Giải Toán 11 trang 44 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Với giải bài tập Toán 11 trang 44 Tập 2 trong Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 44 Tập 2.

1 615 29/11/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 trang 44 Tập 2

Hoạt động khám phá 3 trang 44 Toán 11 Tập 2: Cho biết $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ . Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = sinx.

Lời giải:

Có $y^{'} (x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$ $= \lim_{x \to x_{0}} \frac{\sin x - \sin x_{0}}{x - x_{0}}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{2 c o s (\frac{x + x_{0}}{2}) \sin (\frac{x - x_{0}}{2})}{x - x_{0}}$

$= \lim_{x \to x_{0}} (2 c o s (\frac{x + x_{0}}{2})) \cdot \lim_{x \to x_{0}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (\frac{x - x_{0}}{2})}{\frac{x - x_{0}}{2}})$

$= (2 c o s (\frac{2 x_{0}}{2})) \cdot \frac{1}{2} = \cos x_{0}$ (do $\lim_{x \to x_{0}} \frac{\sin (\frac{x - x_{0}}{2})}{\frac{x - x_{0}}{2}} = 1$ ).

Vậy y' = (sinx)' = cosx.

Thực hành 4 trang 44 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số y = tanx tại $x = \frac{3 π}{4}$ .

Lời giải:

Ta có y' = (tanx)' = $\frac{1}{c o s^{2} x}$ .

Vậy $y^{'} (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{c o s^{2} (\frac{3 π}{4})} = 2$ .

Hoạt động khám phá 4 trang 44 Toán 11 Tập 2: Cho biết $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1$ và $\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = 1$ . Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số:

Lời giải:

a) Có $y^{'} (x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$ $= \lim_{x \to x_{0}} \frac{e^{x} - e^{x_{0}}}{x - x_{0}}$

$= \lim_{x \to x_{0}} \frac{e^{x_{0}} (e^{x - x_{0}} - 1)}{x - x_{0}} = e^{x_{0}}$ (do $\lim_{x \to x_{0}} \frac{e^{x - x_{0}} - 1}{x - x_{0}} = 1$ ).

Vì y'(x₀) = $e^{x_{0}}$ nên y' = (e^x)' = e^x.

b) Ta có $y^{'} (x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$ $= \lim_{x \to x_{0}} \frac{\ln x - \ln x_{0}}{x - x_{0}}$

$= \lim_{x \to x_{0}} (\frac{1}{x_{0}} \cdot \frac{\ln \frac{x}{x_{0}}}{\frac{x}{x_{0}} - 1})$ $= \lim_{x \to x_{0}} \frac{1}{x_{0}} \cdot \lim_{x \to x_{0}} \frac{\ln (1 + (\frac{x}{x_{0}} - 1))}{\frac{x}{x_{0}} - 1} = \frac{1}{x_{0}}$

(do $\lim_{x \to x_{0}} \frac{\ln (1 + (\frac{x}{x_{0}} - 1))}{\frac{x}{x_{0}} - 1} = 1$ .

Do y'(x₀) = $\frac{1}{x_{0}}$ nên y' = (lnx)' = $\frac{1}{x}$ .

Thực hành 5 trang 44 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số:

a) y = 9^x tại x = 1;

b) y = lnx tại $x = \frac{1}{3}$ .

Lời giải:

a) Ta có y' = (9^x)' = 9^x×ln9.

Khi đó y'(1) = 9¹×ln9 = 9ln9.

b) Ta có y' = (lnx)' = $\frac{1}{x}$ .

Khi đó $y^{'} (\frac{1}{3}) = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3$ .

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Giải Toán 11 trang 42 Tập 2

Giải Toán 11 trang 43 Tập 2

Giải Toán 11 trang 44 Tập 2

Giải Toán 11 trang 45 Tập 2

Giải Toán 11 trang 46 Tập 2

Giải Toán 11 trang 47 Tập 2

Giải Toán 11 trang 48 Tập 2

Giải Toán 11 trang 49 Tập 2

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Hoạt động khởi động trang 42 Toán 11 Tập 2: Giả sử hàm số f(x) và g(x) lần lượt có đạo hàm tại x₀ là f'(x₀) và g'(x₀)...

