Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng $\left(ABC\right)$ và $\left(ABD\right)$ cùng vuông góc với $\left(DBC\right)$. Gọi BE và DF là hai đường cao của tam giác BCD, DK là đường cao của tam giác ACD. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

Đáp án đúng là : B

Lời giải:

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\left(ABC\right)\perp \left(BCD\right)\\ \left(ABD\right)\perp \left(BCD\right)\\ \left(ABC\right)\cap \left(ABD\right)=AB\end{array}\right.$

$\Rightarrow AB\perp \left(BCD\right)$

Mặt khác: $\left\{\begin{array}{l}CD\perp BE\\ CD\perp AB\end{array}\right.$

$\Rightarrow CD\perp \left(ABE\right)$ nên câu A đúng.

$\left\{\begin{array}{l}\left(ABC\right)\perp \left(BCD\right)\\ \left(ABC\right)\cap \left(BCD\right)=BC\\ DF\perp BC\end{array}\right.$

$\Rightarrow DF\perp \left(ABC\right)$  nên câu C đúng.

Theo trên ta có $DF\perp \left(ABC\right)$ nên $DF\perp AC$.

Vậy ta có $\left\{\begin{array}{l}AC\perp DF\\ AC\perp DK\end{array}\right.$

$\Rightarrow AC\perp \left(DKF\right)$

$\Rightarrow \left(ACD\right)\perp \left(DKF\right)$.

*Phương pháp giải:

 Sử dụng cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

- Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a ⊥ (Q).

*Lý thuyết:

1. Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$ là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$, kí hiệu $\left(\left(\alpha \right),\left(\beta \right)\right)$.

Ta có: $\left(\left(\alpha \right),\left(\beta \right)\right)=\left(m,n\right)$ với $m\mathrm{\perp }\left(\alpha \right),n\mathrm{\perp }\left(\beta \right)$.

2. Hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là một góc vuông.

Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc được kí hiệu là $\left(P\right)\mathrm{\perp }\left(Q\right)$.

3. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Định lí 1:

Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

4. Tính chất cơ bản về hai mặt phẳng vuông góc

Định lí 2:

Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

Định lí 3:

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

Xem thêm

Cách chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc 

Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc – Toán 11 Chân trời sáng tạo