30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 11 Bài 5: Khoảng cách

Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vuông góc với

$(A B C)$ và

$S A = 3 a .$ Diện tích tam giác ABC bằng

$2 a^{2}, B C = a$ . Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu?

A. 2a

B. 4a

C. 3a

D. 5a

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Kẻ AH vuông góc với BC

$S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A H . B C$

$\to A H = \frac{2. S_{Δ A B C}}{B C}$

$= \frac{4 a^{2}}{a} = 4 a$

Khoảng cách từ S đến BC chính là SH

Dựa vào tam giác vuông $Δ S A H$ ta có

$S H = \sqrt{S A^{2} + A H^{2}}$

$= \sqrt{{(3 a)}^{2} + {(4 a)}^{2}} = 5 a$

Câu 2:

Cho hình chóp

$S . A B C D$ trong đó SA,AB,BC đôi một vuông góc và

$S A = A B = B C = 1.$ Khoảng cách giữa hai điểm

$S và C$ nhận giá trị nào trong các giá trị sau ?

A. $\sqrt{2} .$

B. $\sqrt{3} .$

C. 2.

D. $\frac{\sqrt{3}}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Do $\{\begin{cases} S A ⊥ A B \\ S A ⊥ B C \end{cases}$ nên $S A ⊥ (A B C)$

$\Rightarrow S A ⊥ A C$

Như vậy $S C = \sqrt{S A^{2} + A C^{2}}$

$= \sqrt{S A^{2} + (A B^{2} + B C^{2})} = \sqrt{3}$

Câu 3:

Cho hình chóp A.BCD có cạnh

$A C ⊥ (B C D) và B C D$ là tam giác đều cạnh bằng a. Biết

$A C = a \sqrt{2}$ và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng

A.

$a \sqrt{\frac{7}{5}} .$

B.

$a \sqrt{\frac{4}{7}} .$

A.

C.

$a \sqrt{\frac{6}{11}} .$

D. $a \sqrt{\frac{2}{3}} .$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Do $Δ A B C$ đều cạnh a nên đường cao $M C = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$d (C, A M) = C H$

$= \frac{A C . M C}{\sqrt{A C^{2} + M C^{2}}} = a \frac{\sqrt{66}}{11}$

Câu 4:

$(P)$ cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng

Trong mặt phẳng

$(P)$ lấy điểm S sao cho SA= a . Khoảng cách từ A đến

$(S B C)$ bằng

A.

$a \sqrt{5} .$

B.

$2 a .$

C.

$\frac{a \sqrt{21}}{7} .$

D. $a \sqrt{3} .$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gọi M là trung điểm của BC; H là hình chiếu vuông góc của A trên SM.

Ta có $B C ⊥ A M$ và $B C ⊥ S A$ nên

$B C ⊥ (S A M) \Rightarrow B C ⊥ A H .$

Mà $A H ⊥ S M$ , do đó $A H ⊥ (S B C)$ .

Vậy $A H = d (A, (S B C)) .$

$A M = \frac{a \sqrt{3}}{2};$

$A H = \frac{A S . A M}{\sqrt{A S^{2} + A M^{2}}} = \frac{a \sqrt{21}}{7} .$

Câu 5:

29/11/2024

Cho tứ diện SABC trong đo SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một và

$S A = 3 a$ ,

$S B = a$ ,

$S C = 2 a$ . Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng:

A.

$\frac{3 a \sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{7 a \sqrt{5}}{5}$

C. $\frac{8 a \sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{5 a \sqrt{6}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là : B

Lời giải:

+ Dựng $A H ⊥ B C$ $\Rightarrow d (A, B C) = A H$

+ $\{\begin{cases} A S ⊥ (S B C) \supset B C \Rightarrow A S ⊥ B C \\ A H ⊥ B C \end{cases}$

AH cắt Á cùng nằm trong $(S A H)$ .

$\Rightarrow B C ⊥ (S A H) \supset S H \Rightarrow B C ⊥ S H$

Xét trong $Δ S B C$ vuông tại S có H là đường cao ta có:

$\frac{1}{S H^{2}} = \frac{1}{S B^{2}} + \frac{1}{S C^{2}}$

$= \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{4 a^{2}} = \frac{5}{4 a^{2}}$

$\Rightarrow S H^{2} = \frac{4 a^{2}}{5}$

$\Rightarrow S H = \frac{2 a \sqrt{5}}{5}$

+ Ta dễ chứng minh được $A S ⊥ (S B C) \supset S H \Rightarrow A S ⊥ S H$

$\Rightarrow Δ A S H$ vuông tại S.