Hoạt động khám phá 1 trang 42 Toán 11 Tập 2: a) Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = x tại điểm x = x₀...

Thực hành 1 trang 43 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số y = x¹⁰ tại x = −1 và $x = \sqrt[3]{2}$ ...

Hoạt động khám phá 2 trang 43 Toán 11 Tập 2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{x}$ tại điểm x = x₀ với x₀ > 0...

Thực hành 2 trang 43 Toán 11 Tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \sqrt{x}$ tại điểm có hoành độ bằng 4...

Thực hành 3 trang 43 Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm của các hàm số: a) $y = \sqrt[4]{x}$ tại x = 1; b) $y = \frac{1}{x}$ tại $x = - \frac{1}{4}$ ...

Hoạt động khám phá 3 trang 44 Toán 11 Tập 2: Cho biết $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ . Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = sinx...

Thực hành 4 trang 44 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số y = tanx tại $x = \frac{3 π}{4}$ ...

Hoạt động khám phá 4 trang 44 Toán 11 Tập 2: Cho biết $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1$ và $\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = 1$ . Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số...

Thực hành 5 trang 44 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số: a) y = 9^x tại x = 1; b) y = lnx tại $x = \frac{1}{3}$ ...

Hoạt động khám phá 5 trang 45 Toán 11 Tập 2: Cho f(x) và g(x) là hai hàm số có đạo hàm tại x₀. Xét hàm số h(x) = f(x) + g(x)...

Thực hành 6 trang 46 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số: a) y = xlog₂x; b) y = x³e^x...

Hoạt động khám phá 6 trang 46 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số u = sinx và hàm số y = u².

a) Tính y theo x...

Thực hành 7 trang 47 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = (2x³ + 3)²; b) y = cos3x; c) y = log₂(x² + 2)...

Hoạt động khám phá 7 trang 47 Toán 11 Tập 2: Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s(t) = 2t³ + 4t + 1, trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây...

Thực hành 8 trang 48 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: a) y = x² – x; b) y = cosx...

Vận dụng trang 48 Toán 11 Tập 2: Một hòn sỏi rơi tự do có quãng đường rơi tính theo thời gian t là s(t) = 4,9t² , trong đó s tính bằng mét và t tính bằng giây...

Bài 1 trang 48 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) $y = 2 x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + 4 x - \frac{1}{3}$ ;...

Bài 2 trang 49 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = sin3x; b) y = cos³2x;...

Bài 3 trang 49 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = (x² – x)×2^x; b) y = x²log₃x; c) y = e^{3x + 1}...

Bài 4 trang 49 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: a) y = 2x⁴ – 5x² + 3; b) y = xe^x...

Bài 5 trang 49 Toán 11 Tập 2: Cân nặng trung bình của một bé gái trong độ tuổi từ 0 đến 36 tháng có thể được tính gần đúng bởi hàm số w(t) = 0,000758t³ – 0,0596t² + 1,82t + 8,15...

Bài 6 trang 49 Toán 11 Tập 2: Một công ty xác định rằng tổng chi phí của họ, tính theo nghìn đô-la, để sản xuất x mặt hàng là $C (x) = \sqrt{5 x^{2} + 60}$ ...

Bài 7 trang 49 Toán 11 Tập 2: Trên Mặt Trăng, quãng đường rơi tự do của một vật được cho bởi công thức s(t) = 0,81t², trong đó t là thời gian được tính bằng giây và s tính bằng mét...

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Bài tập cuối chương 6 trang 34

Bài 1: Đạo hàm

Bài tập cuối chương 7 trang 51

1 615 29/11/2023

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác: