Hướng dẫn giải:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, BC.

Ta có: 

$\left\{\begin{array}{l}MI=NI=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD=\frac{a}{2}\\ MI\text{ // }AB\text{ // }CD\text{ // }NI\end{array}\right.$

$\Rightarrow MINJ$ là hình thoi.

Gọi O là giao điểm của MN và IJ.

Ta có: $\widehat{MIN}=2\widehat{MIO}$.

Xét $\Delta MIO$ vuông tại O , ta có:

$\cos \widehat{MIO}=\frac{IO}{MI}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{4}}{\frac{a}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{MIO}=30°\Rightarrow \widehat{MIN}=60°$

Mà: $\left(AB,CD\right)=\left(IM,IN\right)=\widehat{MIN}=60°$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $AC\text{ // }{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ (tính chất của hình hộp)

$\Rightarrow \left(AC,A^{\text{'}}D\right)=\left(A^{\text{'}}{C}^{\text{'}},A^{\text{'}}D\right)=\widehat{D{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$

(do giả thiết cho $\Delta D{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$nhọn).

Hướng dẫn giải:

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta BCD\Rightarrow AH\perp \left(BCD\right)$.

Gọi E là trung điểm CD $\Rightarrow BE\perp CD$ (do $\Delta BCD$ đều).

Do $AH\perp \left(BCD\right)\Rightarrow AH\perp CD$.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}CD\perp BE\\ CD\perp AH\end{array}\right.\Rightarrow CD\perp \left(ABE\right)$

$\Rightarrow CD\perp AB\Rightarrow \widehat{\left(AB,CD\right)}=90°$

Hướng dẫn giải:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD $\Rightarrow O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông ABCD(1).

Ta có: $SA=SB=SC=SD$

$\Rightarrow S$ nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (2).

Từ (1) và (2) $\Rightarrow SO\perp \left(ABCD\right)$

Từ giả thiết ta có: $MN\text{ // }SA$ (do MN là đường trung bình của $\Delta SAD$). 

$\Rightarrow \left(MN,SC\right)=\left(SA,SC\right)$

Xét $\Delta SAC$, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}S{A}^2+S{C}^2=a^2+a^2=2a^2\\ A{C}^2=2AD=2a^2\end{array}\right.$

$\Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại S $\Rightarrow SA\perp SC$

$\Rightarrow \left(SA,SC\right)=\left(MN,SC\right)=90°$.

Hướng dẫn giải:

Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a và b hoặc song song hoặc chéo nhau.

C sai do:

Giả sử hai đường thẳng a và b chéo nhau, ta dựng đường thẳng c là đường vuông góc chung của a và b . Khi đó góc giữa a và c bằng với góc giữa b và c và cùng bằng $90°$, nhưng hiển nhiên hai đường thẳng a và b không song song.

D sai do: giả sử a vuông góc với c, b song song với c , khi đó góc giữa a và c bằng $90°$, còn góc giữa b và c bằng $0°$.

Do đó B đúng.

Hướng dẫn giải:

Theo lý thuyết.

Hướng dẫn giải:

Gọi $d_1$,$d_2$,$d_3$ là 3 đường thẳng cắt nhau từng đôi một. Giả sử $d_1$, $d_2$ cắt nhau tại A, vì $d_3$ không nằm cùng mặt phẳng với $d_1,d_2$ mà $d_3$ cắt $d_1,d_2$, nên $d_3$ phải đi qua A. Thật vậy giả sử $d_3$ không đi qua A thì nó phải cắt $d_1,d_2$ tại hai điểm B,C điều này là vô lí, một đường thẳng không thể cắt một mặt phẳng tại hai điểm phân biệt.

Hướng dẫn giải:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

$\Rightarrow O$là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông (1).

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết ta có: $\left\{\begin{array}{l}IJ\text{ // }EF\text{ // }AB\\ JE\text{ // }IF\text{ // }CD\end{array}\right.$(tính chất đường trung bình trong tam giác)

Từ đó suy ra tứ giác IJEF là hình bình hành.

Mặt khác: $AB=CD$

$\Rightarrow IJ=\frac{1}{2}AB=JE=\frac{1}{2}CD$

$\Rightarrow ABCD$ là hình thoi

$\Rightarrow IE\perp JF$(tính chất hai đường chéo của hình thoi)

$\Rightarrow \left(IE,JF\right)=90°$

Hướng dẫn giải:

$\left\{\begin{array}{l}AB\perp AE\\ AE\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}DH\end{array}\right.$

$\Rightarrow AB\perp DH$

$\Rightarrow \widehat{\left(AB,DH\right)}=90°$

Hướng dẫn giải:

Vì $ABCD$ và $ABC\text{'}D\text{'}$ là hình vuông nên

$AD\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}BC\text{'};AD=BC\text{'}\Rightarrow ADBC\text{'}$là hình bình hành

Mà $O;O\text{'}$ là tâm của 2 hình vuông nên $O;O\text{'}$là trung điểm của BD và $AC\text{'}$

$\Rightarrow OO\text{'}$là đường trung bình của $ADBC\text{'}$

$\Rightarrow OO\text{'}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}AD$

Mặt khác, $AD\perp AB$ nên

 $OO\text{'}\perp AB\perp \Rightarrow \widehat{\left(OO\text{'},AB\right)}={90}^o$

Hướng dẫn giải:

Ta có 

$\overrightarrow{AO}.\overrightarrow{CD}=\left(\overrightarrow{CO}-\overrightarrow{CA}\right)\overrightarrow{CD}$

$=\overrightarrow{CO}.\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CD}$

$=CO.CD.\cos {30}^0-CA.CD.\cos {60}^0$

$=\frac{a\sqrt{3}}{3}.a.\frac{\sqrt{3}}{2}-a.a.\frac{1}{2}$

$=\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2}=0.$

Suy ra $AO\perp CD$.

Vậy góc giữa AO và CD là 90⁰.

Hướng dẫn giải:

Tứ giác IJEF là hình bình hành.

Mặt khác $\left\{\begin{array}{l}IJ=\frac{1}{2}AB\\ JE=\frac{1}{2}CD\end{array}\right.$

mà $AB=CD$ nên $IJ=JE$.

Do đó IJEF là hình thoi.

Góc $\left(IE,JF\right)$= ${90}^0$

Hướng dẫn giải:

Ta có $\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right)$

$=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{CD}\right|}=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}}{AB.CD}$

Mặt khác

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\right)$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

$=AB.AD.\cos {60}^0-AB.AC.\cos {60}^0$

$=AB.AD.\frac{1}{2}-AB.\frac{3}{2}AD.\frac{1}{2}$

$=-\frac{1}{4}AB.AD=-\frac{1}{4}AB.CD.$

Do có

$\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right)=\frac{-\frac{1}{4}AB.CD}{AB.CD}=-\frac{1}{4}$.

Suy ra $\cos \phi =\frac{1}{4}$.

Hướng dẫn giải:

Tứ giác $CDD\text{'}C\text{'}$ là hình bình hành.

Lại có: $DC\perp \left(ADD\text{'}\right)$

$\Rightarrow DC\perp DD\text{'}.$

Vậy tứ giác $CDD\text{'}C\text{'}$ là hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải:

Gọi M là trung điểm của AC.

Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng MI và MJ.

Tính được:

$\cos \text{IMJ}=\frac{I{M}^2+M{J}^2-{\text{IJ}}^2}{2MI.MJ}=-\frac{1}{2}$

Từ đó suy ra số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là: ${60}^0.$

Hướng dẫn giải:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{PQ}\Rightarrow AB\perp PQ$

Hướng dẫn giải:

${(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})}^2={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\frac{9}{2}.$

Do đó: $\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{3}{8}$

Hướng dẫn giải:

Chú ý: Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau còn gọi là hình hộp thoi.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\left(MNPQ\right)\text{//}AB\\ \left(MNPQ\right)\cap \left(ABC\right)=MQ\end{array}\right.$

$\Rightarrow MQ\text{//}AB.$

Tương tự ta có:

$MN\text{//}CD,NP\text{//}AB,QP\text{//}C\text{D}$.

Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành

lại có $MN\perp MQ\left(doAB\perp CD\right)$.

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.