Giải Toán 11 trang 49 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Với giải bài tập Toán 11 trang 49 Tập 2 trong Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 49 Tập 2.

1 598 28/11/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 trang 49 Tập 2

Bài 2 trang 49 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

Lời giải:

a) y' = (sin3x)' = cos3x×(3x)' = 3cos3x.

b) y' = (cos³2x)' = 3cos²2x(cos2x)' = −6cos²2xsin2x.

c) y' = (tan²x)' = 2tanx×(tanx)'

= $2 \tan x (\frac{1}{\cos^{2} x})$ = 2tanx(1 + tan²x).

d) y' = [cot(4 – x²)]' = $- \frac{{(4 - x^{2})}^{'}}{\sin^{2} (4 - x^{2})}$ $= \frac{2 x}{\sin^{2} (4 - x^{2})}$ .

Bài 3 trang 49 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (x² – x)×2^x;

b) y = x²log₃x;

c) y = e^{3x + 1}.

Lời giải:

a) y' = [(x² – x)×2^x]' = (x² – x)'×2^x + (x² – x)×(2^x)'

= (2x – 1)×2^x + (x² – x)×2^x×ln2

= 2^x(x²ln2 + 2x – 1 – xln2).

b) y' = (x²log₃x)' = (x²)'log₃x + x²(log₃x)'

= 2xlog₃x + $\frac{x^{2}}{x \ln 3}$ = $2 x \log_{3} x + \frac{x}{\ln 3}$ .

c) y' = (e^{3x + 1})' = e^{3x + 1}×(3x + 1)' = 3e^{3x + 1}.

Bài 4 trang 49 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = 2x⁴ – 5x² + 3;

b) y = xe^x.

Lời giải:

a) y' = (2x⁴ – 5x² + 3)' = 8x³ – 10x.

y" = (8x³ – 10x)' = 24x² – 10.

Vậy y" = 24x² – 10.

b) y' = (xe^x)' = x'e^x + x×(e^x)' = e^x + xe^x.

y" = (e^x + xe^x)' = e^x + e^x + xe^x = 2e^x + xe^x.

Vậy y" = 2e^x + xe^x.

Bài 5 trang 49 Toán 11 Tập 2: Cân nặng trung bình của một bé gái trong độ tuổi từ 0 đến 36 tháng có thể được tính gần đúng bởi hàm số w(t) = 0,000758t³ – 0,0596t² + 1,82t + 8,15, trong đó t được tính bằng tháng và w được tính bằng pound (nguồn: https://www.cdc.gov/growthcharts/data/who/GrChrt_Boys). Tính tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái đó tại thời điểm 10 tháng tuổi.

Lời giải:

Tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái đó tại thời điểm t là:

w'(t) = (0,000758t³ – 0,0596t² + 1,82t + 8,15)' = 0,002274t² – 0,1192t + 1,82.

Tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái đó tại thời điểm 10 tháng tuổi là:

w'(10) = 0,002274×(10)² – 0,1192×10 + 1,82. = 0,8554 (pound/tháng).

Vậy tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái đó tại thời điểm 10 tháng tuổi là 0,8554 pound/tháng.

Bài 6 trang 49 Toán 11 Tập 2: Một công ty xác định rằng tổng chi phí của họ, tính theo nghìn đô-la, để sản xuất x mặt hàng là $C (x) = \sqrt{5 x^{2} + 60}$ và công ty lên kế hoạch nâng sản lượng trong t tháng kể từ nay theo hàm số x(t) = 20t + 40. Chi phí sẽ tăng nhanh thế nào sau 4 tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó?

Lời giải:

Ta có $C^{'} (x) = {(\sqrt{5 x^{2} + 60})}^{'}$ $= \frac{{(5 x^{2} + 60)}^{'}}{2 \sqrt{5 x^{2} + 60}}$ $= \frac{10 x}{2 \sqrt{5 x^{2} + 60}}$ $= \frac{5 x}{\sqrt{5 x^{2} + 60}}$ .