 2 vào hàm số $\mathrm{y}=\frac{1}{3}{\mathrm{x}}^2.$ ta được: $\frac{1}{3}\cdot 2^2=\frac{4}{3}.$

Vậy tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ bằng 2 là y = 2.

c) Do điểm có tung độ bằng 2 nên y = 2.

Thay y = 2 vào hàm số $\mathrm{y}=\frac{1}{3}{\mathrm{x}}^2.$ ta được:

$\frac{1}{3}\cdot {\mathrm{x}}^2=2,$ suy ra x² = 6, nên $\mathrm{x}=\sqrt{6}$ hoặc $\mathrm{x}=-\sqrt{6}.$

Vậy các điểm thuộc parabol có tung độ bằng 2 là $\left(\sqrt{6};2\right)$ và $\left(-\sqrt{6};2\right).$

d*) Gọi M(a; b) là điểm thuộc parabol thỏa mãn khoảng cách từ điểm đó đến trục hoành gấp ba lần khoảng cách từ điểm đó đến trục tung.

Từ đó, ta có: $\frac{1}{3}{\mathrm{a}}^2=\mathrm{b}\left(*\right)$ và |b| = 3.|a|.

Do |b| = 3.|a| nên b = 3a hoặc b = –3a.

– Nếu b = 3a, kết hợp với (*) ta có: $\frac{1}{3}\cdot {\mathrm{a}}^2=3\mathrm{a}$ hay a² = 9a.

Suy ra a(a–9) = 0. Tức là a = 0 hoặc a = 9.

⦁ Với a = 0 thì b = 0, khi đó M(0; 0) (loại vì đây là điểm O).

⦁ Với a = 9 thì b = 27, khi đó M(9; 27).

– Nếu b = –3a, kết hợp với (*) ta có: $\frac{1}{3}\cdot {\mathrm{a}}^2=-3\mathrm{a}$ hay a² = –9a.

Suy ra a(a + 9) = 0. Tức là a = 0 hoặc a = –9.

⦁ Với a = 0 thì b=0, khi đó M(0; 0) (loại vì đây là điểm O).

⦁ Với a = –9 thì b = 27, khi đó M(–9; 27).

Vậy các điểm phải tìm là M(9; 27) và M’(–9; 27).

Bài 8 trang 58 SBT Toán 9 Tập 2: Nước từ một vòi nước (đặt trên mặt nước) được phun lên cao sẽ đạt đến một độ cao nào đó rồi rơi xuống (Hình 4). Giả sử nước được phun ra bắt đầu từ vị trí A trên mặt nước và rơi trở lại mặt nước ở vị trí B, đường đi của nước có dạng một phần của parabol $\mathrm{y}=-\frac{1}{4}{\mathrm{x}}^2$ trong hệ trục toạ độ Oxy, với gốc tọa độ O là vị trí cao nhất mà nước được phun ra đạt được so với mặt nước, trục Ox song song với AB, x và y được tính theo đơn vị mét. Tính chiều cao h từ điểm O đến mặt nước, biết khoảng cách giữa điểm A và điểm B là 6 m.

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của đoạn AB. Khi đó OI = h và $\mathrm{A}\mathrm{I}=\mathrm{I}\mathrm{B}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{2}=\frac{6}{2}=3\left(\text{m}\right).$

Từ đó, trong hệ trục Oxy, hoành độ của B bằng 3, tung độ của B bằng –h.

Do đó: $-\mathrm{h}=-\frac{1}{4}\cdot 3^2$ hay $-\mathrm{h}=\frac{-9}{4},$ suy ra $\mathrm{h}=\frac{9}{4}=2,25\left(\text{m}\right).$

Bài 9 trang 59 SBT Toán 9 Tập 2: Một chiếc cổng hình parabol khi đưa vào hệ trục toạ độ Oxy có dạng một phần của parabol $\mathrm{y}=-\frac{1}{8}{\mathrm{x}}^2,$ với gốc tọa độ O là vị trí cao nhất của cổng so với mặt đất, x và y được tính theo đơn vị mét, chiều cao OK của cổng là 4,5 m như mô tả ở Hình 5 (K là trung điểm của đoạn AB). Tìm khoảng cách giữa hai chân cổng A và B ở trên mặt đất.

Lời giải:

Từ Hình 5, ta có K(0;–4,5).

Gọi hoành độ của điểm B là b (b > 0).

Do tung độ của điểm B bằng tung độ của K nên B(b;–4,5).

Mặt khác, B thuộc parabol $\mathrm{y}=-\frac{1}{8}{\mathrm{x}}^2$ nên ta có:

$-4,5=-\frac{1}{8}{\mathrm{b}}^2$ hay b² = 36, nên b=6 (do b > 0).

Từ đó KB=6 m và AB=2.KB= 2.6 = 12 m.

Vậy khoảng cách giữa hai chân cổng A và B ở trên mặt đất bằng 12 mét.

Bài 10 trang 59 SBT Toán 9 Tập 2: a) Vẽ đồ thị các hàm số $\mathrm{y}=-\frac{3}{2}{\mathrm{x}}^2$ và $\mathrm{y}=\frac{3}{2}{\mathrm{x}}^2$ trên cùng một mặt phẳng toạ độ Oxy.

b) Qua đồ thị của các hàm số đó, hãy cho biết khi x tăng từ 0,5 đến 2 thì giá trị lớn nhất của hàm số $\mathrm{y}=-\frac{3}{2}{\mathrm{x}}^2$ và giá trị nhỏ nhất của hàm số $\mathrm{y}=\frac{3}{2}{\mathrm{x}}^2$ là bao nhiêu?

Lời giải:

a) – Vẽ đồ thị hàm số $\mathrm{y}=-\frac{3}{2}{\mathrm{x}}^2$

• Ta có bảng giá trị của y tương ứng với giá trị của t như sau:

• Vẽ các điểm A(‒2; ‒6); B (‒1; ‒1,5); O(0; 0); C(1; ‒1,5); D(2; ‒6) thuộc đồ thị hàm số $\mathrm{y}=-\frac{3}{2}{\mathrm{x}}^2$ trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

• Vẽ đường parabol đi qua 5 điểm A, B, O, C, D, ta nhận được đồ thị của hàm số $\mathrm{y}=-\frac{3}{2}{\mathrm{x}}^2$ (hình vẽ).

– Vẽ đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{3}{2}{\mathrm{x}}^2$

• Ta có bảng giá trị của y tương ứng với giá trị của t như sau:

• Vẽ các điểm M(‒2; 6); N(‒1; 1,5); O(0; 0); P(1; 1,5); Q(2; 6) thuộc đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{3}{2}{\mathrm{x}}^2$ trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

• Vẽ đường parabol đi qua 5 điểm M, N, O, P, Q, ta nhận được đồ thị của hàm số $\mathrm{y}=\frac{3}{2}{\mathrm{x}}^2$ (hình vẽ).

b) Từ đồ thị hàm số ở câu a, ta thấy khi x tăng từ 0,5 đến 2 thì hàm số $\mathrm{y}=-\frac{3}{2}{\mathrm{x}}^2$ có giá trị lớn nhất bằng tại x = 0,5 và hàm số $\mathrm{y}=\frac{3}{2}{\mathrm{x}}^2$ có giá trị nhỏ nhất tại x=0,5.

Thay x=0,5 vào hàm số $\mathrm{y}=-\frac{3}{2}{\mathrm{x}}^2$ ta được:

$\mathrm{y}=-\frac{3}{2}\cdot 0,5^2=-0,375.$

Thay x=0,5 vào hàm số $\mathrm{y}=\frac{3}{2}{\mathrm{x}}^2$ ta được:

$\mathrm{y}=\frac{3}{2}\cdot 0,5^2=0,375.$

Vậy khi x tăng từ 0,5 đến 2 thì hàm số $\mathrm{y}=-\frac{3}{2}{\mathrm{x}}^2$ có giá trị lớn nhất bằng ‒0,375 tại x = 0,5 và hàm số $\mathrm{y}=\frac{3}{2}{\mathrm{x}}^2$ có giá trị nhỏ nhất bằng 0,375 tại x=0,5.

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán lớp 9 bộ sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Phương trình bậc hai một ẩn

Bài 3: Định lí Viète

Bài tập cuối chương 7

Bài 1: Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác

Bài 2: Tứ giác nội tiếp đường tròn