30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 11 Bài 5: Khoảng cách

Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D, AD= 2a .Trên đường thẳng vuông góc với

(A B C D)

tại D lấy điểm S với

S D = a \sqrt{2} .

Tính khoảng cách giữa DC và

(S A B) .

A. $\frac{2 a}{\sqrt{3}}$

B. $\frac{a}{\sqrt{2}}$

C. $a \sqrt{2}$ .

D. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Trong tam giác DHA , dựng $D H ⊥ S A$ ;

Vì $D C / / A B$

$\Rightarrow d (D C; (S A B)) = d (D; (S A B))$

$= D H$

Xét tam giác vuông SDA có :

$\frac{1}{D H^{2}} = \frac{1}{S D^{2}} + \frac{1}{A D^{2}}$

$\Rightarrow D H = \frac{a \sqrt{12}}{3} = \frac{2 a}{\sqrt{3}}$

Câu 8:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Khi đó khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng

(S C D)

A. $\frac{a \sqrt{6}}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{6}}{4}$

C. $\frac{2 a \sqrt{6}}{9}$

D. $\frac{a \sqrt{6}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD

Khi đó $S O ⊥ (A B C D)$

Kẻ $O I ⊥ C D, O H ⊥ S I$

$\Rightarrow O H ⊥ (S C D)$

Ta tính được $A O = \frac{a \sqrt{2}}{2},$

$S O = \sqrt{S A^{2} - A O^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

$\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{S O^{2}} + \frac{1}{O I^{2}}$

$\Rightarrow O H = \frac{a \sqrt{6}}{6}$

$\Rightarrow d (A, (S C D)) = \frac{a \sqrt{6}}{3}$

Câu 9:

có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa đường thẳng BD và mặt phẳng

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

(C B^{'} D^{'})

A. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{2 a \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{a \sqrt{6}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ

$A (0; 0; 0); B (1; 0; 0); D (0; 1; 0);$

$A^{'} (0; 0; 1); C (1; 1; 0); B^{'} (1; 0; 1);$

$D^{'} (0; 1; 1); C^{'} (1; 1; 1)$

$\vec{C B^{'}} = (0; - 1; 1); \vec{C D^{'}} = (- 1; 0; 1)$

Viết phương trình mặt phẳng $(C B^{'} D^{'})$

Có VTPT $\vec{n} = [\vec{C B^{'}}; \vec{C D^{'}}] = (- 1; - 1; - 1)$

$(C B^{'} D^{'}) :$

$1 (x - 1) + 1 (y - 1) + 1 (z - 0) = 0$

$\Leftrightarrow x + y + z - 2 = 0$

$d (B D; (C B^{'} D^{'})) = d (B; (C B^{'} D^{'}))$

$= \frac{|1 + 0 + 0 - 2|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Vậy $d (B D; (C B^{'} D^{'})) = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

Câu 10:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I với

A B = 2 a \sqrt{3}; B C = 2 a

. Biết chân đường cao H hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD trùng với trung điểm đoạn DI và SB hợp với mặt phẳng đáy

(A B C D)

một góc

60^{\circ} .

Khoảng cách từ D đến

(S B C)

tính theo a bằng

A.

\frac{a \sqrt{15}}{5}

B. $\frac{2 a \sqrt{15}}{5}$

C. $\frac{4 a \sqrt{15}}{5}$

D. $\frac{3 a \sqrt{15}}{5}$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Đặc điểm của hình: Góc giữa SB tạo với mặt phẳng $(A B C D)$ là $\hat{S B M} = 60^{\circ} .$

$B M = \frac{3}{4} B D = 3 a$ ;

$S M = B M . \tan 60^{0} = 3 \sqrt{3} a$

Xác định khoảng cách:

$d (D, (S B C)) = \frac{4}{3} d (M, (S B C))$

$= \frac{4}{3} M H$

Tính khoảng cách MH:

$\frac{1}{M H^{2}} = \frac{1}{M K^{2}} + \frac{1}{M S^{2}} = \frac{1}{{(\frac{3}{4} .2 \sqrt{3} a)}^{2}} + \frac{1}{{(3 \sqrt{3} a)}^{2}} = \frac{5}{27 a^{2}}$

$M H = \sqrt{\frac{27}{5}} a$ .vậy

$d (D, (S B C)) = \frac{4}{3} d (M, (S B C)) = \frac{4}{3} M H = \frac{4 \sqrt{15}}{5} a$

Câu 11:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật,

A B = a, A C = 2 a, S A

vuông góc với mặt phẳng

(A B C D), S C

tạo với mặt phẳng

(S A B)

một góc

30^{\circ} .

