24 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

(I,J lần lượt là trung điểm của BC và AD). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là

A B = C D = a

,

I J = \frac{a \sqrt{3}}{2}

A.

30 °

B. $45 °$

C. $60 °$

D. $90 °$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, BC.

Ta có:

$\{\begin{cases} M I = N I = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} C D = \frac{a}{2} \\ M I // A B // C D // N I \end{cases}$

$\Rightarrow M I N J$ là hình thoi.

Gọi O là giao điểm của MN và IJ.

Ta có: $\hat{M I N} = 2 \hat{M I O}$ .

Xét $Δ M I O$ vuông tại O , ta có:

$\cos \hat{M I O} = \frac{I O}{M I} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{4}}{\frac{a}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \hat{M I O} = 30 ° \Rightarrow \hat{M I N} = 60 °$

Mà: $(A B, C D) = (I M, I N) = \hat{M I N} = 60 °$ .

Câu 2:

18/07/2024

Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Giả sử tam giác

A B^{'} C

đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng

A^{'} D C^{'}

A C

A^{'} D

là góc nào sau đây?

A. $\hat{B D B^{'}}$

B.

\hat{A B^{'} C}

C. $\hat{D B^{'} B}$

D. $\hat{D A^{'} C^{'}}$

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Ta có: $A C // A^{'} C^{'}$ (tính chất của hình hộp)

$\Rightarrow (A C, A^{'} D) = (A^{'} C^{'}, A^{'} D) = \hat{D A^{'} C^{'}}$

(do giả thiết cho $Δ D A^{'} C^{'}$ nhọn).

Câu 3:

Cho tứ diện đều ABCD (Tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng

A. $30 °$

B. $45 °$

C. $60 °$

D. $90 °$

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp $Δ B C D \Rightarrow A H ⊥ (B C D)$ .

Gọi E là trung điểm CD $\Rightarrow B E ⊥ C D$ (do $Δ B C D$ đều).

Do $A H ⊥ (B C D) \Rightarrow A H ⊥ C D$ .

Ta có: $\{\begin{cases} C D ⊥ B E \\ C D ⊥ A H \end{cases} \Rightarrow C D ⊥ (A B E)$

$\Rightarrow C D ⊥ A B \Rightarrow \hat{(A B, C D)} = 90 °$

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc bằng

(M N, S C)

A. $30 °$

B. $45 °$

C. $60 °$

D. $90 °$

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD $\Rightarrow O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông ABCD(1).

Ta có: $S A = S B = S C = S D$

$\Rightarrow S$ nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (2).

Từ (1) và (2) $\Rightarrow S O ⊥ (A B C D)$

Từ giả thiết ta có: $M N // S A$ (do MN là đường trung bình của $Δ S A D$ ).

$\Rightarrow (M N, S C) = (S A, S C)$

Xét $Δ S A C$ , ta có:

$\{\begin{cases} S A^{2} + S C^{2} = a^{2} + a^{2} = 2 a^{2} \\ A C^{2} = 2 A D = 2 a^{2} \end{cases}$

$\Rightarrow Δ S A C$ vuông tại S $\Rightarrow S A ⊥ S C$

$\Rightarrow (S A, S C) = (M N, S C) = 90 °$ .

Câu 5:

Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Nếu a và b cùng vuông góc với c thì

a // b

.

B. Nếu

a // b

và

c ⊥ a

thì

c ⊥ b

.

C. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì

a // b

.

D. Nếu a và b cùng nằm trong mp

(α) // c

thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c.

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a và b hoặc song song hoặc chéo nhau.

C sai do:

Giả sử hai đường thẳng a và b chéo nhau, ta dựng đường thẳng c là đường vuông góc chung của a và b . Khi đó góc giữa a và c bằng với góc giữa b và c và cùng bằng $90 °$ , nhưng hiển nhiên hai đường thẳng a và b không song song.

D sai do: giả sử a vuông góc với c, b song song với c , khi đó góc giữa a và c bằng $90 °$ , còn góc giữa b và c bằng $0 °$ .

Do đó B đúng.

Câu 6:

Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào được cho là đúng

A. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song với c (hoặc b trùng với c).

B. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c thì b song song với c

C. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn.

D. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai véctơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.

Xem đáp án

Đáp án: A

Câu 7:

Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vuông góc. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Tứ diện có ít nhất một mặt là tam giác nhọn.

B. Tứ diện có ít nhất hai mặt là tam giác nhọn.

C. Tứ diện có ít nhất ba mặt là tam giác nhọn.

D. Tứ diện có cả bốn mặt là tam giác nhọn.

Xem đáp án

Đáp án: A

Câu 8:

20/07/2024

Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề đúng là?

A. Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai.

B. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

C. Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau.

D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Theo lý thuyết.

Câu 9:

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

A. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a vuông góc với c

B. Cho ba đường thẳng

a, b, c

vuông góc với nhau từng đôi một. Nếu có một đường thẳng SA vuông góc với a thì d song song với b hoặc c.

C. Nếu đường thẳng O vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b song song với đường thẳng BD thì a vuông góc với c

D. Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Một đường thẳng c vuông góc với a thì c vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng

(a, b)

.

Xem đáp án

Đáp án: C

Câu 10:

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

A. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng

B. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một và không nằm trong một mặt phẳng thì đồng quy

C. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng

D. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một thì cùng nằm trong một mặt phẳng

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gọi $d_{1}$ , $d_{2}$ , $d_{3}$ là 3 đường thẳng cắt nhau từng đôi một. Giả sử $d_{1}$ , $d_{2}$ cắt nhau tại A, vì $d_{3}$ không nằm cùng mặt phẳng với $d_{1}, d_{2}$ mà $d_{3}$ cắt $d_{1}, d_{2}$ , nên $d_{3}$ phải đi qua A. Thật vậy giả sử $d_{3}$ không đi qua A thì nó phải cắt $d_{1}, d_{2}$ tại hai điểm B,C điều này là vô lí, một đường thẳng không thể cắt một mặt phẳng tại hai điểm phân biệt.

Câu 11:

18/07/2024

Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo của góc

(I J, C D)

bằng

A. $30 °$

B. $45 °$

C. $60 °$

D. $90 °$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

$\Rightarrow O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông (1).

Ta có: $S A = S B = S C = S D$

$\Rightarrow S$ nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (2).

Từ (1) và (2) $\Rightarrow S O ⊥ (A B C D)$

Từ giả thiết ta có: $I J // S B$ (do IJ là đường trung bình của $Δ S A B$ ).

$\Rightarrow (I J, C D) = (S B, A B)$ .

Mặt khác, ta lại có $Δ S A B$ đều, do đó

$\hat{S B A} = 60 ° \Rightarrow (S B, A B) = 60 °$

$\Rightarrow (I J, C D) = 60 °$

Câu 12:

. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD. Góc giữa

Cho tứ diện ABCD có

A B = C D

(I E, J F)

bằng

A. $30 °$

B. $45 °$

C. $60 °$

D. $90 °$

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết ta có: $\{\begin{cases} I J // E F // A B \\ J E // I F // C D \end{cases}$ (tính chất đường trung bình trong tam giác)

Từ đó suy ra tứ giác IJEF là hình bình hành.

Mặt khác: $A B = C D$

$\Rightarrow I J = \frac{1}{2} A B = J E = \frac{1}{2} C D$

$\Rightarrow A B C D$ là hình thoi

$\Rightarrow I E ⊥ J F$ (tính chất hai đường chéo của hình thoi)

$\Rightarrow (I E, J F) = 90 °$

Câu 13:

19/07/2024

Cho hình lập phương

A B C D . E F G H

. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ

\vec{A B}

Trong không gian cho hai hình vuông

\vec{D H}

?

A. $45 °$

B.

90 °

C.

120 °

D. $60 °$

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

$\{\begin{cases} A B ⊥ A E \\ A E // D H \end{cases}$

$\Rightarrow A B ⊥ D H$

$\Rightarrow \hat{(A B, D H)} = 90 °$

Câu 14:

18/07/2024

A B C D

có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và

A B C' D'

O'

. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ

\vec{A B}

\vec{O O'}

?

A. $60 °$

B.

45 °

C.

120 °

D. $90 °$

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Vì $A B C D$ và $A B C' D'$ là hình vuông nên

$A D // B C'; A D = B C' \Rightarrow A D B C'$ là hình bình hành

Mà $O; O'$ là tâm của 2 hình vuông nên $O; O'$ là trung điểm của BD và $A C'$

$\Rightarrow O O'$ là đường trung bình của $A D B C'$

$\Rightarrow O O' // A D$

Mặt khác, $A D ⊥ A B$ nên

$O O' ⊥ A B ⊥ \Rightarrow \hat{(O O', A B)} = 90^{o}$

Câu 15:

Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Góc giữa AO và CD bằng bao nhiêu ?

A. $0^{0}$

B.

30^{0}

C. $90^{0}$

D. $60^{0}$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Ta có

$\vec{A O} . \vec{C D} = (\vec{C O} - \vec{C A}) \vec{C D}$

$= \vec{C O} . \vec{C D} - \vec{C A} . \vec{C D}$

$= C O . C D . \cos 30^{0} - C A . C D . \cos 60^{0}$

$= \frac{a \sqrt{3}}{3} . a . \frac{\sqrt{3}}{2} - a . a . \frac{1}{2}$

$= \frac{a^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{2} = 0.$

Suy ra $A O ⊥ C D$ .

Vậy góc giữa AO và CD là 90⁰.

Câu 16:

lần lượt là trung điểm của

Cho tứ diện ABCD có

A B = C D

. Gọi

I, J, E, F

A C, B C, B D, A D

. Góc

(I E, J F)

bằng

A. $30^{0}$

B. $45^{0}$

C. $60^{0}$

D. $90^{0}$

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Tứ giác IJEF là hình bình hành.

Mặt khác $\{\begin{cases} I J = \frac{1}{2} A B \\ J E = \frac{1}{2} C D \end{cases}$

mà $A B = C D$ nên $I J = J E$ .

Do đó IJEF là hình thoi.

Góc $(I E, J F)$ = $90^{0}$

Câu 17:

là góc giữa AB và CD. Chọn khẳng định đúng ?

Cho tứ diện ABCD với

A C = \frac{3}{2} A D, \hat{C A B} = \hat{D A B} = 60^{0},

C D = A D

. Gọi

φ

A. $\cos φ = \frac{3}{4}$

B. $φ = 60^{0}$

C.

φ = 30^{0}

D. $\cos φ = \frac{1}{4}$

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Ta có $\cos (\vec{A B}, \vec{C D})$

$= \frac{\vec{A B} . \vec{C D}}{|\vec{A B}| . |\vec{C D}|} = \frac{\vec{A B} . \vec{C D}}{A B . C D}$

Mặt khác

$\vec{A B} . \vec{C D} = \vec{A B} (\vec{A D} - \vec{A C})$

$= \vec{A B} . \vec{A D} - \vec{A B} . \vec{A C}$

$= A B . A D . \cos 60^{0} - A B . A C . \cos 60^{0}$

$= A B . A D . \frac{1}{2} - A B . \frac{3}{2} A D . \frac{1}{2}$

$= - \frac{1}{4} A B . A D = - \frac{1}{4} A B . C D .$

Do có

$\cos (\vec{A B}, \vec{C D}) = \frac{- \frac{1}{4} A B . C D}{A B . C D} = - \frac{1}{4}$ .

Suy ra $\cos φ = \frac{1}{4}$ .

Câu 18:

Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và

A B C' D'

có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và

O'

. Tứ giác

C D D' C'

là hình gì?

A. Hình bình hành.

B. Hình vuông.

C. Hình thang.

D. Hình chữ nhật.

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Tứ giác $C D D' C'$ là hình bình hành.

Lại có: $D C ⊥ (A D D')$

$\Rightarrow D C ⊥ D D' .$

Vậy tứ giác $C D D' C'$ là hình chữ nhật.

Câu 19:

(I, J lần lượt là trung điểm của BC và AD). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là :

Cho tứ diện ABCD có

A B = C D = a, IJ= \frac{a \sqrt{3}}{2}

A. $30^{0} .$

B. $45^{0} .$

C. $60^{0} .$

D. $90^{0} .$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gọi M là trung điểm của AC.

Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng MI và MJ.

Tính được:

$\cos IMJ = \frac{I M^{2} + M J^{2} - {IJ}^{2}}{2 M I . M J} = - \frac{1}{2}$

Từ đó suy ra số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là: $60^{0} .$

Câu 20:

. Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Góc giữa PQ và AB là?

Cho tứ diện ABCD với

A B ⊥ A C, A B ⊥ B D

A. $90^{0} .$

B.

60^{0} .

C.

30^{0} .

D. $45^{0} .$

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

$\vec{A B} . \vec{P Q} \Rightarrow A B ⊥ P Q$

Câu 21:

Cho hai vectơ

\vec{a}, \vec{b}

thỏa mãn:

|\vec{a}| = 4; |\vec{b}| = 3; |\vec{a} - \vec{b}| = 4

. Gọi

α

là góc giữa hai vectơ

\vec{a}, \vec{b}

. Chọn khẳng định đúng?

A. $\cos α = \frac{3}{8}$

B.

α = 30^{0}

C. $\cos α = \frac{1}{3}$

D. $α = 60^{0}$

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

${(\vec{a} - \vec{b})}^{2} = {|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} - 2 \vec{a} . \vec{b}$

$\Rightarrow \vec{a} . \vec{b} = \frac{9}{2} .$

Do đó: $\cos α = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{3}{8}$

Câu 22:

có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có thể sai?

Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

A. $A^{'} C^{'} ⊥ B D$

B. $B B^{'} ⊥ B D$

C. $A^{'} B ⊥ D C^{'}$

D. $B C^{'} ⊥ A^{'} D$

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Chú ý: Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau còn gọi là hình hộp thoi.

A đúng vì:

$\{\begin{cases} A^{'} C^{'} ⊥ B^{'} D^{'} \\ B^{'} D^{'} // B D \end{cases}$

$\Rightarrow A^{'} C^{'} ⊥ B D$

B sai vì:

C đúng vì:

$\{\begin{cases} A^{'} B ⊥ A B^{'} \\ A B^{'} // D C^{'} \end{cases}$

$\Rightarrow A^{'} B ⊥ D C^{'}$ .

D đúng vì:

$\{\begin{cases} B C^{'} ⊥ B^{'} C \\ B^{'} C // A^{'} D \end{cases}$

$\Rightarrow B C^{'} ⊥ A^{'} D$ .

Câu 23:

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu $\vec{A B} . \vec{A C} = \vec{A C} . \vec{A D} = \vec{A D} . \vec{A B}$ thì $A B ⊥ C D$ , $A C ⊥ B D$ , $A D ⊥ B C$ . Điều ngược lại đúng không?

Sau đây là lời giải:

Bước 1: $\vec{A B} . \vec{A C} = \vec{A C} . \vec{A D}$

$\Leftrightarrow \vec{A C} . (\vec{A B} - \vec{A D}) = 0$

$\Leftrightarrow \vec{A C} . \vec{D B} = 0$

$\Leftrightarrow A C ⊥ B D$

Bước 2: Chứng minh tương tự, từ $\vec{A C} . \vec{A D} = \vec{A D} . \vec{A B}$

ta được $A D ⊥ B C$ và $\vec{A B} . \vec{A C} = \vec{A D} . \vec{A B}$ ta được $A B ⊥ C D$ .

Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương.

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?

A. Đúng.

B. Sai từ bước 1.

C. Sai từ bước 2.

D. Sai ở bước 3.

Xem đáp án

Đáp án: A

Câu 24: