Cho hình chóp cụt đều $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ với đáy lớn ABC có cạnh bằng a. Đáy nhỏ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có cạnh bằng $\frac{a}{2}$, chiều cao $O{O}^{\text{'}}=\frac{a}{2}$. Khẳng định nào sau đây sai?

Đáp án đúng là : B

Lời giải:

+ Đáp án A đúng.
+ Gọi I là trung điểm của BC.

Từ giả thiết dễ dàng chỉ ra được $\frac{A{A}^{\text{'}}}{SA}=\frac{O{O}^{\text{'}}}{SO}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow SO=2O{O}^{\text{'}}=a$. Mặt khác $\Delta ABC$ là tam giác đều cạnh a, có AI là đường trung tuyến

  $\Rightarrow AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow AO=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta SOA$ vuông tại O ta có:

$S{A}^2=S{O}^2+A{O}^2$

$=a^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2=\frac{12a^2}{9}$

$\Rightarrow SA=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow A{A}^{\text{'}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

 Vì $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ là hình chóp cụt đều nên  

$A{A}^{\text{'}}=B{B}^{\text{'}}=C{C}^{\text{'}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow$ đáp án B sai.

+ Ta có: $\left(SBC\right)\cap \left(ABC\right)=BC$.

Vì $\Delta SBC$ cân tại S và I là trung điểm của BC nên suy ra $SI\perp BC$.

Mặt khác $\Delta ABC$ là tam giác đều có I là trung điểm của BC 

$\Rightarrow AI\perp BC$

$\Rightarrow \left(\left(SBC\right),\left(ABC\right)\right)=\left(SI,AI\right)$

$=\left(SI,OI\right)=\widehat{SIO}$

$\Rightarrow$  đáp án C đúng.

+ Ta có:

$\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}}=\frac{\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A}{\frac{1}{2}.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}.A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}.\sin A^{\text{'}}}$

$=\frac{AB.AC}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}.A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{2A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}.2A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}.A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=4$

$\Rightarrow$ đáp án D đúng.

*Phương pháp giải:

Sử dụng định lí pytago tinh phần b

*Lý thuyết:

1. Định lí Pythagore

Trong một tam giác vuông, bình phương độ dài của cạnh huyền bằng tổng các bình phương độ dài của hai cạnh góc vuông.

$\mathrm{\Delta }ABC,\hat{A}={90}^o\Rightarrow B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$

2. Định lí Pythagore đảo

Nếu một tam giác có bình phương độ dài của một cạnh bằng tổng các bình phương độ dài của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

$\mathrm{\Delta }ABC,B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2\Rightarrow \hat{A}={90}^o$

Xem thêm

Lý thuyết Định lí Pythagore – Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo 

Trắc nghiệm Định lý Py - ta - go có đáp án - Toán lớp 7