Gọi M là một điểm trên cạnh AB sao cho

B M = 3 M A .

Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

(S C M)

là

A. $\frac{\sqrt{34} a}{51}$ .

B. $\frac{2 \sqrt{34} a}{51}$ .

C. $\frac{3 \sqrt{34} a}{51}$ .

D. $\frac{4 \sqrt{34} a}{51}$ .

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Đặc điểm của hình: SC tạo với mặt phẳng $(S A B)$ góc $\hat{C S B} = 30^{\circ} .$

$B C = \sqrt{3} a$ ; $S B = B C . \tan 30^{0} = a$ ; $M C = \sqrt{{(\frac{3 a}{4})}^{2} + 3 a^{2}} = \frac{\sqrt{57}}{4} a$ ;

$M A = \frac{a}{4}$ ; $A C = 2 a$ ; $A S = 2 \sqrt{2} a$ ; $A K = \frac{2 S_{A M C}}{M C} = \frac{\sqrt{19}}{19} a$

Xác định khoảng cách: $d (A, (S B C)) = A H$

Tính $\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A K^{2}} + \frac{1}{A S^{2}}$

$= \frac{1}{{(\frac{\sqrt{19}}{19} a)}^{2}} + \frac{1}{{(2 \sqrt{2} a)}^{2}} = \frac{153}{8 a^{2}}$

Vậy $d (A, (S B C)) = A H = \frac{2 \sqrt{34}}{51}$

Câu 12:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi

M, N và P

lần lượt là trung điểm của các cạnh

A B, A D và D C .

Gọi H là giao điểm của CN và DM, biết SH vuông góc

(A B C D), S H = a \sqrt{3}

. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng

(S B P)

tính theo a bằng

A. $\frac{a \sqrt{2}}{4}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{4}$

D. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Ta chứng minh: $N C ⊥ M D$

Thật vậy: $Δ A D M = Δ D C M$ vì

$\hat{A} = \hat{D} = 90^{0}; A D = D C;$ $A M = D N$

$\Rightarrow \hat{A D M} = \hat{D C N};$ mà $\hat{A D M} + \hat{M D C} = 90^{0}$

$\Rightarrow \hat{M D C} + \hat{D C N} = 90^{0}$

$\Rightarrow N C ⊥ M D$

Ta có: $B P ⊥ N C (M D / / B P); B P ⊥ S H$

$\Rightarrow B P ⊥ (S N C) \Rightarrow (S B P) ⊥ (S N C)$

Kẻ $H E ⊥ S F \Rightarrow H E ⊥ (S B P)$

$\Rightarrow d (H, (S B P)) = d (C, (S B P))$ $= H E$

Do $D C^{2} = H C . N C$

$\Rightarrow H C = \frac{D C^{2}}{N C} = \frac{2 a \sqrt{5}}{5} \Rightarrow H F = \frac{a \sqrt{5}}{5}$

Mà $H E = \frac{S H . H F}{S F} = \frac{S H . H F}{\sqrt{S H^{2} + H F^{2}}} = \frac{a \sqrt{3}}{4}$ .

Câu 13:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau,

A D = 2 a \sqrt{2}; B C = a \sqrt{2}

. Hai mặt phẳng

(S A C) và (S B D)

cùng vuông góc với mặt đáy

(A B C D) .

Góc giữa hai mặt phẳng

(S C D) và (A B C D)

Khoảng cách từ M là trung điểm đoạn AB đến mặt phẳng

60^{\circ} .

(S C D)

là

A. $\frac{a \sqrt{15}}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{15}}{20}$

C. $\frac{3 a \sqrt{15}}{20}$

D. $\frac{9 a \sqrt{15}}{20}$

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Do $(S A C) ⊥ (A B C D), (S B D) ⊥ (A B C D)$

$(S A C) \cap (S B D) = S O$

$\Rightarrow S O ⊥ (A B C D)$

Dựng góc giữa $(S C D), (A B C D)$ :

$(S C D) \cap (A B C D) = D C$ . Kẻ $O K ⊥ D C$

$\Rightarrow S K ⊥ D C$

$\Rightarrow (\hat{(S C D), (A B C D)}) = \hat{S K O}$

Kéo dài MO cắt DC tại E

Ta có:

$\hat{A_{1}} = \hat{D_{1}}; \hat{A_{1}} = \hat{M_{1}}; \hat{M_{1}} = \hat{M_{2}} = \hat{O_{1}}$

$\Rightarrow \hat{D_{1}} = \hat{O_{1}}; \hat{O_{1}} + \hat{E O D} = 90^{0}$

$\Rightarrow \hat{E} = 90^{0}$

$\Rightarrow E \equiv K$

Ta có: $O K = \frac{2 a . a}{a \sqrt{5}}; O M = \frac{A B}{2} = \frac{a \sqrt{5}}{2}$

$M K = \frac{9 a \sqrt{5}}{10}$ .

$\frac{d (O, (S C D))}{d (M, (S C D))} = \frac{O E}{M E} = \frac{9}{4}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow d (M, (S C D)) \end{array}$ $= \frac{9}{4} d (O, (S C D)) = \frac{9}{4} O H$

$O S = O K . \tan 60^{0} = \frac{2 a \sqrt{15}}{5}$

$\Rightarrow O H = \frac{O K . O S}{\sqrt{O K^{2} + O S^{2}}} = \frac{a \sqrt{15}}{5}$

$\Rightarrow d (M, (S C D)) = \frac{9 a \sqrt{15}}{20}$

Câu 14:

Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây?

A. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

B. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng (a) chứa đường này và (a) vuông góc với đường kia.

C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc (a) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.

D. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (a) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kì thuộc a tới mặt phẳng (a)

Xem đáp án

Đáp án: A

Câu 15:

20/07/2024

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào không sai?

A. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia

B. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó

C. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia

D. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó cắt cả hai đường thẳng đó.

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Đáp án A: Đúng

Đáp án B: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố cắt nhau.

Đáp án C: Sai, vì mặt phẳng đó chưa chắc đã tồn tại.

Đáp án D: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố vuông góc.

Câu 16:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào không đúng?

A. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường thẳng vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng (P) chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.

B. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kỳ thuộc a tới mp(P).

C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kỳ trên b.

D. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Xem đáp án

Đáp án: C

Câu 17:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng

(A B C D)

là điểm H thuộc cạnh AD sao cho

H A = 3 H D .

Gọi M là trung điểm của cạnh AB .Biết rằng

S A = 2 \sqrt{3} a

và đường thẳng SC tạo với mặt đáy một góc

30^{\circ} .

Khoảng cách từ M đến mặt phẳng

(S B C)

tính theo a bằng

A. $\frac{2 \sqrt{66} a}{11}$

B. $\frac{\sqrt{11} a}{66}$

C. $\frac{2 \sqrt{66} a}{11}$

D. $\frac{\sqrt{66} a}{11}$

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

SC có hình chiếu vuông góc lên mp $(A B C D)$ là HC

$\Rightarrow \hat{S C, (A B C D)} = \hat{S C H} = 30^{0}$

Đặt $A D = 4 x_{}^{} (x > 0)$

Ta có : $S A^{2} = A H . A D$

$\Rightarrow 12 a^{2} = 12 x^{2} \Rightarrow x = a$

$\Rightarrow A D = 4 a, A H = 3 a, H D = a$

Mà : $S H = \sqrt{S A^{2} - A H^{2}} = a \sqrt{3}$

$\Rightarrow H C = 3 a \Rightarrow D C = 2 \sqrt{2} a$

Kẻ $H E ⊥ B C, S H ⊥ B C$

$\Rightarrow (S H E) ⊥ (S B C)$

Kẻ $H K ⊥ S E \Rightarrow H K ⊥ (S B C)$

$\Rightarrow d (H, S B C) = H K$

$\Rightarrow d (M, (S B C)) = \frac{H K}{2}$

$H K = \frac{S H . E H}{\sqrt{S H^{2} + E H^{2}}} = \frac{2 a \sqrt{66}}{11}$

$\Rightarrow d (M, (S B C)) = \frac{a \sqrt{66}}{11}$

Câu 18:

cạnh a. Khoảng cách từ A đến

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

(B^{'} C D^{'})

A. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{2 a \sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{a \sqrt{6}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$A B' = A C = A D' = B' D'$

$= B' C = C D' = a \sqrt{2}$

Nên tứ diện $A B' C D'$ là tứ diện đều.

Gọi I là trung điểm $B' C$ , G là trọng tâm tam giác $B' C D'$ .

Khi đó ta có: $d (A; (B' C D')) = A G$

Vì tam giác $B' C D'$ đều nên

$D' I = a \sqrt{2} . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ .

Theo tính chất trọng tâm ta có:

$D' G = \frac{2}{3} D' I = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ .

Trong tam giác vuông $A G D'$ có:

$A G = \sqrt{D' A^{2} - D' G^{2}}$

$= \sqrt{{(a \sqrt{2})}^{2} - {(\frac{a \sqrt{6}}{3})}^{2}} = \frac{2 a \sqrt{3}}{3}$ .

Câu 19:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với

A B = a .

Mặt bên chứa BC của hình chóp vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc

45^{\circ} .

Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng đáy

(A B C)

.

A. $\frac{a}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{3 a}{2}$

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gọi H là hình chiếu của S lên $(A B C)$ , vì mặt bên $(S B C)$ vuông góc với $(A B C)$ nên $H \in B C .$

Dựng $H I ⊥ A B, H J ⊥ A C$ , theo đề bài ta có

$\hat{S I H} = \hat{S J H} = 45^{0}$

Do đó tam giác $S H I = S H J$ (cạnh góc vuông - góc nhọn)

Suy ra $H I = H J$ .

Lại có $\hat{B} = \hat{C} = 45^{0}$

$\Rightarrow Δ B I H = Δ C J H \Rightarrow H B = H C$

Vậy H trùng với trung điểm của BC.

Từ đó ta có HI là đường trung bình của tam giác ABC nên $H I = \frac{A C}{2} = \frac{a}{2}$ .

Tam giác SHI vuông tại H và có $\hat{S I H} = 45^{0}$

$\Rightarrow Δ S H I$ vuông cân.

Do đó: $S H = H I = \frac{a}{2}$ .

Câu 20:

19/07/2024

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng b, cạnh đáy bằng d, với $d < b \sqrt{3} .$ Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định bên dưới.

A. $d (S, (A B C)) = \sqrt{b^{2} - \frac{1}{2} d^{2}}$

B. $d (S, (A B C)) = \sqrt{b^{2} - d^{2}}$

C. $d (S, (A B C)) = \sqrt{b^{2} - \frac{1}{3} d^{2}}$

D. $d (S, (A B C)) = \sqrt{b^{2} + d^{2}}$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gọi I là trung điểm của BC, H là trọng tâm tam giác ABC.

Do S.ABC là hình chóp đều nên $S H ⊥ (A B C)$

$\Rightarrow d (S, (A B C)) = S H$

Ta có $A I = \sqrt{A B^{2} - B I^{2}}$

$= \sqrt{d^{2} - \frac{d^{2}}{4}} = \frac{d \sqrt{3}}{2}$

$A H = \frac{2}{3} A I = \frac{d \sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow S H = \sqrt{S A^{2} - A H^{2}} = \sqrt{b^{2} - \frac{d^{2}}{3}}$

Câu 21:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy

(A B C D) .

Gọi K, H theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và O lên SD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là AK

B. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là CD

C. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là OH

D. Các khẳng định trên đều sai

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Nếu $A K ⊥ A C, do A K ⊥ A B$

$\Rightarrow A K ⊥ (A B C)$

$\Rightarrow A K \equiv S A$ (vì $S A ⊥ (A B C)$

$\Rightarrow S A ⊥ S D \Rightarrow Δ S A D$ có 2 góc vuông (vô lý).

Theo tính chất của hình vuông $C D ⊥ A C$ .

Nếu $A C ⊥ O H, do A C ⊥ B D$

$\Rightarrow A C ⊥ (S B D) \Rightarrow A C ⊥ S O$

$\Rightarrow Δ S O A$ có 2 góc vuông (vô lý)

Như vậy $A C ⊥ A K, A C ⊥ C D, A C ⊥ O H$

Câu 22:

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa AB và CD.

A. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{2}}{3}$

C. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Khi đó $N A = N B = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ nên tam giác ANB cân, suy ra $N M ⊥ A B$ .

Chứng minh tương tự ta có $N M ⊥ D C$ , nên $d (A B; C D) = M N$ .

Ta có:

$S_{A B N}$ $= \sqrt{p (p - A B) (p - B N) (p - A N)}$ (p là nửa chu vi)

$= \sqrt{\frac{a + a \sqrt{3}}{2} . \frac{a + a \sqrt{3}}{2} . \frac{a}{2} . \frac{a}{2}} = \frac{\sqrt{2} a}{4}$

Mặt khác: $S_{A B N} = \frac{1}{2} A B . M N = \frac{1}{2} a . M N$

$\Rightarrow M N = \frac{\sqrt{2} a}{2}$

Cách khác. Tính

$M N = \sqrt{A N^{2} - A M^{2}}$

$= \sqrt{\frac{3 a^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Câu 23:

, đáy ABCD là hình chữ nhật với

Cho hình chóp S.ABCD có

S A ⊥ (A B C D)

A C = a \sqrt{5}

và

B C = a \sqrt{2}

. Tính khoảng cách giữa SD và BC.

A.

\frac{3 a}{4}

B. $\frac{2 a}{3}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

D. $a \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Ta có: BC // $(S A D)$

$\Rightarrow d (B C; S D) = d (B C; (S A D))$

$= d (B; (S A D))$

Mà $\{\begin{cases} A B ⊥ A D \\ A B ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow A B ⊥ (S A D)$

$\Rightarrow d (B; (S A D)) = A B$

Ta có: $A B = \sqrt{A C^{2} - B C^{2}}$

$= \sqrt{5 a^{2} - 2 a^{2}} = \sqrt{3} a$

Câu 24:

19/07/2024

có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

B B'

và AC bằng:

A.

\frac{a}{2}

B. $\frac{a}{3}$

C. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$d (B B^{'}; A C) = d (B B^{'}; (A C C' A^{'}))$

$= \frac{1}{2} D B = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Câu 25:

có cạnh bằng 1 (đvdt). Khoảng cách giữa

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

A A'

và

B D'

bằng:

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{2 \sqrt{2}}{5}$

D. $\frac{3 \sqrt{5}}{7}$

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Ta có: $d (A A^{'}; B D^{'}) = d (B B^{'}; (D B B^{'} D^{'}))$

$= \frac{1}{2} A C = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Câu 26:

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai cạnh đối AB và CD bằng

A.

\frac{a \sqrt{2}}{2}

B. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{a}{2}$

D. $\frac{a}{3}$

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Khi đó $N A = N B = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ nên tam giác ANB cân, suy ra $N M ⊥ A B$ .

Chứng minh tương tự ta có $N M ⊥ D C$ , nên $d (A B; C D) = M N$ .

Ta có:

$S_{A B N}$ $= \sqrt{p (p - A B) (p - B N) (p - A N)}$ (p là nửa chu vi)

$= \sqrt{\frac{a + a \sqrt{3}}{2} . \frac{a + a \sqrt{3}}{2} . \frac{a}{2} . \frac{a}{2}}$

$= \frac{\sqrt{2} a}{4}$

Mặt khác:

$S_{A B N} = \frac{1}{2} A B . M N = \frac{1}{2} a . M N$

$\Rightarrow M N = \frac{\sqrt{2} a}{2}$

Câu 27:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao

S O = \frac{a \sqrt{3}}{3} .

Khoảng cách từ điểm O đến cạnh bên SA bằng

A. $a \sqrt{6}$

B. $\frac{a \sqrt{6}}{6}$

C. $a \sqrt{3}$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Vì hình chóp S.ABC đều có SO là đường cao

$\Rightarrow$ O là tâm của $Δ A B C$

Gọi I là trung điểm cạnh BC.

Tam giác ABC đều nên $A I = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow A O = \frac{2}{3} A I = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

Kẻ $O H ⊥ S A$ $\Rightarrow d (O, S A) = O H$

Xét tam giác SOA vuông tại O :

$\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{S O^{2}} + \frac{1}{O A^{2}}$

$= \frac{1}{{(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}} + \frac{1}{{(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{6}{a^{2}}$

$\Rightarrow O H = \frac{a \sqrt{6}}{6}$

Câu 28:

cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AD. Khoảng cách từ

A B C D . A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

A_{1}

đến mặt phẳng

(C_{1} D_{1} M)

bằng bao nhiêu?

A. $\frac{2 a}{\sqrt{5}}$

B. $\frac{2 a}{\sqrt{6}}$

C.

\frac{1}{2} a

D. a

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gọi N là trung điểm cạnh $D D_{1}$ và $H = A_{1} N \cap M D_{1}$

Khi đó ta chứng minh được $A_{1} N ⊥ M D_{1}$

suy ra $A_{1} N ⊥ (C_{1} D_{1} M)$

$\Rightarrow d (A_{1}, (C_{1} D_{1} M)) = A H$

$= \frac{A_{1} D_{1}^{2}}{A_{1} N} = \frac{A_{1} D_{1}^{2}}{\sqrt{A_{1} D_{1}^{2} + N D_{1}^{2}}}$

$\Rightarrow d (A_{1}, (C_{1} D_{1} M)) = \frac{2 a}{\sqrt{5}}$

Câu 29:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng cạnh bên bằng 3a. Khoảng cách từ S đến mặt phẳng

(A B C)

bằng:

A. 4a

B. 3a

C. a

D. 2a

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Do S.ABC là chóp đều nên $S G ⊥ (A B C)$ .

$A M = \frac{3 a \sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow A G = \frac{2}{3} A M = a \sqrt{3} .$

$Δ S A G$ vuông tại G

$S G = \sqrt{S A^{2} - A G^{2}}$

$= \sqrt{4 a^{2} - 3 a^{2}} = a .$

Câu 30: