27 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

C. Hai mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d. Với mỗi điểm A thuộc $(α)$ và mỗi điểm B thuộc $(β)$ thì ta có đường thẳng vuông góc với.

D. Nếu hai mặt phẳng

(α)

và

(β)

đều vuông góc với mặt phẳng

(γ)

thì giao tuyến của

(α)

và

(β)

nếu có sẽ vuông góc với

(γ)

.

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Theo Định lí $2 (t r 109 - S G K - H H 11 - C B)$ .

Câu 9:

23/07/2024

Cho hai mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ vuông góc với nhau và gọi $d = (α) \cap (β)$ .

I. Nếu $a \subset (α)$ và $a ⊥ d$ thì $a ⊥ (β)$ .

II. Nếu $d^{'} ⊥ (α)$ thì $d^{'} ⊥ d$ .

III. Nếu b $⊥$ d thì b $\subset (α)$ hoặc b $\subset$ ( $β$ ).

IV. Nếu $(γ) ⊥ d$ thì $(γ) ⊥ (α)$ và $(γ) ⊥ (β)$

Các mệnh đề đúng là:

A. I, II và III.

B. III và IV.

C. II và III.

D. I, II và IV.

Xem đáp án

Đáp án: D

Câu 10:

23/07/2024

Cho hai mặt phẳng

(P)

và

(Q)

cắt nhau và một điểm M không thuộc

(P)

và

(Q)

. Qua M có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với

(P)

và

(Q)

?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. Vô số.

Xem đáp án

Đáp án: A

Câu 11:

23/07/2024

Cho hai mặt phẳng

(P)

và

(Q)

, a là một đường thẳng nằm trên

(P)

. Mệnh đề nào sau đây sai ?

A. Nếu $a // b$ với $b = (P) \cap (Q)$ thì $a// (Q)$ .

B. Nếu

(P) ⊥ (Q)

thì

a ⊥ (Q) .

C. Nếu a cắt $(Q)$ thì $(P)$ cắt $(Q)$

D. Nếu

(P) / / (Q)

thì

a / / (Q)

.

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gọi $b = (P) \cap (Q)$ nếu $a // b$ thì $a / / (Q)$ .

Câu 12:

18/07/2024

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:

A. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

B. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b đồng thời

a ⊥ b

. Luôn có mặt phẳng

(α)

chứa a và

(α) ⊥ b

.

C. Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau. Nếu mặt phẳng $(α)$ chứa a và mặt phẳng $(β)$ chứa b thì $(α) ⊥ (β)$ .

D. Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng khác.

Xem đáp án

Đáp án: B

Câu 13:

18/07/2024

Cho hai mặt phẳng

(P)

và

(Q)

song song với nhau và một điểm M không thuộc

(P)

và

(Q)

. Qua M có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với

(P)

và

(Q)

?

A. 2

B. 3

C. 1

D. Vô số.

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Qua M dựng đường thẳng vuông cóc với $(P)$ và $(Q)$ . Khi đó có vô số mặt phẳng xoay quanh thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 14:

22/11/2024

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

B. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

C. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

D. Cả ba mệnh đề trên đều sai.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Lời giải:

Tất cả đều sai vì :

Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì hoặc song song với nhau hoặc cắt nhau theo giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

*Phương pháp giải:

Dụa vào tính chất 2 mặp phẳng vuông góc

*Lý thuyết:

1. Góc giữa hai mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc

- Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Lấy các đường thẳng a, b tương ứng vuông góc với (P), (Q). Khi đó, góc giữa a và b không phụ thuộc vào vị trí của a, b và được gọi là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

- Hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng $90^{0}$ .

Chú ý: Nếu $φ$ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) thì $0^{0} \leq φ \leq 90^{0}$ .

Nhận xét:

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến $Δ$ . Lấy hai đường thẳng m, n tương ứng thuộc (P), (Q) và cùng vuông góc với $Δ$ tại một điểm O (nói cách khác, lấy một mặt phẳng vuông góc với $Δ$ , cắt (P), (Q) tương ứng theo các giao tuyến m, n). Khi đó, góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa m và n. Đặc biệt, (P) vuông góc với (Q) khi và chỉ khi m vuông góc với n.

2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

3. Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

- Với hai mặt phẳng vuông góc với nhau, bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

Nhận xét: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Mỗi đường thẳng qua điểm O thuộc (P) và vuông góc với mặt phẳng (Q) thì đường thẳng đó thuộc mặt phẳng (P).

- Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

4. Góc nhị diện

- Hình gồm hai nửa mặt phẳng (P), (Q) có chung bờ a được gọi là một góc nhị diện, kí hiệu là [P,a,Q]. Đường thẳng a và các nửa mặt phẳng (P), (Q) tương ứng được gọi là cạnh và các mặt của góc nhị diện đó.

Mỗi đường thẳng a trong một mặt phẳng chia mặt phẳng thành hai phần, mỗi phần cùng với a là một nửa mặt phẳng bờ a.

- Từ một điểm O bất kì thuộc cạnh a của góc nhị diện [P,a,Q], vẽ các tia Ox, Oy tương ứng thuộc (P), (Q) và vuông góc với a. Góc xOy được gọi là một góc phẳng của góc nhị diện [P,a,Q] (gọi tắt là góc phẳng nhị diện). Số đo của góc xOy không phụ thuộc vào vị trí của O trên a, được gọi là số đo của góc nhị diện [P,a,Q].

Mặt phẳng chứa góc phẳng nhị diện xOy của [P,a,Q] vuông góc với cạnh a.

Chú ý:

- Số đo của góc nhị diện có thể nhận giá trị từ $0^{0}$ đến $180^{0}$ . Góc nhị diện được gọi là góc vuông, nhọn, tù nếu nó có số đo tương ứng bằng, nhỏ hơn, lớn hớn $90^{0}$ .

- Đối với hai điểm M, N không thuộc đường thẳng a, ta kí hiệu [M, a, N] là góc nhị diện có cạnh a và các mặt tương ứng chứa M, N.

- Hai mặt phẳng cắt nhau tạo thành bốn góc nhị diện. Nếu một trong bốn góc nhị diện đó là góc nhị diện vuông thì các góc nhị diện còn lại cũng là góc nhị diện vuông.

Xem thêm

Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc – Toán 11 Kết nối tri thức

TOP 40 câu Trắc nghiệm Hai đường thẳng vuông góc (có đáp án ) – Toán 11

Câu 15:

21/07/2024

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

A. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cắt nhau.

B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.

C. Một mặt phẳng

(α)

và một đường thẳng a không thuộc

(α)

cùng vuông góc với đường thẳng thì

(α)

song song với a

D. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Câu 16:

21/07/2024

Cho hai mặt phẳng vuông góc

(P)

và

(Q)

có giao tuyến

∆

. Lấy A,B cùng thuộc

∆

và lấy C trên

(P)

, D trên

(Q)

sao cho

A C ⊥ A B

,

B D ⊥ A B

và

A B = A C = B D = a

. Diện tích thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng

(α)

đi qua A và vuông góc với CD là?

A.

\frac{a^{2} \sqrt{2}}{12}

B.

\frac{a^{2} \sqrt{2}}{8}

C.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{12}

D. $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{8}$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\{\begin{cases} (P) ⊥ (Q) \\ (P) \cap (Q) = Δ \\ B D \subset (Q), B D ⊥ Δ \end{cases}$

$\Rightarrow B D ⊥ (P)$

Gọi H là trung điểm BC, ta có

$\{\begin{cases} A H ⊥ B C \\ A H ⊥ B D \end{cases}$

$\Rightarrow A H ⊥ C D$

Trong mặt phẳng $(B C D)$ , kẻ $H I ⊥ C D$ thì ta có

$C D ⊥ (A H I)$

Khi đó mặt phẳng $(α)$ cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là tam giác AHI

Mặt khác tam giác ABC vuông cân tại A nên $B C = a \sqrt{2}$ .

Trong tam giác vuông BCD, kẻ đường cao BK thì $B K = \frac{a \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ và $H I = \frac{a}{\sqrt{6}}$

Vậy: thiết diện cần tìm là tam giác AHI vuông tại H và có diện tích $S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{12}$

Câu 17:

11/12/2024

Cho hình chóp cụt đều

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

với đáy lớn ABC có cạnh bằng a. Đáy nhỏ

A^{'} B^{'} C^{'}

có cạnh bằng

\frac{a}{2}

, chiều cao

O O^{'} = \frac{a}{2}

. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Ba đường cao

A A^{'}

,

B B'

,

C C'

đồng qui tại.

B. $A A^{'} = B B^{'} = C C^{'} = \frac{a}{2}$

C. Góc giữa mặt bên mặt đáy là góc SIO ( I là trung điểm BC).

D. Đáy lớn ABC có diện tích gấp 4 lần diện tích đáy nhỏ

A^{'} B^{'} C^{'}

.

Xem đáp án

Đáp án đúng là : B

Lời giải:

+ Đáp án A đúng.
+ Gọi I là trung điểm của BC.

Từ giả thiết dễ dàng chỉ ra được $\frac{A A^{'}}{S A} = \frac{O O^{'}}{S O} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow S O = 2 O O^{'} = a$ . Mặt khác $Δ A B C$ là tam giác đều cạnh a, có AI là đường trung tuyến

$\Rightarrow A I = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow A O = \frac{2}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

Áp dụng định lý Pytago trong $Δ S O A$ vuông tại O ta có:

$S A^{2} = S O^{2} + A O^{2}$

$= a^{2} + {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2} = \frac{12 a^{2}}{9}$

$\Rightarrow S A = \frac{2 a \sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow A A^{'} = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

Vì $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ là hình chóp cụt đều nên

$A A^{'} = B B^{'} = C C^{'} = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow$ đáp án B sai.

+ Ta có: $(S B C) \cap (A B C) = B C$ .

Vì $Δ S B C$ cân tại S và I là trung điểm của BC nên suy ra $S I ⊥ B C$ .

Mặt khác $Δ A B C$ là tam giác đều có I là trung điểm của BC

$\Rightarrow A I ⊥ B C$

$\Rightarrow ((S B C), (A B C)) = (S I, A I)$

$= (S I, O I) = \hat{S I O}$

$\Rightarrow$ đáp án C đúng.

+ Ta có:

$\frac{S_{Δ A B C}}{S_{Δ A^{'} B^{'} C^{'}}} = \frac{\frac{1}{2} . A B . A C . \sin A}{\frac{1}{2} . A^{'} B^{'} . A^{'} C^{'} . \sin A^{'}}$

$= \frac{A B . A C}{A^{'} B^{'} . A^{'} C^{'}} = \frac{2 A^{'} B^{'} .2 A^{'} C^{'}}{A^{'} B^{'} . A^{'} C^{'}} = 4$

$\Rightarrow$ đáp án D đúng.

*Phương pháp giải:

Sử dụng định lí pytago tinh phần b

*Lý thuyết:

1. Định lí Pythagore

Trong một tam giác vuông, bình phương độ dài của cạnh huyền bằng tổng các bình phương độ dài của hai cạnh góc vuông.

$Δ A B C, \hat{A} = 90^{o} \Rightarrow B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$

2. Định lí Pythagore đảo

Nếu một tam giác có bình phương độ dài của một cạnh bằng tổng các bình phương độ dài của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

(ảnh 2)

$Δ A B C, B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} \Rightarrow \hat{A} = 90^{o}$

Xem thêm

Lý thuyết Định lí Pythagore – Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo

Trắc nghiệm Định lý Py - ta - go có đáp án - Toán lớp 7

Câu 18:

11/12/2024

Cho hình chóp cụt tứ giác đều

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

cạnh của đáy nhỏ ABCD bằng

\frac{a}{3}

và cạnh của đáy lớn

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

bằng a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

60 °

. Tính chiều cao

O O^{'}

của hình chóp cụt đã cho.

A.

O O^{'} = \frac{a \sqrt{6}}{6}

B. $O O^{'} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $O O^{'} = \frac{2 a \sqrt{6}}{3}$

D. $O O^{'} = \frac{3 a \sqrt{2}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là : A

Lời giải:

Ta có $S O^{'} ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}) \supset B^{'} D^{'}$

$\Rightarrow S O^{'} ⊥ B^{'} D^{'}$

$\Rightarrow O^{'} D^{'}$ là hình chiếu vuông góc của $S D^{'}$ lên $(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ .

$\Rightarrow (S D^{'}, (A B C D)) = (S D^{'}, O^{'} D^{'})$

$= \hat{S D^{'} O^{'}} = 60 °$

Từ giả thiết dễ dàng chỉ ra được

$\frac{A A^{'}}{S A^{'}} = \frac{O O^{'}}{S O^{'}} = \frac{1}{3}$

Vì $Δ A^{'} D^{'} C^{'}$ là tam giác vuông cân tại $D'$ có $D^{'} O^{'}$ là đường cao nên ta có:

$\frac{1}{D^{'} {O^{'}}^{2}} = \frac{1}{A^{'} {D^{'}}^{2}} + \frac{1}{D^{'} {C^{'}}^{2}}$

$= \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{2}{a^{2}}$

$\Rightarrow D^{'} {O^{'}}^{2} = \frac{a^{2}}{2}$

$\Rightarrow D^{'} O^{'} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Áp dụng hệ thức lượng trong $Δ S D^{'} O^{'}$ vuông tại $O'$ ta có:

$\tan 60 ° = \frac{S O^{'}}{O^{'} D^{'}}$

$\Rightarrow S O^{'} = O^{'} D^{'} . \tan 60 °$

$= \frac{a \sqrt{2}}{2} . \sqrt{3} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$

*Phương pháp giải:

Sử dụng cộng thức tính đường cao trong tam giác

Áp dụng hệ thực lượng trong tam giác

*Lý thuyết:

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn chi tiết – Toán lớp 9 (ảnh 1)

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α, kí hiệu là sin α.

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cos α.

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α, kí hiệu là tan α.

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cot α.

Xem thêm

200 bài tập hệ thức lượng nâng cao (2024) có đáp án

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Câu 19:

23/07/2024

Cho hình lăng trụ lục giác đều

A B C D E F . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} E^{'} F^{'}

có cạnh bên bằng a và

A D D^{'} A^{'}

là hình vuông. Cạnh đáy của lăng trụ bằng:

A. a

B.

\frac{a}{2}

C. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Tổng số đo các góc của hình lục giác là $4.180 ° = 720 °$ . Vì $A B C D E F$ là hình lục giác đều nên mỗi góc của hình lục giác đều $A B C D E F$ là $120 °$

$\Rightarrow \hat{F A B} = 120 °$ . Vì $A B C D E F$ là hình lục giác đều nên ta suy ra:

+ AD là tia phân giác của góc $\hat{F A B}$ và $\hat{E D C}$

$\Rightarrow \hat{F A D} = \frac{\hat{F A B}}{2} = 60 °$

+ Tam giác AFD vuông tại F.

Xét tam giác AFD vuông tại F có $\hat{F A D} = 60 °$ và $A D = a$ ta suy ra:

$\cos \hat{F A D} = \frac{A F}{A D}$

$\Rightarrow A F = A D . \cos \hat{F A D}$

$= a . \cos 60 °$

$= a . \frac{1}{2} = \frac{a}{2} .$

Câu 20:

23/07/2024

Cho hình lăng trụ tứ giác đều

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có

A C C^{'} A^{'}

là hình vuông, cạnh bằng a . Cạnh đáy của hình lăng trụ bằng:

A. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

B. $a \sqrt{2}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

D. $a \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết ta suy ra $Δ A B C$ vuông cân tại B

$\Rightarrow \hat{B A C} = \hat{B C A} = 45 °$

Áp dụng hệ thức lượng trong $Δ A B C$ vuông cân tại B có $\hat{B A C} = 45 °$ và cạnh $A C = a$ , ta có:

$\Rightarrow A B = A C . \cos \hat{B A C}$

$= a . \cos 45 °$

$= a . \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Câu 21:

19/07/2024

Cho hình lăng trụ tam giác đều

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có cạnh đáy bằng

2 a \sqrt{3}

và cạnh bên bằng 2a. Gọi G và

G'

lần lượt là trọng tâm của hai đáy ABC và

A' B' C'

. Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về

A A' G' G

?

A. $A A' G' G$ là hình chữ nhật có hai kích thước là 2a và 3a.

B. $A A' G' G$ là hình vuông có cạnh bằng 2a.

C. $A A' G' G$ là hình chữ nhật có diện tích bằng $6 a^{2}$ .

D. $A A' G' G$ là hình vuông có diện tích bằng

8 a^{2}

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gọi M là trung điểm BC. Khi đó ta dễ dàng tính được: $A M = 2 a \sqrt{3} . \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 a$

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên: $A G = \frac{2}{3} A M = \frac{2}{3} .3 a = 2 a = A A^{'}$

$\Rightarrow A A^{'} G^{'} G$ là hình vuông có cạnh bằng 2a.

Câu 22:

25/11/2024

Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng

(A B C)

và

(A B D)

cùng vuông góc với

(D B C)

. Gọi BE và DF là hai đường cao của tam giác BCD, DK là đường cao của tam giác ACD. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

A. $(A B E) ⊥ (A D C)$

B. $(A B D) ⊥ (A D C)$

C. $(A B C) ⊥ (D F K)$

D. $(D F K) ⊥ (A D C)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là : B

Lời giải:

Ta có: $\{\begin{cases} (A B C) ⊥ (B C D) \\ (A B D) ⊥ (B C D) \\ (A B C) \cap (A B D) = A B \end{cases}$

$\Rightarrow A B ⊥ (B C D)$

Mặt khác: $\{\begin{cases} C D ⊥ B E \\ C D ⊥ A B \end{cases}$

$\Rightarrow C D ⊥ (A B E)$ nên câu A đúng.

$\{\begin{cases} (A B C) ⊥ (B C D) \\ (A B C) \cap (B C D) = B C \\ D F ⊥ B C \end{cases}$

$\Rightarrow D F ⊥ (A B C)$ nên câu C đúng.

Theo trên ta có $D F ⊥ (A B C)$ nên $D F ⊥ A C$ .

Vậy ta có $\{\begin{cases} A C ⊥ D F \\ A C ⊥ D K \end{cases}$

$\Rightarrow A C ⊥ (D K F)$

$\Rightarrow (A C D) ⊥ (D K F)$ .

*Phương pháp giải:

Sử dụng cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

- Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a ⊥ (Q).

*Lý thuyết:

1. Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với $(α)$ và $(β)$ , kí hiệu $((α), (β))$ .

Ta có: $((α), (β)) = (m, n)$ với $m ⊥ (α), n ⊥ (β)$ .

Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc (Chân trời sáng tạo 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 11 (ảnh 1)

2. Hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là một góc vuông.

Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc được kí hiệu là $(P) ⊥ (Q)$ .

Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc (Chân trời sáng tạo 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 11 (ảnh 2)

3. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Định lí 1:

Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

4. Tính chất cơ bản về hai mặt phẳng vuông góc

Định lí 2:

Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc (Chân trời sáng tạo 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 11 (ảnh 3)

Định lí 3:

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc (Chân trời sáng tạo 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 11 (ảnh 4)

Xem thêm

Cách chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc

Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc – Toán 11 Chân trời sáng tạo

Câu 23:

20/07/2024

Cho hình hộp chữ nhật

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Khẳng định nào sau đây không đúng?

A. Tồn tại điểm O cách đều tám đỉnh của hình hộp.

B. Hình hộp có 6 mặt là 6 hình chữ nhật.

C. Hai mặt $A C C^{'} A^{'}$ và $B D D^{'} B^{'}$ vuông góc nhau.

D. Hình hộp có 4 đường chéo bằng nhau và đồng qui tại trung điểm của mỗi đường.

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Câu 24:

18/07/2024

Cho hình chóp

S . A B C

có hai mặt bên

(S B C)

và

(S A C)

vuông góc với đáy

(A B C)

. Khẳng định nào sau đây sai ?

A. Đáy là đa giác đều.

B. Các mặt bên là những hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

C. Các cạnh bên là những đường cao.

D. Các mặt bên là những hình bình hành.

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\{\begin{cases} (S B C) ⊥ (A B C) \\ (S A C) ⊥ (A B C) \\ S C = (S B C) \cap (S A C) \end{cases}$

$\Rightarrow S C ⊥ (A B C)$ . Do đó câu A và B đúng

C. Sai. vì nếu $A' \in S B$ thì hai mặt phẳng $(S A B)$ và $(S B C)$ phải vuông góc với nhau theo giao tuyến SB

D. Ta có: $\{\begin{cases} S C ⊥ (A B C) \\ S C \subset (S A C) \end{cases}$

$\Rightarrow (S A C) ⊥ (A B C)$ theo giao tuyến AC

Mà BK là đường cao của $Δ A B C$ .

$\Rightarrow B K ⊥ A C \Rightarrow B K ⊥ (S A C)$

Vậy D đúng

Câu 25:

23/07/2024

Cho hình lăng trụ

A B C D . A ’ B ’ C ’ D ’

. Hình chiếu vuông góc của

A'

lên

(A B C)

trùng với trực tâm H của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây không đúng?

A. $B B ’ C ’ C$ là hình chữ nhật.

B. $(A A ’ H) ⊥ (A ’ B ’ C ’)$

C. $(B B ’ C ’ C) ⊥ (A A ’ H)$

D. $(A A ’ B ’ B) ⊥ (B B ’ C ’ C)$

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Ta có $B C ⊥ (A ’ A H)$ nên $B C ⊥ B B ’$ ,

nếu $(A A ’ B ’ B) ⊥ (B B ’ C ’ C)$ thì $B C ⊥ A B$ vô lý vì H trùng A

Câu 26:

23/07/2024

Cho hình chóp

S . A B C

có

S A ⊥ (A B C)

và đáy ABC là tam giác cân ở A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên

(S B C)

. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $H \in S B$

B. H trùng với trọng tâm tam giác SBC.

C. $H \in S C$

D.

H \in S I

(I là trung điểm của BC).

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gọi I là trung điểm của BC

$\Rightarrow A I ⊥ B C$ mà $B C ⊥ S A$

$\Rightarrow B C ⊥ (S A I)$

Khi đó H là hình chiếu vuông góc của A lên $(S B C)$ .

Suy ra $H \in S I$ .

Câu 27:

23/07/2024

Cho hình chóp

S . A B C

có hai mặt bên

(S B C)

và

(S A C)

vuông góc với đáy

(A B C)

. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $S C ⊥ (A B C)$

B. Nếu

A'

là hình chiếu vuông góc của A lên

(S B C)

thì

A^{'} \in S B

.

C. $(S A C) ⊥ (A B C)$ .

D. BK là đường cao của tam giác ABC thì

B K ⊥ (S A C)

.

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\{\begin{matrix} (S A C) \cap (S B C) = S C \\ (S A C) ⊥ (A B C) \\ (S B C) ⊥ (A B C) \end{matrix}$

$\Rightarrow S C ⊥ (A B C)$

Gọi $A'$ là hình chiếu vuông góc của A lên $(S B C)$ ,

khi đó

$A A^{'} ⊥ (S B C) \Rightarrow A A^{'} ⊥ B C$

$\Rightarrow A^{'} \in B C$

Suy ra đáp án B sai

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3