Sách bài tập Toán 9 Bài 3 (Cánh diều): Hình cầu

Giải SBT Toán 9 Bài 3: Hình cầu

Bài 24 trang 134 SBT Toán 9 Tập 2: Biết phần chung của một mặt cầu và một mặt phẳng đi qua tâm của nó là một đường tròn có diện tích bằng 8π cm2. Tính diện tích của mặt cầu đó.

Lời giải:

Gọi r là bán kính của hình cầu (r > 0).

Ta có diện tích hình tròn lớn của nó bằng πr² và bằng 8π nên πr² = 8π hay r² = 8.

Vậy diện tích của mặt cầu đó là: 4πr² = 4π.8 = 32π (cm²).

Bài 25 trang 134 SBT Toán 9 Tập 2: Một quả bida có dạng hình cầu với thể tích bằng 36 000π mm³. Hỏi đường kính của quả bida đó bằng bao nhiêu centimét?

Lời giải:

Gọi bán kính quả bida là r (mm) (r > 0).

Thể tích quả bida là $\frac{4}{3}\pi r^3$ và bằng 36 000π mm³ nên ta có:

$\frac{4}{3}\pi r^3=36000\pi$

Suy ra $r^3=36000:\frac{4}{3}=27000$

Do đó r = 30 mm.

Vậy đường kính quả bida đó là 2.30 = 60 mm = 6 cm.

Bài 26 trang 134 SBT Toán 9 Tập 2: Một khối gỗ gồm một hình cầu (C) bán kính R và một hình nón (N) có bán kính đường tròn đáy và đường sinh lần lượt là r (cm), l (cm) thoả mãn 2R = l và 2l = 3r. Biết tổng diện tích mặt cầu (C) và diện tích toàn phần của hình nón (N) là 171π cm². Tính diện tích của mặt cầu (C) (theo đơn vị centimét vuông và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải:

Từ 2R = l và 2l = 3r, suy ra $R=\frac{l}{2},r=\frac{2l}{3}.$

Diện tích mặt cầu (C) là: $4\pi R^2=4\pi \cdot {\left(\frac{l}{2}\right)}^2=4\pi \cdot \frac{l}{4}=\pi l^2.$

Diện tích toàn phần của hình nón (N) là:

$\pi rl+\pi r^2=\pi \cdot \frac{2l}{3}\cdot l+\pi \cdot {\left(\frac{2l}{3}\right)}^2=\frac{2}{3}\pi l^2+\frac{4}{9}\pi l^2=\frac{10\pi l^2}{9}.$

Do tổng diện tích mặt cầu (C) và diện tích toàn phần của hình nón (N) là 171π cm² nên:

$\pi l^2+\frac{10\pi l^2}{9}=171\pi$ hay 19πl² = 171π.9

Suy ra l² = 81 nên l = 9 cm (do l > 0).

Khi đó, bán kính mặt cầu (C) là $R=\frac{l}{2}=\frac{9}{2}=4,5$ (cm).

Vậy diện tích của mặt cầu (C) là:

4πR² = 4π.(4,5)² = 81π ≈ 81.3,14 = 254,34 ≈ 254 (cm²).

Bài 27 trang 135 SBT Toán 9 Tập 2: Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ với các kích thước như ở Hình 24. Hỏi thể tích của bồn chứa bằng bao nhiêu mét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải:

Ta có bán kính hình cầu và bán kính đáy hình trụ đều là: 1,8 : 2 = 0,9 (m).

Tổng thể tích của hai nửa hình cầu chính là thể tích của một hình cầu có cùng bán kính và bằng:

$\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot {\left(0,9\right)}^3=0,972\pi$ (m³).

Thể tích phần hình trụ là:

V = πR²h = π.(0,9)².3,62 = 2,9322π (m³).

Thể tích của bồn chứa là:

0,972π + 2,9322π = 3,9042π ≈ 3,9042.3,14 ≈ 12,3 (m³).

Bài 28 trang 135 SBT Toán 9 Tập 2: Người ta thả một viên bi có dạng hình cầu (đặc, không thấm nước) với bán kính là 3 cm vào một cái cốc dạng hình trụ chứa nước. Người ta thấy viên bi chìm xuống đáy cốc và chiều cao mực nước dâng thêm 1,5 cm. Biết chiều cao của mực nước ban đầu trong cốc bằng 7,2 cm. Tính thể tích của khối nước ban đầu trong cốc (theo đơn vị centimét khối và làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải:

Gọi bán kính đường tròn đáy của cái cốc là R (cm) (R > 0).

Thể tích viên bi có dạng hình cầu với bán kính là 3 cm là:

$\frac{4}{3}\pi \cdot 3^3=36\pi \left({\text{cm}}^3\right).$

Dễ thấy khi viên bi chìm xuống đáy cốc thì lượng nước trong cốc được dâng thêm bằng thể tích viên bi. Mặt khác, khi viên bi chìm xuống đáy cốc thì chiều cao mực nước dâng thêm 1,5 cm, do đó ta có πR².1,5 = 36π.

Suy ra R² = 24.

Thể tích của khối nước ban đầu trong cốc là:

πR².7,2 = π.24.7,2 = 172,8π ≈ 172,8 . 3,14 ≈ 542,6 (cm³).

Bài 29 trang 135 SBT Toán 9 Tập 2: Người ta đổ đầy nước vào một bể hình lập phương cạnh 2a. Tiếp theo, người ta thả vào trong bể đó một vật thể có dạng hình cầu (đặc, không thấm nước) bán kính a như Hình 25. Hỏi lượng nước còn lại trong bể bằng bao nhiêu phần trăm lượng nước bị trào ra khỏi bể (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải:

Ta có lượng nước bị trào ra khỏi bể bằng thể tích hình cầu và bằng $\frac{4}{3}\pi a^3.$

Thể tích của bể nước có dạng hình lập phương đó là: (2a)³ = 8a³.

Do đó, lượng nước còn lại trong bể là:

$8a^3-\frac{4}{3}\pi a^3=\frac{\left(24-4\pi \right)a^3}{3}.$

Ta có tỉ số phần trăm của lượng nước còn lại trong bể và lượng nước bị trào ra khỏi bể là:

$\left[\frac{\left(24-4\pi \right)a^3}{3}:\left(\frac{4}{3}\pi a^3\right)\right]\cdot 100\%=\left[\frac{\left(24-4\pi \right)a^3}{3}\cdot \frac{3}{4\pi a^3}\right]\cdot 100\%$$=\frac{6-\pi }{\pi }\cdot 100\%\approx 91,1\%.$

Vậy lượng nước còn lại trong bể bằng khoảng 91,1% lượng nước bị trào ra khỏi bể.

Bài 30 trang 135 SBT Toán 9 Tập 2: Một món đồ chơi có dạng như Hình 26. Vỏ ngoài món đồ chơi là một hình nón (bằng nhựa trong suốt) có bán kính đường tròn đáy là $3\sqrt{3}$ cm và đường sinh là $6\sqrt{3} \text{cm}.$ Trong hình nón là hai quả cầu (bằng thuỷ tinh) to và nhỏ, bán kính của chúng lần lượt là 3 cm và 1 cm. Tính tỉ số tổng thể tích của hai quả cầu và thể tích hình nón đó.

Lời giải:

Tổng thể tích của hai quả cầu là:

$\frac{4}{3}\pi \cdot 1^3+\frac{4}{3}\pi \cdot 3^3=\frac{112\pi }{3}$ (cm³).

Ta có công thức tính độ dài đường sinh l qua chiều cao h và bán kính đáy r của hình nón là:

l² = h² + r². Suy ra h² = l² – r².

Khi đó, chiều cao của hình nón là:

$\sqrt{{\left(6\sqrt{3}\right)}^2-{\left(3\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{108-27}=\sqrt{81}=9$ (cm).

Thể tích hình nón là:

$\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot {\left(3\sqrt{3}\right)}^2\cdot 9=81\pi$ (cm³).

Tỉ số tổng thể tích của hai quả cầu và thể tích hình nón là:

$\frac{112\pi }{3}:\left(81\pi \right)=\frac{112\pi }{3}\cdot \frac{1}{81\pi }=\frac{112}{243}.$

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán lớp 9 bộ sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Phép quay

Bài tập cuối chương 9

Bài 1: Hình trụ

Bài 2: Hình nón

Bài tập cuối chương 10