Giải Toán 11 trang 44 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 trang 44 Tập 2

Hoạt động khám phá 3 trang 44 Toán 11 Tập 2: Cho biết $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = sinx.

Lời giải:

Có $y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sin x-\sin x_0}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{2cos\left(\frac{x+x_0}{2}\right)\sin \left(\frac{x-x_0}{2}\right)}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(2cos\left(\frac{x+x_0}{2}\right)\right)\cdot \underset{x\to x_0}{\lim }\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin \left(\frac{x-x_0}{2}\right)}{\frac{x-x_0}{2}}\right)$

$=\left(2cos\left(\frac{2x_0}{2}\right)\right)\cdot \frac{1}{2}=\cos x_0$ (do $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sin \left(\frac{x-x_0}{2}\right)}{\frac{x-x_0}{2}}=1$).

Vậy y' = (sinx)' = cosx.

Thực hành 4 trang 44 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số y = tanx tại $x=\frac{3\pi }{4}$.

Lời giải:

Ta có y' = (tanx)' = $\frac{1}{co{s}^{2}x}$.

Vậy $y^{\text{'}}\left(\frac{3\pi }{4}\right)=\frac{1}{co{s}^2\left(\frac{3\pi }{4}\right)}=2$.

Hoạt động khám phá 4 trang 44 Toán 11 Tập 2: Cho biết $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$ và $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+x\right)}{x}=1$. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số:

a) y = e^x;

b) y = lnx.

Lời giải:

a) Có $y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{e^x-e^{x_0}}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{e^{x_0}\left(e^{x-x_0}-1\right)}{x-x_0}=e^{x_0}$ (do $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{e^{x-x_0}-1}{x-x_0}=1$).

Vì y'(x₀) = $e^{x_0}$ nên y' = (e^x)' = e^x.

b) Ta có $y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\ln x-\ln x_0}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(\frac{1}{x_0}\cdot \frac{\ln \frac{x}{x_0}}{\frac{x}{x_0}-1}\right)$$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{x_0}\cdot \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\ln \left(1+\left(\frac{x}{x_0}-1\right)\right)}{\frac{x}{x_0}-1}=\frac{1}{x_0}$

(do $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\ln \left(1+\left(\frac{x}{x_0}-1\right)\right)}{\frac{x}{x_0}-1}=1$.

Do y'(x₀) = $\frac{1}{x_0}$nên y' = (lnx)' = $\frac{1}{x}$.

Thực hành 5 trang 44 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số:

a) y = 9^x tại x = 1;

b) y = lnx tại $x=\frac{1}{3}$.

Lời giải:

a) Ta có y' = (9^x)' = 9^x×ln9.

Khi đó y'(1) = 9¹×ln9 = 9ln9.

b) Ta có y' = (lnx)' = $\frac{1}{x}$.

Khi đó $y^{\text{'}}\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3$.

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Giải Toán 11 trang 42 Tập 2

Giải Toán 11 trang 43 Tập 2

Giải Toán 11 trang 44 Tập 2

Giải Toán 11 trang 45 Tập 2

Giải Toán 11 trang 46 Tập 2

Giải Toán 11 trang 47 Tập 2

Giải Toán 11 trang 48 Tập 2

Giải Toán 11 trang 49 Tập 2