30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 11 Ôn tập chương 3 Hình học

Câu 1:

17/06/2026

S . A B C D

có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với

A B = B C = a; A D = 2 a (a > 0)

. Hai mặt phẳng

(S A C)

và

(S B D)

cùng vuông góc với mặt phẳng đáy .Biết mặt phẳng

(S A C)

hợp với

(A B C D)

một góc

60^{o}

. tính khoảng cách giữa CD và SB.

A. $\frac{2 a \sqrt{3}}{5}$

B.

\frac{2 a \sqrt{3}}{15}

C.

\frac{a \sqrt{3}}{15}

D. $\frac{3 a \sqrt{3}}{5}$

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hướng dẫn giải

Gọi $H = A C \cap B D \Rightarrow S H ⊥ (A B C D)$ và $B H = \frac{1}{3} B D$

Kẻ $H E ⊥ A B$ $\Rightarrow A B ⊥ (S H E)$ hay

$((S A B); (A B C D)) = \hat{S E H} = 60^{o}$

Mà $H E = \frac{1}{3} A D = \frac{2 a}{3} \Rightarrow S H = \frac{2 a \sqrt{3}}{3}$

Gọi O là trung điểm của AD, ta có ABCD là hình vuông cạnh a

$\Rightarrow Δ A C D$ có trung tuyến ;

$C O = \frac{1}{2} A D$ ; $C D ⊥ A C$

$C D ⊥ (S A C) v à B O / / C D$

$h a y C D / / (S B O) và B O ⊥ (S A C)$

suy ra

$d (C D; S B) = d (C D; (S B O))$

$= d (C; (S B O))$ .

Tính chất trọng tâm tam giác BCO

$\Rightarrow I H = \frac{1}{3} I C = \frac{a \sqrt{2}}{6}$

$\Rightarrow IS = \sqrt{I H^{2} + H S^{2}} = \frac{5 a \sqrt{2}}{6}$

Kẻ $C K ⊥ S I$ mà $C K ⊥ B O \Rightarrow C K ⊥ (S B O)$

$\Rightarrow d (C; (S B O)) = C K$

Trong tam giác SIC có

$S_{S I C} = \frac{1}{2} S H . I C = \frac{1}{2} S I . C K$

$\Rightarrow C K = \frac{S H . I C}{S I} = \frac{2 a \sqrt{3}}{5}$

Vậy $d (C D; S B) = \frac{2 a \sqrt{3}}{5}$ .

Câu 2:

17/06/2026

Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành với

A B = 2 a, B C = a \sqrt{2};

B D = a \sqrt{6}

. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm G của tam giác BCD, biết SG = 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB theo a là:

A. a

B. 2a

C. $\frac{a}{2}$

D. $\frac{a}{3}$

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Ta có ABCD là hình bình hành, AB = 2a, BC = $a \sqrt{2}$ , BD = $a \sqrt{6}$ nên ABCD là hình chữ nhật.

Dựng hình bình hành ACEB.

Ta có AC $∥$ BE, AC $⊄$ $(S B E)$

$\Rightarrow A C ∥ (S B E)$ mà $(S B E) \supset S B$

vậy $d (S B, A C) = d (A C, (S B E))$

$= d (G, (S B E))$ .

Dựng $G K ⊥ B E, K \in B E$ lại có $S G ⊥ B E$ nên $B E ⊥ (S G K)$

Dựng $G H ⊥ S K, H \in S K$

lại có $G H ⊥ B E$ nên $G H ⊥ (S B E) \Rightarrow (G, (S B E)) = G H$

Ta có $G K = d (B, A C)$ .

Tam giác ABC vuông tại B

suy ra $\frac{1}{d^{2} (B, A C)} = \frac{1}{B A^{2}} + \frac{1}{B C^{2}}$

vậy $G K = d (B, A C) = \frac{2 a}{\sqrt{3}}$ .

Xét tam giác SGK vuông tại G,

đường cao $G H, S G = 2 a, G K = \frac{2 a}{\sqrt{3}}$ có

$\frac{1}{G H^{2}} = \frac{1}{G K^{2}} + \frac{1}{G S^{2}}$

$\Rightarrow G H = a \Rightarrow d (S B, A C) = a$

Câu 3:

17/06/2026

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 4a , BC = 3a, gọi I là trung điểm của AB hai mặt phẳng

(S I C)

và

(S I B)

cùng vuông góc với

(A B C)

góc giữa hai mặt phẳng

(S A C) v à (A B C)

bằng

60 °

. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a là:

A. $\frac{12 a \sqrt{3}}{5}$

B. $\frac{3 a \sqrt{3}}{5}$

C. $\frac{2 a \sqrt{3}}{5}$

D. $\frac{5 a \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Ta có $(S I C), (S I B)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$ nên $S I ⊥ (A B C)$ .

Dựng hình bình hành ACBE.

Ta có $A C ∥ B E, A C ⊄ (S B E)$

$\Rightarrow A C ∥ (S B E)$ mà $(S B E) \supset S B$ vậy

$d (S B, A C) = d (A C, (S B E))$

$= d (A, (S B E))$

$= 2 d (I, (S B E))$ .

Dựng $I K ⊥ B E, K \in B E$

lại có $S I ⊥ B E$ nên $B E ⊥ (S G K)$ .

Dựng $I H ⊥ S K, H \in S K$

lại có $I H ⊥ B E$ nên $I H ⊥ (S B E)$

$\Rightarrow d (I, (S B E)) = I H$

Kéo dài IK cắt AC tại D mà

$S I ⊥ A C \Rightarrow (S I D) ⊥ A C$

Lại có $(S A C) ⊥ (A B C) = A C$

$(S A D) \cap (A B C) = A D$

$(S A D) \cap (A S C) = S D$ .

Góc giữa $(S A C)$ và $(A B C)$ bằng $\hat{S D I}$ suy ra $\overset{⏞}{S D I} = 60 °$ .

Ta có $I D = I K = \frac{1}{2} d (B, A C)$

Mà tam giác ABC vuông tại B suy ra

$\frac{1}{d^{2} (B, A C)} = \frac{1}{B A^{2}} + \frac{1}{B C^{2}}$

vậy $I D = I K = d (B, A C) = \frac{12 a}{5}$ .

Xét tam giác SID vuông tại I,

$I D = \frac{12 a}{5}, \hat{S D I} = 60 °$ ,suy ra

$S I = \frac{12 a \sqrt{3}}{5}$

Xét tam giác SIK vuông tại I, đường cao IH có

$\frac{1}{I H^{2}} = \frac{1}{I K^{2}} + \frac{1}{I S^{2}}$

$\Rightarrow I H = \frac{6 a \sqrt{3}}{5} \Rightarrow d (S B, A C) = \frac{12 a \sqrt{3}}{5}$

Câu 4:

17/06/2026

Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng α. Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng

A.

a \sqrt{2} \cot α

B.

a \sqrt{2} \tan α

C.

\frac{a \sqrt{2}}{2} c o s α

D.

\frac{a \sqrt{2}}{2} \sin α

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Đáp án:

SO⊥(ABCD), O là tâm của hình vuông ABCD.

Kẻ OH⊥SD, khi đó d(O;SD)=OH, α= $\hat{S D O}$

OD= $\frac{1}{2} B D = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow O H = O D \sin α = \frac{a \sqrt{2} \sin α}{2}$

Câu 5:

17/06/2026

Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA = 3a, AB =

a \sqrt{3}

, BC =

a \sqrt{6}

. Khoảng cách từ B đến SC bằng

A.

a \sqrt{2}

B. 2a

C.

2 a \sqrt{3}

D.

a \sqrt{3}

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án:

Vì SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một nên CB⊥SB

Kẻ BH⊥SC, khi đó d(B;SC)=BH

Ta có: SB= $\sqrt{S A^{2} + A B^{2}}$

$= \sqrt{9 a^{2} + 3 a^{2}} = 2 \sqrt{3} a$

Trong tam giác vuông SBC ta có:

$\frac{1}{B H^{2}} = \frac{1}{S B^{2}} + \frac{1}{B C^{2}}$

$\Rightarrow B H = \frac{S B . B C}{\sqrt{S B^{2} + B C^{2}}} = 2 a$

Câu 6:

17/06/2026

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng CD' bằng

A.

a \sqrt{2}

B.

\frac{a \sqrt{6}}{2}

C.

\frac{a \sqrt{3}}{2}

D.

a \sqrt{3}

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án:

Gọi M là trung điểm của CD′.

Do ABCD.A′B′C′D′ là hình lập phương nên tam giác ACD′ là tam giác đều cạnh $a \sqrt{2}$

AM⊥CD′⇒d(A,CD′)=AM= $a \sqrt{2} . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$

Câu 7:

17/06/2026

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng DB' bằng

A.

a \sqrt{2}

B.

\frac{a \sqrt{6}}{2}

C.

\frac{a \sqrt{3}}{2}

D.

\frac{a \sqrt{6}}{3}

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Đáp án:

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống DB′.

Dễ thấy AD⊥(ABB′A′) nên

⇒ΔADB′ vuông đỉnh A.

Lại có AD=a;AB′= $a \sqrt{2}$

$\Rightarrow \frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A D^{2}} + \frac{1}{A B'^{2}}$

$= \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{2 a^{2}} = \frac{3}{2 a^{2}}$

$\Rightarrow A H^{2} = \frac{2 a^{2}}{3}$

$\Rightarrow A H = \frac{a \sqrt{6}}{3}$

Câu 8:

17/06/2026

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm của SC. Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

(I): AI⊥SC

(II): (SBC)⊥(SAC)

(III): AI⊥BC

(IV): (ABI)⊥(SBC)

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Đáp án:

Tam giác SAC đều có I là trung điểm của SC nên AI⊥SC.

⇒ Mệnh đề (I) đúng.

Gọi H là trung điểm AC suy ra SH⊥AC.

Mà (SAC)⊥(ABC) theo giao tuyến AC nên SH⊥(ABC) do đó SH⊥BC.

Hơn nữa theo giả thiết tam giác ABC vuông tại C nên BC⊥AC.

Từ đó suy ra BC⊥(SAC)⇒BC⊥AI.. Do đó mệnh đề (III) đúng.

Từ mệnh đề (I) và (III) suy ra mệnh đề (IV) đúng.

Ta có: $\{\begin{matrix} B C ⊥ A C \\ B C ⊥ S H \end{matrix}$ ⇒BC⊥(SAC)

BC⊂(SBC)⇒(SBC)⊥(SAC)

Vậy mệnh đề (II) đúng.

Câu 9:

17/06/2026

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC và I là giao điểm của HK với mặt phẳng (ABC). Khẳng định nào sau đây sai?

A. BC⊥AH.

B. (AHK)⊥(SBC).

C. SC⊥AI.

D. Tam giác IAC đều

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Đáp án:

Ta có $\{\begin{matrix} B C ⊥ A B \\ S A ⊥ B C \end{matrix}$ ⇒BC⊥(SAB)

⇒BC⊥AH. Do đó A đúng.

Lại có AH⊥SB. Từ đó suy ra AH⊥(SBC)⇒AH⊥SC. (1)

Lại có theo giả thiết SC⊥AK. (2)

Từ (1) và (2), suy ra

SC⊥(AHK)⇒(SBC)⊥(AHK). Do đó B đúng.

Ta có $\{\begin{matrix} S C ⊥ (A H K) \\ A I \subset (A H K) \end{matrix}$ ⇒SC⊥AI. Do đó C đúng.

Dùng phương pháp loại trừ thì D là đáp án sai.

Câu 10:

17/06/2026

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SA =

a \sqrt{3}

và vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi

φ

là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

φ = 30^{0}

B.

\sin φ = \frac{\sqrt{5}}{5}

C.

φ = 60^{0}

D.

\sin φ = \frac{2 \sqrt{5}}{5}

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Đáp án:

Gọi M là trung điểm của BC, suy ra AM⊥BC

Ta có $\{\begin{matrix} A M ⊥ B C \\ B C ⊥ S A \end{matrix}$ ⇒BC⊥(SAM)

⇒BC⊥SM

$\{\begin{matrix} (S B C) \cap (A B C) = B C \\ (S B C) \supset S M ⊥ B C \\ (A B C) \supset A M ⊥ B C \end{matrix}$

$\Rightarrow \hat{((S B C); (A B C))} = \hat{(S M; A M)}$ $= \hat{S M A}$

Tam giác ABC đều cạnh a, suy ra trung tuyến AM= $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Tam giác vuông SAM có sin $\hat{S M A} = \frac{S A}{S M} = \frac{S A}{\sqrt{S A^{2} + A M^{2}}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SA=a căn 3 (ảnh 1)

Câu 11:

17/06/2026

Cho tứ diện S.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = 1. Tính cosα, trong đó α là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) ?

A.

c o s α = \frac{1}{\sqrt{2}}

B.

c o s α = \frac{1}{2 \sqrt{3}}

C.

c o s α = \frac{1}{3 \sqrt{2}}

D.

c o s α = \frac{1}{\sqrt{3}}

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Đáp án:

Gọi D là trung điểm cạnh BC.

Ta có $\{\begin{matrix} S A ⊥ S B \\ S A ⊥ S C \end{matrix}$ ⇒ SA⊥(SBC)

⇒ SA⊥BC.

Mà SD⊥BC nên BC⊥(SAD).

$\Rightarrow (\hat{(A B C; (A B C)}) = \hat{S D A} = α$

Khi đó tam giác SAD vuông tại S có:

SD= $\frac{1}{\sqrt{2}}; A D = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ và

$c o s α = \frac{S D}{A D} \Leftrightarrow c o s α = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Câu 12:

17/06/2026

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a. Cạnh bên SA = a vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng

45^{0}

. Độ dài AC bằng

A.

a \sqrt{2}

B.

a \sqrt{3}

C. 2a

D. a

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Đáp án:

Ta có (SBC)∩(ABC)=BC

Mặt khác SA⊥(ABC) và ΔABC vuông tại B⇒AB⊥BC.

Nên ⇒BC⊥(SAB)⇒BC⊥SB

$\{\begin{matrix} (S B C) \cap (A B C) = B C \\ (S B C) \supset S B ⊥ B C \\ (A B C) \supset A B ⊥ B C \end{matrix}$

$\Rightarrow (\hat{(S B C); (A B C)}) = (\hat{S B; A B})$

$= \hat{S B A} = 45^{0}$

Xét ΔSAB vuông tại A, có ⇒ SA=AB=a

Mà $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} = 2 a^{2}$

$\Rightarrow A C = a \sqrt{2}$

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC=a. Cạnh bên SA=a (ảnh 1)

Câu 13:

17/06/2026

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD =

\frac{a \sqrt{6}}{2}

. Gọi I là trung điểm BC; kẻ IH vuông góc SA (H thuộc SA). Khẳng định nào sau đây sai?

A. SA⊥BH

B. (SDB)⊥(SDC).

C. (SAB)⊥(SAC).

D. BH⊥HC.

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án :

Từ giả thiết suy ra ABDC là hình thoi nên BC⊥AD.

Ta có $\{\begin{matrix} B C ⊥ A D \\ B C ⊥ S D \end{matrix}$ ⇒BC⊥(SAD)

⇒BC⊥SA.

Lại có theo giả thiết IH⊥SA. Từ đó suy ra SA⊥(HCB)⇒SA⊥BH

⇒ Đáp án A đúng.

Tính được AI= $\frac{a \sqrt{3}}{2}, A D = 2 A I = a \sqrt{3},$

$S A^{2} = \sqrt{A D^{2} + S D^{2}} = \frac{3 a \sqrt{2}}{2}$

Ta có ΔAHI∼ΔADS⇒ $\frac{I H}{S D} = \frac{A I}{A S}$

$\Rightarrow I H = \frac{A I . S D}{A S} = \frac{a}{2} = \frac{B C}{2}$

⇒ Tam giác HBC có trung tuyến IH bằng nửa cạnh đáy BC nên $\hat{B H C} = 90^{0}$ hay BH⊥HC. Do đó D đúng.

Từ mệnh đề A và D suy ra BH⊥(SAC)⇒(SAB)⊥(SAC)⇒ mệnh đề C đúng.

Dùng phương pháp loại trừ thì B là đáp án sai.

Câu 14:

17/06/2026

Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA⊥(ABC) và đáy ABC là tam giác cân ở C. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và SB. Khẳng định nào sau đây sai?

A. CH⊥HK

B. AB⊥(CHK)

C. CH⊥AK

D. BC⊥(SAC)

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Đáp án:

Do ΔABC cân tại C nên CH⊥AB.

Mà SA⊥(ABC) ⇒ SA⊥CH.

Do đó CH⊥(SAB) ⇒ CH⊥HK, CH⊥AK hay A, C đúng.

Ngoài ra HK//SA,SA⊥AB ⇒ HK⊥AB, mà AB⊥CH ⇒AB⊥(CHK) hay B đúng.

D sai vì BC không vuông góc với AC nên không có BC⊥(SAC).

Câu 15:

17/06/2026

Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, CD bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Góc giữa AC và (BCD) là góc ACB.

B. Góc giữa AD và (ABC) là góc ADB.

C. Góc giữa AC và (ABD) là góc CAB.

D. Góc giữa CD và (ABD) là góc CBD.

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Đáp án:

Từ giả thiết ta có $\{\begin{matrix} A B ⊥ B C \\ A B ⊥ C D \end{matrix}$ ⇒AB⊥(BCD).

Do đó (AC,(BCD)=(AC,BC) = $\hat{A C B}$

Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, CD bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một (ảnh 1)

Câu 16:

17/06/2026

Cho chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2, cạnh bên bằng 3. Gọi φ là góc giữa giữa cạnh bên và mặt đáy. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. tanφ=√7.

B. φ=

60 °

C. φ=

45 °

D. tanφ=

\frac{\sqrt{14}}{2}

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Đáp án:

Gọi O là tâm mặt đáy (ABCD), suy ra SO⊥(ABCD).

Vì SO⊥(ABCD), suy ra OA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABCD).

Do đó $(S A, \hat{A B C D}) = (\hat{S A, A O}) = \hat{S A O}$

Tam giác vuông SOA, có tan $\hat{S A O}$ = $\frac{S O}{A O} = \frac{\sqrt{S B^{2} - B O^{2}}}{A O} = \frac{\sqrt{14}}{2}$

Câu 17:

17/06/2026

Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Ba vectơ đồng phẳng là 3 vec tơ cùng nằm trong một mặt phẳng

B. Ba vectơ

\vec{a,} \vec{b}, \vec{c} \neq 0

cùng phương khi và chỉ khi

\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}

, với m,n là các số duy nhất

C. Ba vectơ $\vec{a,} \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng khi có $\vec{d} = m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c}$ với là vec tơ bất kỳ

D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Đáp án:

Phương án A: sai vì chỉ cần giá của chúng song song hoặc nằm trên một mặt phẳng nào đó

Phương án B: sai vì ba véc tơ cùng phương ⇔ $\vec{a} = k . \vec{b} = l . \vec{c}$

Phương án C sai vì điều kiện cần và đủ để ba véc tơ $\vec{a,} \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng là có các số m,n sao cho $\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}$ (với không cùng phương).

Câu 18:

17/06/2026

Cho ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ không đồng phẳng xét các vectơ

$\vec{x} = 2 \vec{a} - \vec{b}; \vec{y} = - 4 \vec{a} + 2 \vec{b}$ ; $\vec{z} = - 3 \vec{a} - 2 \vec{c}$

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Hai vec tơ $\vec{y}, \vec{z}$ cùng phương

B. Hai vec tơ

\vec{x}, \vec{y}

cùng phương

C. Hai vec tơ $\vec{x}, \vec{z}$ cùng phương

D. Ba vec tơ

\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}

không đồng phẳng

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án:

Ta thấy $\vec{y} = - 2 \vec{x}$ nên $\vec{x}, \vec{y}$ cùng phương.

Do đó ba véc tơ $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$ đồng phẳng.

D sai.

Câu 19:

17/06/2026

Cho hình lập phương ABCD.

A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

, Tìm giá trị của k thích hợp để

\vec{A B} + \vec{B_{1} C_{1}} + \vec{D D_{1}} = k \vec{A C_{1}}

A. k=4

B. k=1

C. k=0

D. k=2

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án:

Có $\vec{A B} + \vec{B_{1} C_{1}} + \vec{D D_{1}}$

$= \vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C C_{1}} = \vec{A C_{1}}$

$\Rightarrow k = 1$

Câu 20:

17/06/2026

Cho hai điểm phân biệt A,B và một điểm O bất kì không thuộc đường thẳng AB. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Điểm M thuộc đường thẳng AB nếu và chỉ nếu

\vec{O M} = \vec{O A} + \vec{O B}

B. Điểm M thuộc đường thẳng AB nếu và chỉ nếu

\vec{O M} = \vec{O B} = k . \vec{B A}

C. Điểm M thuộc đường thẳng AB nếu và chỉ nếu

\vec{O M} = k . \vec{O A} + (1 - k) . \vec{O B}

D. Điểm M thuộc đường thẳng AB nếu và chỉ nếu

\vec{O M} = k . \vec{O B} = (1 - k) . \vec{O A}

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Đáp án:

Điểm M thuộc đường thẳng AB nếu và chỉ nếu $\vec{O M} = k . \vec{O A} + (1 - k) . \vec{O B}$

Chứng minh:

Ta có: M∈AB⇔ $\vec{M B} = k . \vec{A B}$

$\vec{O B} - \vec{O M} = k (\vec{O B} - \vec{O A})$

$\Leftrightarrow \vec{O M} = \vec{O B} - k (\vec{O B} - \vec{O A})$

$\Leftrightarrow \vec{O M} = k \vec{O A} + (1 - k) \vec{O B}$

Vậy C đúng.

Câu 21:

17/06/2026

Cho ABCD.

A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

là hình hộp, với K là trung điểm CC1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A.

\vec{A K} = \vec{A B} + \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A A_{1}}

B.

\vec{A K} = \vec{A B} + \vec{B C} + \vec{A A_{1}}

C.

\vec{A K} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A_{1}}

D.

\vec{A K} = \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A A_{1}}

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Đáp án:

Có $\vec{A K} = \vec{A C} + \vec{C K}$

$= (\vec{A B} + \vec{A D}) + \frac{1}{2} \vec{A A_{1}}$

$= \vec{A B} + \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A A_{1}}$

Câu 22:

17/06/2026

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.

A_{1} B_{1} C_{1}

. Đặt

\vec{A A_{1}} = \vec{a};

\vec{A B} = \vec{b};

\vec{A C} = \vec{c}

;

\vec{B C} = \vec{d}

trong các đẳng thức sau đẳng thức nào đúng.

A.

\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = \vec{0}

B.

\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{d}

C.

\vec{b} - \vec{c} + \vec{d} = \vec{0}

D.

\vec{a} = \vec{b} + \vec{c}

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Đáp án:

Ta có: $\vec{b} - \vec{c} + \vec{d}$

$= \vec{A B} - \vec{A C} + \vec{B C}$

$= \vec{C B} + \vec{B C} = \vec{0}$

Câu 23:

17/06/2026

Cho hình hộp ABCD.

A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

với M=

C D_{1} \cap C_{1} D

. Khi đó:

A.

\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A A_{1}}

B.

\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A A_{1}}

C.

\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A A_{1}}

D.

\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D} + \vec{A A_{1}}

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án:

Ta có: $\vec{A M} = \vec{A D} + \vec{D M}$

$= \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{D C_{1}}$

$= \vec{A D} + \frac{1}{2} (\vec{D C} + \vec{D D_{1}})$

$= \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{D C} + \frac{1}{2} \vec{{DD}_{1}}$

$= \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A A_{1}}$

Câu 24:

17/06/2026

Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào không đúng?

A. Nếu giá của ba vectơ cắt nhau từng đôi một thì 3 vectơ đồng phẳng

B. Nếu ba vectơ

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

có một vectơ

\vec{0}

thì ba vectơ đồng phẳng

C. Nếu giá của ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ cùng song song với một mật phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng

D. Nếu trong ba vectơ

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Đáp án:

Ba véc tơ đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng nên đáp án A sai.

Câu 25:

17/06/2026

Cho ba vectơ

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

. Điều kiện nào dưới đây khẳng định ba vectơ

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

đồng phẳng ?

A. Tồn tại ba số thực m,n,p thỏa mãn m+n+p=0 và $m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c} = \vec{0}$

B. Tồn tại ba số thực m,n,p thỏa mãn m+n+p≠0 và

m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c} = \vec{0}

C. Tồn tại ba số thực m,n,p sao cho $m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c} = \vec{0}$

D. Giá của

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

đồng quy.

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án:

Dựa vào đáp án, ta thấy rằng:

+) Với m + n + p = 0 ⇒ m = n = p = 0 suy ra $m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c} = \vec{0}$ nên chưa kết luận được ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng.

+) Với m + n + p ≠ 0 suy ra tồn tại ít nhất một số khác 0.

Giả sử m≠0, ta có $m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c} = \vec{0}$ $\Leftrightarrow \vec{a} = \frac{- n}{m} . \vec{b} - \frac{p}{m} \vec{c}$

Suy ra tồn tại n, p để ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng.

Câu 26:

17/06/2026

Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a. Hãy chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A.

\vec{A D} + \vec{C D} + \vec{B C} + \vec{D A} = \vec{0}

B.

\vec{A B} . \vec{A C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}

C.

\vec{A C} . \vec{A D} = \vec{A C} . \vec{C D}

D.

\vec{A B} . \vec{C D} = 0

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Đáp án:

Phương án A:

$\vec{A D} + \vec{C D} + \vec{B C} + \vec{D A}$

$= (\vec{A D} + \vec{D A}) + (\vec{B C} + \vec{C D})$

$= \vec{0} + \vec{B D} \neq \vec{0}$ nên A sai

Phương án B $\vec{A B} . \vec{A C} = a . a . c {os60}^{0} = \frac{a^{2}}{2}$ nên B sai

Phương án C: $\vec{A C} . \vec{A D} = \vec{A C} . \vec{C D}$

$\Leftrightarrow \vec{A C} (\vec{A D} + \vec{D C}) = 0$

$\Leftrightarrow {\vec{A C}}^{2} = 0$ nên C sai.

Phương án D: Do tứ diện ABCD đều nên AB⊥CD hay $\vec{A B} . \vec{C D} = 0$

Chú ý

Các em có thể dễ dàng chứng minh tứ diện đều ABCD có AB⊥CD bằng cách gọi M là trung điểm của CD và chứng minh CD⊥(ABM), từ đó chứng minh được các cặp cạnh đối còn lại cũng vuông góc.

Câu 27:

17/06/2026

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA⊥(ABCD). Biết SA=

\frac{a \sqrt{6}}{3}

. Tính góc giữa SC và (ABCD).

A. $30^{0}$

B. $45^{0}$

C. $60^{0}$

D.

75^{0}

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Đáp án:

Ta có: SA⊥(ABCD)⇒SA⊥AC

⇒ $(S C, \hat{A B C D}) = (\hat{S C, A C})$

$= \hat{S C A} = α$

ABCD là hình vuông cạnh a

⇒ AC= $a \sqrt{2}, S A = \frac{a \sqrt{6}}{3}$

$\Rightarrow \tan α = \frac{S A}{A C} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow α = 30^{0}$

Câu 28:

17/06/2026

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Khẳng định nào sau đây là sai ?

A. SA⊥BD.

B. SC⊥BD.

C. SO⊥BD.

D. AD⊥SC.

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Đáp án:

Vì SA vuông góc với mp(ABCD)⇒SA⊥BD.

Mà ABCD là hình thoi tâm O⇒AC⊥BD nên suy ra BD⊥(SAC).

Mặt khác SO⊂(SAC) và SC⊂(SAC)

suy ra $\{\begin{matrix} B D ⊥ S O \\ B D ⊥ S C \end{matrix}$

Và AD, SC là hai đường thẳng chéo nhau và $(A D; S C) = (B C; S C) = \hat{S C B}$ .

Ta chưa kết luận được số đo của góc $\hat{S C B}$ .

Câu 29:

17/06/2026

Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và AB=a, BC=b, CD=c. Độ dài đoạn thẳng AD bằng

A.

\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

B.

\sqrt{a^{2} + b^{2} - c^{2}}

C.

\sqrt{a^{2} - b^{2} + c^{2}}

D.

\sqrt{- a^{2} + b^{2} + c^{2}}

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Đáp án:

Ta có $\{\begin{matrix} A B ⊥ B C \\ A B ⊥ C D \end{matrix}$ ⇒AB⊥(BCD)

⇒ tam giác ABD vuông tại B.

Lại có BC⊥CD nên tam giác BCD vuông tại C.

Khi đó:

$\{\begin{matrix} A D^{2} = A B^{2} + B D^{2} \\ B D^{2} = B C^{2} + C D^{2} \end{matrix}$

$\Rightarrow A D^{2} = A B^{2} + B C^{2} + C D^{2}$

$\Rightarrow A D = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

Câu 30:

17/06/2026

Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau. Điểm nào dưới đây các đều bốn đỉnh A, B, C, D của tứ diện ABCD ?

A. Trung điểm của cạnh BD.

B. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

C. Trung điểm của cạnh AD.

D. Trọng tâm của tam giác ACD.

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Đáp án:

Ta có $\{\begin{matrix} A B ⊥ B C \\ A B ⊥ C D \end{matrix}$ ⇒AB⊥(BCD)

⇒ $A B ⊥ B D$

Do đó; tam giác ABD vuông tại B.

Suy ra OA=OB=OD= $\frac{A D}{2}$ , với O là trung điểm của AD. (1)

Lại có $\{\begin{matrix} A B ⊥ C D \\ B C ⊥ C D \end{matrix}$ ⇒ CD⊥(ABC)

⇒tam giác ACD vuông tại C.

Suy ra OA=OC=OD= $\frac{A D}{2}$ (2)

Từ (1),(2) suy ra OA= OB= OC= OD nên trung điểm O của cạnh AD cách đều A,B,C,D.

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3