Áp dụng hệ thức lượng trong $Δ A S H$ vuông tại S ta có:

$A H^{2} = S A^{2} + S H^{2}$

$= 9 a^{2} + \frac{4 a^{2}}{5} = \frac{49 a^{2}}{5}$

$\Rightarrow A H = \frac{7 a \sqrt{5}}{5}$

*Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tính khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng

*Lý thuyết:

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm O và đường thẳng a. Trong mặt phẳng (O; a), gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên a. Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a.

Kí hiệu: d(O; a).

Lý thuyết Khoảng cách chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm O và mặt phẳng (α). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (α). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) và được kí hiệu là d(O; (α)).

Lý thuyết Khoảng cách chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

1. Khoảng cách giữa đường thẳng và măt phẳng song song.

- Định nghĩa: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α). Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a đến mặt phẳng (α).

Kí hiệu là d(a; (α)) .

Lý thuyết Khoảng cách chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

- Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

- Kí hiệu: d((α); (β)).

Như vậy: d((α); (β)) = d(M; (β)) = d(M’; (α)).

Lý thuyết Khoảng cách chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Xem thêm

Lý thuyết Khoảng cách (mới + Bài Tập) - Toán 11

TOP 40 câu Trắc nghiệm Khoảng cách (có đáp án ) – Toán 11

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABCD có $S A ⊥ (A B C D),$ mặt đáy ABCD là hình thang vuông có chiều cao $A B = a .$ Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và $(S A D) .$

A. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{a}{2}$

D. $\frac{a}{3}$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

$S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ A I$

Lại có $A I ⊥ A D$ ( hình thang vuông)

suy ra $I A ⊥ (S A D)$

$I J ∥ A D$ theo tính chất hình thang, nên

$d (I J, (S A D)) = d (I, (S A D))$

$= I A = \frac{a}{2}$

Câu 7:

Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D, AD= 2a .Trên đường thẳng vuông góc với

$(A B C D)$ tại D lấy điểm S với

$S D = a \sqrt{2} .$ Tính khoảng cách giữa DC và

$(S A B) .$

A. $\frac{2 a}{\sqrt{3}}$

B. $\frac{a}{\sqrt{2}}$

C. $a \sqrt{2}$ .

D. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Trong tam giác DHA , dựng $D H ⊥ S A$ ;

Vì $D C / / A B$

$\Rightarrow d (D C; (S A B)) = d (D; (S A B))$

$= D H$

Xét tam giác vuông SDA có :

$\frac{1}{D H^{2}} = \frac{1}{S D^{2}} + \frac{1}{A D^{2}}$

$\Rightarrow D H = \frac{a \sqrt{12}}{3} = \frac{2 a}{\sqrt{3}}$

Câu 8:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Khi đó khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng

$(S C D)$ bằng

A. $\frac{a \sqrt{6}}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{6}}{4}$

C. $\frac{2 a \sqrt{6}}{9}$

D. $\frac{a \sqrt{6}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD

Khi đó $S O ⊥ (A B C D)$

Kẻ $O I ⊥ C D, O H ⊥ S I$

$\Rightarrow O H ⊥ (S C D)$

Ta tính được $A O = \frac{a \sqrt{2}}{2},$

$S O = \sqrt{S A^{2} - A O^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

$\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{S O^{2}} + \frac{1}{O I^{2}}$

$\Rightarrow O H = \frac{a \sqrt{6}}{6}$

$\Rightarrow d (A, (S C D)) = \frac{a \sqrt{6}}{3}$

Câu 9:

$A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa đường thẳng BD và mặt phẳng

$(C B^{'} D^{'})$ bằng

A. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{2 a \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{a \sqrt{6}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ

$A (0; 0; 0); B (1; 0; 0); D (0; 1; 0);$

$A^{'} (0; 0; 1); C (1; 1; 0); B^{'} (1; 0; 1);$

$D^{'} (0; 1; 1); C^{'} (1; 1; 1)$

$\vec{C B^{'}} = (0; - 1; 1); \vec{C D^{'}} = (- 1; 0; 1)$

Viết phương trình mặt phẳng $(C B^{'} D^{'})$

Có VTPT $\vec{n} = [\vec{C B^{'}}; \vec{C D^{'}}] = (- 1; - 1; - 1)$

$(C B^{'} D^{'}) :$

$1 (x - 1) + 1 (y - 1) + 1 (z - 0) = 0$

$\Leftrightarrow x + y + z - 2 = 0$

$d (B D; (C B^{'} D^{'})) = d (B; (C B^{'} D^{'}))$

$= \frac{|1 + 0 + 0 - 2|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Vậy $d (B D; (C B^{'} D^{'})) = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

Câu 10:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I với

$A B = 2 a \sqrt{3}; B C = 2 a$ . Biết chân đường cao H hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD trùng với trung điểm đoạn DI và SB hợp với mặt phẳng đáy

$(A B C D)$ một góc

$60^{\circ} .$ Khoảng cách từ D đến

$(S B C)$ tính theo a bằng

A.

$\frac{a \sqrt{15}}{5}$

B. $\frac{2 a \sqrt{15}}{5}$

C. $\frac{4 a \sqrt{15}}{5}$

D. $\frac{3 a \sqrt{15}}{5}$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Đặc điểm của hình: Góc giữa SB tạo với mặt phẳng $(A B C D)$ là $\hat{S B M} = 60^{\circ} .$

$B M = \frac{3}{4} B D = 3 a$ ;

$S M = B M . \tan 60^{0} = 3 \sqrt{3} a$

Xác định khoảng cách:

$d (D, (S B C)) = \frac{4}{3} d (M, (S B C))$

$= \frac{4}{3} M H$

Tính khoảng cách MH:

$\frac{1}{M H^{2}} = \frac{1}{M K^{2}} + \frac{1}{M S^{2}} = \frac{1}{{(\frac{3}{4} .2 \sqrt{3} a)}^{2}} + \frac{1}{{(3 \sqrt{3} a)}^{2}} = \frac{5}{27 a^{2}}$

$M H = \sqrt{\frac{27}{5}} a$ .vậy

$d (D, (S B C)) = \frac{4}{3} d (M, (S B C)) = \frac{4}{3} M H = \frac{4 \sqrt{15}}{5} a$

Câu 11:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật,

$A B = a, A C = 2 a, S A$ vuông góc với mặt phẳng

$(A B C D), S C$ tạo với mặt phẳng

$(S A B)$ một góc

$30^{\circ} .$ Gọi M là một điểm trên cạnh AB sao cho

$B M = 3 M A .$ Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

$(S C M)$ là

A. $\frac{\sqrt{34} a}{51}$ .

B. $\frac{2 \sqrt{34} a}{51}$ .

C. $\frac{3 \sqrt{34} a}{51}$ .

D. $\frac{4 \sqrt{34} a}{51}$ .

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Đặc điểm của hình: SC tạo với mặt phẳng $(S A B)$ góc $\hat{C S B} = 30^{\circ} .$

$B C = \sqrt{3} a$ ; $S B = B C . \tan 30^{0} = a$ ; $M C = \sqrt{{(\frac{3 a}{4})}^{2} + 3 a^{2}} = \frac{\sqrt{57}}{4} a$ ;

$M A = \frac{a}{4}$ ; $A C = 2 a$ ; $A S = 2 \sqrt{2} a$ ; $A K = \frac{2 S_{A M C}}{M C} = \frac{\sqrt{19}}{19} a$

Xác định khoảng cách: $d (A, (S B C)) = A H$

Tính $\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A K^{2}} + \frac{1}{A S^{2}}$

$= \frac{1}{{(\frac{\sqrt{19}}{19} a)}^{2}} + \frac{1}{{(2 \sqrt{2} a)}^{2}} = \frac{153}{8 a^{2}}$

Vậy $d (A, (S B C)) = A H = \frac{2 \sqrt{34}}{51}$

Câu 12:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi

$M, N và P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh

$A B, A D và D C .$ Gọi H là giao điểm của CN và DM, biết SH vuông góc

$(A B C D), S H = a \sqrt{3}$ . Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng

$(S B P)$ tính theo a bằng

A. $\frac{a \sqrt{2}}{4}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{4}$

D. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Ta chứng minh: $N C ⊥ M D$

Thật vậy: $Δ A D M = Δ D C M$ vì

$\hat{A} = \hat{D} = 90^{0}; A D = D C;$ $A M = D N$

$\Rightarrow \hat{A D M} = \hat{D C N};$ mà $\hat{A D M} + \hat{M D C} = 90^{0}$

$\Rightarrow \hat{M D C} + \hat{D C N} = 90^{0}$

$\Rightarrow N C ⊥ M D$

Ta có: $B P ⊥ N C (M D / / B P); B P ⊥ S H$

$\Rightarrow B P ⊥ (S N C) \Rightarrow (S B P) ⊥ (S N C)$

Kẻ $H E ⊥ S F \Rightarrow H E ⊥ (S B P)$

$\Rightarrow d (H, (S B P)) = d (C, (S B P))$ $= H E$

Do $D C^{2} = H C . N C$

$\Rightarrow H C = \frac{D C^{2}}{N C} = \frac{2 a \sqrt{5}}{5} \Rightarrow H F = \frac{a \sqrt{5}}{5}$

Mà $H E = \frac{S H . H F}{S F} = \frac{S H . H F}{\sqrt{S H^{2} + H F^{2}}} = \frac{a \sqrt{3}}{4}$ .

Câu 13:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau,

$A D = 2 a \sqrt{2}; B C = a \sqrt{2}$ . Hai mặt phẳng

$(S A C) và (S B D)$ cùng vuông góc với mặt đáy

$(A B C D) .$ Góc giữa hai mặt phẳng

$(S C D) và (A B C D)$ bằng

$60^{\circ} .$ Khoảng cách từ M là trung điểm đoạn AB đến mặt phẳng

$(S C D)$ là

A. $\frac{a \sqrt{15}}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{15}}{20}$

C. $\frac{3 a \sqrt{15}}{20}$

D. $\frac{9 a \sqrt{15}}{20}$

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Do $(S A C) ⊥ (A B C D), (S B D) ⊥ (A B C D)$

$(S A C) \cap (S B D) = S O$

$\Rightarrow S O ⊥ (A B C D)$

Dựng góc giữa $(S C D), (A B C D)$ :

$(S C D) \cap (A B C D) = D C$ . Kẻ $O K ⊥ D C$

$\Rightarrow S K ⊥ D C$

$\Rightarrow (\hat{(S C D), (A B C D)}) = \hat{S K O}$

Kéo dài MO cắt DC tại E

Ta có:

$\hat{A_{1}} = \hat{D_{1}}; \hat{A_{1}} = \hat{M_{1}}; \hat{M_{1}} = \hat{M_{2}} = \hat{O_{1}}$

$\Rightarrow \hat{D_{1}} = \hat{O_{1}}; \hat{O_{1}} + \hat{E O D} = 90^{0}$

$\Rightarrow \hat{E} = 90^{0}$

$\Rightarrow E \equiv K$

Ta có: $O K = \frac{2 a . a}{a \sqrt{5}}; O M = \frac{A B}{2} = \frac{a \sqrt{5}}{2}$

$M K = \frac{9 a \sqrt{5}}{10}$ .

$\frac{d (O, (S C D))}{d (M, (S C D))} = \frac{O E}{M E} = \frac{9}{4}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow d (M, (S C D)) \end{array}$ $= \frac{9}{4} d (O, (S C D)) = \frac{9}{4} O H$

$O S = O K . \tan 60^{0} = \frac{2 a \sqrt{15}}{5}$

$\Rightarrow O H = \frac{O K . O S}{\sqrt{O K^{2} + O S^{2}}} = \frac{a \sqrt{15}}{5}$

$\Rightarrow d (M, (S C D)) = \frac{9 a \sqrt{15}}{20}$

Câu 14:

Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây?

A. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

B. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng (a) chứa đường này và (a) vuông góc với đường kia.

C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc (a) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.

D. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (a) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kì thuộc a tới mặt phẳng (a)

Xem đáp án

Đáp án: A

Câu 15:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào không sai?

A. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia

B. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó

C. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia

D. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó cắt cả hai đường thẳng đó.

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Đáp án A: Đúng

Đáp án B: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố cắt nhau.

Đáp án C: Sai, vì mặt phẳng đó chưa chắc đã tồn tại.

Đáp án D: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố vuông góc.

Câu 16:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào không đúng?

A. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường thẳng vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng (P) chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.

B. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kỳ thuộc a tới mp(P).

C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kỳ trên b.

D. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Xem đáp án

Đáp án: C

Câu 17:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng

$(A B C D)$ là điểm H thuộc cạnh AD sao cho

$H A = 3 H D .$ Gọi M là trung điểm của cạnh AB .Biết rằng

$S A = 2 \sqrt{3} a$ và đường thẳng SC tạo với mặt đáy một góc

$30^{\circ} .$ Khoảng cách từ M đến mặt phẳng

$(S B C)$ tính theo a bằng

A. $\frac{2 \sqrt{66} a}{11}$

B. $\frac{\sqrt{11} a}{66}$

C. $\frac{2 \sqrt{66} a}{11}$

D. $\frac{\sqrt{66} a}{11}$

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

SC có hình chiếu vuông góc lên mp $(A B C D)$ là HC

$\Rightarrow \hat{S C, (A B C D)} = \hat{S C H} = 30^{0}$

Đặt $A D = 4 x_{}^{} (x > 0)$

Ta có : $S A^{2} = A H . A D$

$\Rightarrow 12 a^{2} = 12 x^{2} \Rightarrow x = a$

$\Rightarrow A D = 4 a, A H = 3 a, H D = a$

Mà : $S H = \sqrt{S A^{2} - A H^{2}} = a \sqrt{3}$

$\Rightarrow H C = 3 a \Rightarrow D C = 2 \sqrt{2} a$

Kẻ $H E ⊥ B C, S H ⊥ B C$

$\Rightarrow (S H E) ⊥ (S B C)$

Kẻ $H K ⊥ S E \Rightarrow H K ⊥ (S B C)$

$\Rightarrow d (H, S B C) = H K$

$\Rightarrow d (M, (S B C)) = \frac{H K}{2}$

$H K = \frac{S H . E H}{\sqrt{S H^{2} + E H^{2}}} = \frac{2 a \sqrt{66}}{11}$

$\Rightarrow d (M, (S B C)) = \frac{a \sqrt{66}}{11}$

Câu 18:

$A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cạnh a. Khoảng cách từ A đến

$(B^{'} C D^{'})$ bằng

A. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{2 a \sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{a \sqrt{6}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$A B' = A C = A D' = B' D'$

$= B' C = C D' = a \sqrt{2}$

Nên tứ diện $A B' C D'$ là tứ diện đều.

Gọi I là trung điểm $B' C$ , G là trọng tâm tam giác $B' C D'$ .

Khi đó ta có: $d (A; (B' C D')) = A G$

Vì tam giác $B' C D'$ đều nên

$D' I = a \sqrt{2} . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ .

Theo tính chất trọng tâm ta có:

$D' G = \frac{2}{3} D' I = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ .

Trong tam giác vuông $A G D'$ có:

$A G = \sqrt{D' A^{2} - D' G^{2}}$

$= \sqrt{{(a \sqrt{2})}^{2} - {(\frac{a \sqrt{6}}{3})}^{2}} = \frac{2 a \sqrt{3}}{3}$ .

Câu 19:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với

$A B = a .$ Mặt bên chứa BC của hình chóp vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc

$45^{\circ} .$ Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng đáy

$(A B C)$ .

A. $\frac{a}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{3 a}{2}$

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gọi H là hình chiếu của S lên $(A B C)$ , vì mặt bên $(S B C)$ vuông góc với $(A B C)$ nên $H \in B C .$

Dựng $H I ⊥ A B, H J ⊥ A C$ , theo đề bài ta có

$\hat{S I H} = \hat{S J H} = 45^{0}$

Do đó tam giác $S H I = S H J$ (cạnh góc vuông - góc nhọn)

Suy ra $H I = H J$ .

Lại có $\hat{B} = \hat{C} = 45^{0}$

$\Rightarrow Δ B I H = Δ C J H \Rightarrow H B = H C$

Vậy H trùng với trung điểm của BC.

Từ đó ta có HI là đường trung bình của tam giác ABC nên $H I = \frac{A C}{2} = \frac{a}{2}$ .

Tam giác SHI vuông tại H và có $\hat{S I H} = 45^{0}$

$\Rightarrow Δ S H I$ vuông cân.

Do đó: $S H = H I = \frac{a}{2}$ .

Câu 20:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng b, cạnh đáy bằng d, với $d < b \sqrt{3} .$ Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định bên dưới.

A. $d (S, (A B C)) = \sqrt{b^{2} - \frac{1}{2} d^{2}}$

B. $d (S, (A B C)) = \sqrt{b^{2} - d^{2}}$

C. $d (S, (A B C)) = \sqrt{b^{2} - \frac{1}{3} d^{2}}$

D. $d (S, (A B C)) = \sqrt{b^{2} + d^{2}}$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gọi I là trung điểm của BC, H là trọng tâm tam giác ABC.

Do S.ABC là hình chóp đều nên $S H ⊥ (A B C)$

$\Rightarrow d (S, (A B C)) = S H$

Ta có $A I = \sqrt{A B^{2} - B I^{2}}$

$= \sqrt{d^{2} - \frac{d^{2}}{4}} = \frac{d \sqrt{3}}{2}$

$A H = \frac{2}{3} A I = \frac{d \sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow S H = \sqrt{S A^{2} - A H^{2}} = \sqrt{b^{2} - \frac{d^{2}}{3}}$

Câu 21:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy

$(A B C D) .$ Gọi K, H theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và O lên SD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là AK

B. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là CD

C. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là OH

D. Các khẳng định trên đều sai

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Nếu $A K ⊥ A C, do A K ⊥ A B$

$\Rightarrow A K ⊥ (A B C)$

$\Rightarrow A K \equiv S A$ (vì $S A ⊥ (A B C)$

$\Rightarrow S A ⊥ S D \Rightarrow Δ S A D$ có 2 góc vuông (vô lý).

Theo tính chất của hình vuông $C D ⊥ A C$ .

Nếu $A C ⊥ O H, do A C ⊥ B D$

$\Rightarrow A C ⊥ (S B D) \Rightarrow A C ⊥ S O$

$\Rightarrow Δ S O A$ có 2 góc vuông (vô lý)

Như vậy $A C ⊥ A K, A C ⊥ C D, A C ⊥ O H$

Câu 22:

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa AB và CD.

A. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{2}}{3}$

C. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Khi đó $N A = N B = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ nên tam giác ANB cân, suy ra $N M ⊥ A B$ .

Chứng minh tương tự ta có $N M ⊥ D C$ , nên $d (A B; C D) = M N$ .

Ta có:

$S_{A B N}$ $= \sqrt{p (p - A B) (p - B N) (p - A N)}$ (p là nửa chu vi)

$= \sqrt{\frac{a + a \sqrt{3}}{2} . \frac{a + a \sqrt{3}}{2} . \frac{a}{2} . \frac{a}{2}} = \frac{\sqrt{2} a}{4}$

Mặt khác: $S_{A B N} = \frac{1}{2} A B . M N = \frac{1}{2} a . M N$

$\Rightarrow M N = \frac{\sqrt{2} a}{2}$

Cách khác. Tính

$M N = \sqrt{A N^{2} - A M^{2}}$

$= \sqrt{\frac{3 a^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Câu 23:

Cho hình chóp S.ABCD có

$S A ⊥ (A B C D)$ , đáy ABCD là hình chữ nhật với

$A C = a \sqrt{5}$ và

$B C = a \sqrt{2}$ . Tính khoảng cách giữa SD và BC.

A.

$\frac{3 a}{4}$

B. $\frac{2 a}{3}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

D. $a \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Ta có: BC // $(S A D)$

$\Rightarrow d (B C; S D) = d (B C; (S A D))$

$= d (B; (S A D))$

Mà $\{\begin{cases} A B ⊥ A D \\ A B ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow A B ⊥ (S A D)$

$\Rightarrow d (B; (S A D)) = A B$

Ta có: $A B = \sqrt{A C^{2} - B C^{2}}$

$= \sqrt{5 a^{2} - 2 a^{2}} = \sqrt{3} a$

Câu 24:

$A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa

$B B'$ và AC bằng:

A.

$\frac{a}{2}$

B. $\frac{a}{3}$

C. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$d (B B^{'}; A C) = d (B B^{'}; (A C C' A^{'}))$

$= \frac{1}{2} D B = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Câu 25:

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai cạnh đối AB và CD bằng

$A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh bằng 1 (đvdt). Khoảng cách giữa

$A A'$ và

$B D'$ bằng:

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{2 \sqrt{2}}{5}$

D. $\frac{3 \sqrt{5}}{7}$

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Ta có: $d (A A^{'}; B D^{'}) = d (B B^{'}; (D B B^{'} D^{'}))$

$= \frac{1}{2} A C = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Câu 26:

25/11/2024

A.

$\frac{a \sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{a}{2}$

D. $\frac{a}{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Lời giải:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Khi đó $N A = N B = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ nên tam giác ANB cân, suy ra $N M ⊥ A B$ .

Chứng minh tương tự ta có $N M ⊥ D C$ , nên $d (A B; C D) = M N$ .

Ta có:

$S_{A B N}$ $= \sqrt{p (p - A B) (p - B N) (p - A N)}$ (p là nửa chu vi)

$= \sqrt{\frac{a + a \sqrt{3}}{2} . \frac{a + a \sqrt{3}}{2} . \frac{a}{2} . \frac{a}{2}}$

$= \frac{\sqrt{2} a}{4}$

Mặt khác:

$S_{A B N} = \frac{1}{2} A B . M N = \frac{1}{2} a . M N$

$\Rightarrow M N = \frac{\sqrt{2} a}{2}$

*Phương pháp giải:

1.Gọi M,I lần lượt là trung điểm là CD và AB.Chứng minhd(AB,CD)=MI

2.Tính MI

*Lý thuyết:

Trong không gian tọa đọ Oxyz, có 4 vị trí tương đối của 2 đường thẳng đó là trùng nhau, cắt nhau, chéo nhau và song song. Trong trường hợp 2 đường thẳng chéo nhau, khoảng cách giữa chúng là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng. Trong đó, đoạn thẳng nối 2 điểm trên 2 đường thẳng chéo nhau, đồng thời vuông góc với cả 2 đường thẳng đó chính là đoạn vuông góc chung.

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: Lý thuyết, cách xác định và các dạng bài tập (ảnh 1)

Lưu ý, đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau là chỉ có một và tồn tại duy nhất.

2. Phương pháp tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Để có thể tính được khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau thì chúng ta có thể sử dụng một trong các cách dưới đây:

Phương pháp 1: Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b, khi đó d (a,b) = MN.

Tuy nhiên, khi dựng đoạn vuông góc chung MN, chúng ta có thể sẽ gặp phải các trường hợp sau:

- Trường hợp 1: ∆ và ∆’ vừa chéo vừa vuông góc với nhau

Khi gặp trường hợp này, chúng ta sẽ làm như sau:

Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa ∆’ và vuông góc với ∆ tại I
Bước 2: Trong mặt phẳng (α) kẻ đường thẳng IJ vuông góc với ∆’

Khi đó IJ chính là đoạn vuông góc chung và d (∆, ∆’) = IJ.

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: Lý thuyết, cách xác định và các dạng bài tập (ảnh 1)

- Trường hợp 2: ∆ và ∆’ chéo nhau mà không vuông góc với nhau

Bước 1: Bạn chọn một mặt phẳng (α) chứa ∆’ và song song với ∆
Bước 2: Bạn dựng d là hình chiếu vuông góc của ∆ xuống (α) bằng cách lấy điểm M thuộc ∆ dựng đoạn MN vuông góc với (α) . Khi đó, d sẽ là đường thẳng đi qua N và song song với ∆
Bước 3: Bạn gọi H là giao điểm của đường thẳng d với ∆’, dựng HK // MN

Khi đó, HK chính là đoạn vuông góc chung và d (∆, ∆’) = HK = MN. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: Lý thuyết, cách xác định và các dạng bài tập (ảnh 1)

Hoặc bạn làm như sau:

Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) vuông góc với ∆ tại I
Bước 2: Bạn tìm hình chiếu d của ∆’ xuống mặt phẳng (α)
Bước 3: Trong mặt phẳng (α), dựng IJ vuông góc với d, từ J bạn dựng đường thẳng song song với ∆ và cắt ∆’ tại H, từ H dựng HM // IJ

Khi đó, HM chính là đoạn vuông góc chung và d (∆, ∆’) = HM = IJ. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: Lý thuyết, cách xác định và các dạng bài tập (ảnh 1)

Phương pháp 2: Chọn mặt phẳng (α) chứa đường thẳng ∆ và song song với ∆’. Khi đó, d (∆, ∆’) = d (∆’, (α)).

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: Lý thuyết, cách xác định và các dạng bài tập (ảnh 1)

Phương pháp 3: Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa 2 đường thẳng. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng đó chính là khoảng cách giữa 2 đường thẳng cần tìm.

Lưu ý: Phương pháp này thường sử dụng trong trường hợp khi kẻ đường thẳng song song với 1 trong 2 đường đề bài cho ban đầu gặp khó khăn.

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: Lý thuyết, cách xác định và các dạng bài tập (ảnh 1)

Phương pháp 4: Sử dụng phương pháp vec tơ

* MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD khi và chỉ khi:

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: Lý thuyết, cách xác định và các dạng bài tập (ảnh 1)

* Nếu trong mặt phẳng (α) có hai véc tơ không cùng phương thì:

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: Lý thuyết, cách xác định và các dạng bài tập (ảnh 1)

Xem thêm

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: Lý thuyết, cách xác định và các dạng bài tập

TOP 20 câu Trắc nghiệm Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách (Kết nối tri thức 2024) có đáp án - Toán 10

Câu 27:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao

$S O = \frac{a \sqrt{3}}{3} .$ Khoảng cách từ điểm O đến cạnh bên SA bằng

A. $a \sqrt{6}$

B. $\frac{a \sqrt{6}}{6}$

C. $a \sqrt{3}$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Vì hình chóp S.ABC đều có SO là đường cao

$\Rightarrow$ O là tâm của $Δ A B C$

Gọi I là trung điểm cạnh BC.

Tam giác ABC đều nên $A I = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow A O = \frac{2}{3} A I = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

Kẻ $O H ⊥ S A$ $\Rightarrow d (O, S A) = O H$

Xét tam giác SOA vuông tại O :

$\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{S O^{2}} + \frac{1}{O A^{2}}$

$= \frac{1}{{(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}} + \frac{1}{{(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{6}{a^{2}}$

$\Rightarrow O H = \frac{a \sqrt{6}}{6}$

Câu 28:

$A B C D . A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AD. Khoảng cách từ

$A_{1}$ đến mặt phẳng

$(C_{1} D_{1} M)$ bằng bao nhiêu?

A. $\frac{2 a}{\sqrt{5}}$

B. $\frac{2 a}{\sqrt{6}}$

C.

$\frac{1}{2} a$

D. a

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gọi N là trung điểm cạnh $D D_{1}$ và $H = A_{1} N \cap M D_{1}$

Khi đó ta chứng minh được $A_{1} N ⊥ M D_{1}$

suy ra $A_{1} N ⊥ (C_{1} D_{1} M)$

$\Rightarrow d (A_{1}, (C_{1} D_{1} M)) = A H$

$= \frac{A_{1} D_{1}^{2}}{A_{1} N} = \frac{A_{1} D_{1}^{2}}{\sqrt{A_{1} D_{1}^{2} + N D_{1}^{2}}}$

$\Rightarrow d (A_{1}, (C_{1} D_{1} M)) = \frac{2 a}{\sqrt{5}}$

Câu 29:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng cạnh bên bằng 3a. Khoảng cách từ S đến mặt phẳng

$(A B C)$ bằng:

A. 4a

B. 3a

C. a

D. 2a

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Do S.ABC là chóp đều nên $S G ⊥ (A B C)$ .

$A M = \frac{3 a \sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow A G = \frac{2}{3} A M = a \sqrt{3} .$

$Δ S A G$ vuông tại G

$S G = \sqrt{S A^{2} - A G^{2}}$

$= \sqrt{4 a^{2} - 3 a^{2}} = a .$

Câu 30: