24 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

(I,J lần lượt là trung điểm của BC và AD). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là

A B = C D = a

,

I J = \frac{a \sqrt{3}}{2}

A.

30 °

B. $45 °$

C. $60 °$

D. $90 °$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, BC.

Ta có:

$\{\begin{cases} M I = N I = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} C D = \frac{a}{2} \\ M I // A B // C D // N I \end{cases}$

$\Rightarrow M I N J$ là hình thoi.

Gọi O là giao điểm của MN và IJ.

Ta có: $\hat{M I N} = 2 \hat{M I O}$ .

Xét $Δ M I O$ vuông tại O , ta có:

$\cos \hat{M I O} = \frac{I O}{M I} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{4}}{\frac{a}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \hat{M I O} = 30 ° \Rightarrow \hat{M I N} = 60 °$

Mà: $(A B, C D) = (I M, I N) = \hat{M I N} = 60 °$ .

Câu 2:

18/07/2024

Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Giả sử tam giác

A B^{'} C

đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng

A^{'} D C^{'}

A C

Cho tứ diện đều ABCD (Tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng

A^{'} D

là góc nào sau đây?

A. $\hat{B D B^{'}}$

B.

\hat{A B^{'} C}

C. $\hat{D B^{'} B}$

D. $\hat{D A^{'} C^{'}}$

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Ta có: $A C // A^{'} C^{'}$ (tính chất của hình hộp)

$\Rightarrow (A C, A^{'} D) = (A^{'} C^{'}, A^{'} D) = \hat{D A^{'} C^{'}}$

(do giả thiết cho $Δ D A^{'} C^{'}$ nhọn).

Câu 3:

05/12/2024

A. $30 °$

B. $45 °$

C. $60 °$

D. $90 °$

Xem đáp án

Đáp án đúng: D

*Lời giải

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp $Δ B C D \Rightarrow A H ⊥ (B C D)$ .

Gọi E là trung điểm CD $\Rightarrow B E ⊥ C D$ (do $Δ B C D$ đều).

Do $A H ⊥ (B C D) \Rightarrow A H ⊥ C D$ .

Ta có: $\{\begin{cases} C D ⊥ B E \\ C D ⊥ A H \end{cases} \Rightarrow C D ⊥ (A B E)$

$\Rightarrow C D ⊥ A B \Rightarrow \hat{(A B, C D)} = 90 °$

^*Phương pháp giải

Sử dụng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng suy ra 2 đường thẳng vuông góc suy ra góc cần tìm

*Lý thuyến cần nắm về góc giữa hai mặt phẳng:

1. Góc giữa hai đường thẳng là gì?

- Góc giữa hai đường thẳng là góc $α$ được tạo bởi hai đường thẳng d và d’ có số đo $0^{o} \leq α \leq 90^{o}$ . Khi d song song hoặc trùng với d’, ta quy ước góc giữa chúng bằng $0^{o}$ .

- Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương hoặc hai vectơ pháp tuyến của chúng.

2. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng

Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b, ta lấy điểm O thuộc 1 trong 2 đương thẳng sau đó vẽ 1 đường thẳng đi qua O và song song với 2 đường còn lại.

Nếu vector u là vector chỉ phương của đường thẳng a, đồng thời vector v là vector chỉ phương của đường thẳng b, góc giữa (u, v) = $α$ thì ta có thể suy ra góc giữa 2 đường thẳng a và b bằng $α$ ( $0 ° \leq α \leq 90 °$ )

- Cho hai đường thẳng d và d’ có vectơ chỉ phương lần lượt là: $\vec{u} = (a; b)$ và $\vec{u'} = (a'; b')$ . Góc giữa hai đường thẳng được xác định bởi:

$\cos (d, d') = |c o s (\vec{u}, \vec{u'})| = \frac{|a . a' + b . b'|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}} . \sqrt{a'^{2} + b'^{2}}}$

- Cho hai đường thẳng d và d’ có vectơ pháp tuyến lần lượt là: $\vec{n} = (a; b)$ và $\vec{n'} = (a'; b')$ . Góc giữa hai đường thẳng được xác định bởi:

$\cos (d, d') = |c o s (\vec{n}, \vec{n'})| = \frac{|a . a' + b . b'|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}} . \sqrt{a'^{2} + b'^{2}}}$

- Gọi k và k’ lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng d và d’. Ta có:

$\tan (d, d') = |\frac{k - k'}{1 + k . k'}|$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Công thức tính góc giữa hai đường thẳng (2024) các dạng bài tập và cách giải

Lý thuyết, cách xác định và bài tập các trường hợp góc giữa 2 đường thẳng

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc bằng

(M N, S C)

A. $30 °$

B. $45 °$

C. $60 °$

D. $90 °$

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD $\Rightarrow O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông ABCD(1).

Ta có: $S A = S B = S C = S D$

$\Rightarrow S$ nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (2).

Từ (1) và (2) $\Rightarrow S O ⊥ (A B C D)$

Từ giả thiết ta có: $M N // S A$ (do MN là đường trung bình của $Δ S A D$ ).

$\Rightarrow (M N, S C) = (S A, S C)$

Xét $Δ S A C$ , ta có:

$\{\begin{cases} S A^{2} + S C^{2} = a^{2} + a^{2} = 2 a^{2} \\ A C^{2} = 2 A D = 2 a^{2} \end{cases}$

$\Rightarrow Δ S A C$ vuông tại S $\Rightarrow S A ⊥ S C$

$\Rightarrow (S A, S C) = (M N, S C) = 90 °$ .

Câu 5:

Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Nếu a và b cùng vuông góc với c thì

a // b

.

B. Nếu

a // b

và

c ⊥ a

thì

c ⊥ b

.

C. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì

a // b

.

D. Nếu a và b cùng nằm trong mp

(α) // c

thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c.

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a và b hoặc song song hoặc chéo nhau.

C sai do:

Giả sử hai đường thẳng a và b chéo nhau, ta dựng đường thẳng c là đường vuông góc chung của a và b . Khi đó góc giữa a và c bằng với góc giữa b và c và cùng bằng $90 °$ , nhưng hiển nhiên hai đường thẳng a và b không song song.

D sai do: giả sử a vuông góc với c, b song song với c , khi đó góc giữa a và c bằng $90 °$ , còn góc giữa b và c bằng $0 °$ .

Do đó B đúng.

Câu 6:

Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào được cho là đúng

A. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song với c (hoặc b trùng với c).

B. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c thì b song song với c

C. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn.

D. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai véctơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.

Xem đáp án

Đáp án: A

Câu 7:

25/11/2024

Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vuông góc. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Tứ diện có ít nhất một mặt là tam giác nhọn.

B. Tứ diện có ít nhất hai mặt là tam giác nhọn.

C. Tứ diện có ít nhất ba mặt là tam giác nhọn.

D. Tứ diện có cả bốn mặt là tam giác nhọn.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Lời giải

Tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vuông góc tứ diện có ít nhất một mặt là tam giác nhọn.

*Phương pháp giải:

Nắm chắc lý thuyết tứ diện

*Lý thuyết:

I. Khối lăng trụ và khối chóp.

- Khối chóp là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp kể cả hình chóp ấy.

Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy.

- Khối lăng trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ kể cả hình lăng trụ ấy.

- Tên của khối lăng trụ hay khối chóp được đặt theo tên của hình lăng trụ hay hình chóp giới hạn nó.

Ví dụ 1. Ứng với hình lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH ta có khối lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH; ứng với hình chóp tứ giác S.ABCD ta có khối chóp tứ giác S.ABCD.

- Ta gọi đỉnh, cạnh, mặt, mặt bên, mặt đáy, cạnh đáy, cạnh bên… của một hình lăng trụ (hình chóp hay hình chóp cụt) theo thứ tự là đỉnh; cạnh, mặt, mặt bên, mặt đáy, cạnh đáy, cạnh bên… của khối lăng trụ (khối chóp hay khối chóp cụt) tương ứng.

- Điểm không thuộc khối lăng trụ được gọi là điểm ngoài của khối lăng trụ, điểm thuộc khối lăng trụ nhưng không thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ đó được gọi là điểm trong của khối lăng trụ. Điểm trong hay điểm ngoài của khối chóp, khối chóp cụt cũng được định nghĩa tương tự.

II. Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện

1. Khái niệm về hình đa diện

Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất sau:

a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

- Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự gọi là đỉnh, cạnh của hình đa diện.

2. Khái niệm về khối đa diện

- Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.

- Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện giới hạn khối đa diện ấy được gọi là điểm trong của khối đa diện.

Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.

- Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau là miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đấy.

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Hai đường thẳng vuông góc (có đáp án ) – Toán 11

Lý thuyết Khái niệm về khối đa diện (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Câu 8:

20/07/2024

Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề đúng là?

A. Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai.

B. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

C. Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau.

D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Theo lý thuyết.

Câu 9:

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

A. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a vuông góc với c

B. Cho ba đường thẳng

a, b, c

vuông góc với nhau từng đôi một. Nếu có một đường thẳng SA vuông góc với a thì d song song với b hoặc c.

C. Nếu đường thẳng O vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b song song với đường thẳng BD thì a vuông góc với c

D. Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Một đường thẳng c vuông góc với a thì c vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng

(a, b)

.

Xem đáp án

Đáp án: C

Câu 10:

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

A. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng

B. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một và không nằm trong một mặt phẳng thì đồng quy

C. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng

D. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một thì cùng nằm trong một mặt phẳng

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gọi $d_{1}$ , $d_{2}$ , $d_{3}$ là 3 đường thẳng cắt nhau từng đôi một. Giả sử $d_{1}$ , $d_{2}$ cắt nhau tại A, vì $d_{3}$ không nằm cùng mặt phẳng với $d_{1}, d_{2}$ mà $d_{3}$ cắt $d_{1}, d_{2}$ , nên $d_{3}$ phải đi qua A. Thật vậy giả sử $d_{3}$ không đi qua A thì nó phải cắt $d_{1}, d_{2}$ tại hai điểm B,C điều này là vô lí, một đường thẳng không thể cắt một mặt phẳng tại hai điểm phân biệt.

Câu 11:

18/07/2024

Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo của góc

(I J, C D)

bằng

A. $30 °$

B. $45 °$

C. $60 °$

D. $90 °$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

$\Rightarrow O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông (1).

Ta có: $S A = S B = S C = S D$

$\Rightarrow S$ nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (2).

Từ (1) và (2) $\Rightarrow S O ⊥ (A B C D)$

Từ giả thiết ta có: $I J // S B$ (do IJ là đường trung bình của $Δ S A B$ ).

$\Rightarrow (I J, C D) = (S B, A B)$ .

Mặt khác, ta lại có $Δ S A B$ đều, do đó

$\hat{S B A} = 60 ° \Rightarrow (S B, A B) = 60 °$

$\Rightarrow (I J, C D) = 60 °$

Câu 12:

. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD. Góc giữa

Cho tứ diện ABCD có

A B = C D

(I E, J F)

bằng

A. $30 °$

B. $45 °$

C. $60 °$

D. $90 °$

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết ta có: $\{\begin{cases} I J // E F // A B \\ J E // I F // C D \end{cases}$ (tính chất đường trung bình trong tam giác)

Từ đó suy ra tứ giác IJEF là hình bình hành.

Mặt khác: $A B = C D$

$\Rightarrow I J = \frac{1}{2} A B = J E = \frac{1}{2} C D$

$\Rightarrow A B C D$ là hình thoi

$\Rightarrow I E ⊥ J F$ (tính chất hai đường chéo của hình thoi)

$\Rightarrow (I E, J F) = 90 °$

Câu 13:

19/07/2024

Cho hình lập phương

A B C D . E F G H

. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ

\vec{A B}

Trong không gian cho hai hình vuông

\vec{D H}

?

A. $45 °$

B.

90 °

C.

120 °

D. $60 °$

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

$\{\begin{cases} A B ⊥ A E \\ A E // D H \end{cases}$

$\Rightarrow A B ⊥ D H$

$\Rightarrow \hat{(A B, D H)} = 90 °$

Câu 14:

18/07/2024

A B C D

có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và

A B C' D'

O'

. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ

\vec{A B}

\vec{O O'}

?

A. $60 °$

B.

45 °

C.

120 °

D. $90 °$

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Vì $A B C D$ và $A B C' D'$ là hình vuông nên

$A D // B C'; A D = B C' \Rightarrow A D B C'$ là hình bình hành

Mà $O; O'$ là tâm của 2 hình vuông nên $O; O'$ là trung điểm của BD và $A C'$

$\Rightarrow O O'$ là đường trung bình của $A D B C'$

$\Rightarrow O O' // A D$

Mặt khác, $A D ⊥ A B$ nên

$O O' ⊥ A B ⊥ \Rightarrow \hat{(O O', A B)} = 90^{o}$

Câu 15:

Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Góc giữa AO và CD bằng bao nhiêu ?

A. $0^{0}$

B.

30^{0}

C. $90^{0}$

D. $60^{0}$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Ta có

$\vec{A O} . \vec{C D} = (\vec{C O} - \vec{C A}) \vec{C D}$

$= \vec{C O} . \vec{C D} - \vec{C A} . \vec{C D}$

$= C O . C D . \cos 30^{0} - C A . C D . \cos 60^{0}$

$= \frac{a \sqrt{3}}{3} . a . \frac{\sqrt{3}}{2} - a . a . \frac{1}{2}$

$= \frac{a^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{2} = 0.$

Suy ra $A O ⊥ C D$ .

Vậy góc giữa AO và CD là 90⁰.

Câu 16:

lần lượt là trung điểm của

Cho tứ diện ABCD có

A B = C D

. Gọi

I, J, E, F

A C, B C, B D, A D

. Góc

(I E, J F)

bằng

A. $30^{0}$

B. $45^{0}$

C. $60^{0}$

D. $90^{0}$

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Tứ giác IJEF là hình bình hành.

Mặt khác $\{\begin{cases} I J = \frac{1}{2} A B \\ J E = \frac{1}{2} C D \end{cases}$

mà $A B = C D$ nên $I J = J E$ .

Do đó IJEF là hình thoi.

Góc $(I E, J F)$ = $90^{0}$

Câu 17:

là góc giữa AB và CD. Chọn khẳng định đúng ?

Cho tứ diện ABCD với

A C = \frac{3}{2} A D, \hat{C A B} = \hat{D A B} = 60^{0},

C D = A D

. Gọi

φ

A. $\cos φ = \frac{3}{4}$

B. $φ = 60^{0}$

C.

φ = 30^{0}

D. $\cos φ = \frac{1}{4}$

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Ta có $\cos (\vec{A B}, \vec{C D})$

$= \frac{\vec{A B} . \vec{C D}}{|\vec{A B}| . |\vec{C D}|} = \frac{\vec{A B} . \vec{C D}}{A B . C D}$

Mặt khác

$\vec{A B} . \vec{C D} = \vec{A B} (\vec{A D} - \vec{A C})$

$= \vec{A B} . \vec{A D} - \vec{A B} . \vec{A C}$

$= A B . A D . \cos 60^{0} - A B . A C . \cos 60^{0}$

$= A B . A D . \frac{1}{2} - A B . \frac{3}{2} A D . \frac{1}{2}$

$= - \frac{1}{4} A B . A D = - \frac{1}{4} A B . C D .$

Do có

$\cos (\vec{A B}, \vec{C D}) = \frac{- \frac{1}{4} A B . C D}{A B . C D} = - \frac{1}{4}$ .

Suy ra $\cos φ = \frac{1}{4}$ .

Câu 18:

Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và

A B C' D'

có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và

O'

. Tứ giác

C D D' C'

là hình gì?

A. Hình bình hành.

B. Hình vuông.

C. Hình thang.

D. Hình chữ nhật.

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Tứ giác $C D D' C'$ là hình bình hành.

Lại có: $D C ⊥ (A D D')$

$\Rightarrow D C ⊥ D D' .$

Vậy tứ giác $C D D' C'$ là hình chữ nhật.

Câu 19:

(I, J lần lượt là trung điểm của BC và AD). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là :

Cho tứ diện ABCD có

A B = C D = a, IJ= \frac{a \sqrt{3}}{2}

A. $30^{0} .$

B. $45^{0} .$

C. $60^{0} .$

D. $90^{0} .$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gọi M là trung điểm của AC.

Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng MI và MJ.

Tính được:

$\cos IMJ = \frac{I M^{2} + M J^{2} - {IJ}^{2}}{2 M I . M J} = - \frac{1}{2}$

Từ đó suy ra số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là: $60^{0} .$

Câu 20:

. Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Góc giữa PQ và AB là?

Cho tứ diện ABCD với

A B ⊥ A C, A B ⊥ B D

A. $90^{0} .$

B.

60^{0} .

C.

30^{0} .

D. $45^{0} .$

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

$\vec{A B} . \vec{P Q} \Rightarrow A B ⊥ P Q$

Câu 21:

Cho hai vectơ

\vec{a}, \vec{b}

thỏa mãn:

|\vec{a}| = 4; |\vec{b}| = 3; |\vec{a} - \vec{b}| = 4

. Gọi

α

là góc giữa hai vectơ

\vec{a}, \vec{b}

. Chọn khẳng định đúng?

A. $\cos α = \frac{3}{8}$

B.

α = 30^{0}

C. $\cos α = \frac{1}{3}$

D. $α = 60^{0}$

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

${(\vec{a} - \vec{b})}^{2} = {|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} - 2 \vec{a} . \vec{b}$

$\Rightarrow \vec{a} . \vec{b} = \frac{9}{2} .$

Do đó: $\cos α = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{3}{8}$

Câu 22:

có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có thể sai?

Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

A. $A^{'} C^{'} ⊥ B D$

B. $B B^{'} ⊥ B D$

C. $A^{'} B ⊥ D C^{'}$

D. $B C^{'} ⊥ A^{'} D$

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Chú ý: Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau còn gọi là hình hộp thoi.

A đúng vì:

$\{\begin{cases} A^{'} C^{'} ⊥ B^{'} D^{'} \\ B^{'} D^{'} // B D \end{cases}$

$\Rightarrow A^{'} C^{'} ⊥ B D$

B sai vì:

C đúng vì:

$\{\begin{cases} A^{'} B ⊥ A B^{'} \\ A B^{'} // D C^{'} \end{cases}$

$\Rightarrow A^{'} B ⊥ D C^{'}$ .

D đúng vì:

$\{\begin{cases} B C^{'} ⊥ B^{'} C \\ B^{'} C // A^{'} D \end{cases}$

$\Rightarrow B C^{'} ⊥ A^{'} D$ .

Câu 23:

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu $\vec{A B} . \vec{A C} = \vec{A C} . \vec{A D} = \vec{A D} . \vec{A B}$ thì $A B ⊥ C D$ , $A C ⊥ B D$ , $A D ⊥ B C$ . Điều ngược lại đúng không?

Sau đây là lời giải:

Bước 1: $\vec{A B} . \vec{A C} = \vec{A C} . \vec{A D}$

$\Leftrightarrow \vec{A C} . (\vec{A B} - \vec{A D}) = 0$

$\Leftrightarrow \vec{A C} . \vec{D B} = 0$

$\Leftrightarrow A C ⊥ B D$

Bước 2: Chứng minh tương tự, từ $\vec{A C} . \vec{A D} = \vec{A D} . \vec{A B}$

ta được $A D ⊥ B C$ và $\vec{A B} . \vec{A C} = \vec{A D} . \vec{A B}$ ta được $A B ⊥ C D$ .

Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương.

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?

A. Đúng.

B. Sai từ bước 1.

C. Sai từ bước 2.

D. Sai ở bước 3.

Xem đáp án

Đáp án: A

Câu 24: