Giải Toán 11 trang 21 Tập 1 Kết nối tri thức

Với giải bài tập Toán 11 trang 21 Tập 1 trong Bài 2: Công thức lượng giác sách Kết nối tri thức Tập 1 hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 21 Tập 1.

1 412 22/03/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 trang 21 Tập 1

Bài 1.7 trang 21 Toán 11 Tập 1: Sử dụng 15° = 45° – 30°, hãy tính các giá trị lượng giác của góc 15°.

Lời giải:

Ta có:

+) sin 15° = sin(45° – 30°) = sin 45° cos 30° – cos 45° sin 30°

= $\frac{\sqrt{2}}{2} . \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} . \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

+) cos 15° = cos(45° – 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°

= $\frac{\sqrt{2}}{2} . \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} . \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

+) tan 15° = tan(45° – 30°) = $\frac{\tan 45 ° - \tan 30 °}{1 + \tan 45 ° . \tan 30 °}$ = $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1. \frac{\sqrt{3}}{3}} = 2 - \sqrt{3}$ .

+) cot 15° = $\frac{1}{\tan 15 °} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}$ .

Bài 1.8 trang 21 Toán 11 Tập 1: Tính:

a) $\cos (a + \frac{π}{6})$ , biết $\sin a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ và $\frac{π}{2} < a < π$ ;

b) $\tan (a - \frac{π}{4})$ , biết $\cos a = - \frac{1}{3}$ và $π < a < \frac{3 π}{2}$ .

Lời giải:

a) Vì $\frac{π}{2} < a < π$ nên cos a < 0.

Mặt khác, từ sin² a + cos²a = 1 suy ra

cos a = $- \sqrt{1 - \sin^{2} a} = - \sqrt{1 - {(\frac{1}{\sqrt{3}})}^{2}} = - \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Ta có: $\cos (a + \frac{π}{6})$ $= \cos a \cos \frac{π}{6} - \sin a \sin \frac{π}{6}$

$= (- \frac{\sqrt{6}}{3}) . \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{\sqrt{3}} . \frac{1}{2} = \frac{- \sqrt{6} - 1}{2 \sqrt{3}} = - \frac{\sqrt{3} + 3 \sqrt{2}}{6}$ .

b) Vì $π < a < \frac{3 π}{2}$ nên sin a < 0, do đó $\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} > 0$ .

Mặt khác từ $1 + \tan^{2} a = \frac{1}{\cos^{2} a}$

Suy ra $\tan a = \sqrt{\frac{1}{\cos^{2} a} - 1} = \sqrt{\frac{1}{{(- \frac{1}{3})}^{2}} - 1} = 2 \sqrt{2}$ .

Ta có: $\tan (a - \frac{π}{4})$ $= \frac{\tan a - \tan \frac{π}{4}}{1 + \tan a \tan \frac{π}{4}}$ $= \frac{2 \sqrt{2} - 1}{1 + 2 \sqrt{2} .1} = \frac{9 - 4 \sqrt{2}}{7}$ .

Bài 1.9 trang 21 Toán 11 Tập 1: Tính sin 2a, cos 2a, tan 2a, biết:

a) $\sin a = \frac{1}{3}$ và $\frac{π}{2} < a < π$ ;

b) sin a + cos a = $\frac{1}{2}$ và $\frac{π}{2} < a < \frac{3 π}{4}$ .

Lời giải:

a) Vì $\frac{π}{2} < a < π$ nên cos a < 0.

Mặt khác, từ sin² a + cos²a = 1 suy ra

cos a = $- \sqrt{1 - \sin^{2} a} = - \sqrt{1 - {(\frac{1}{3})}^{2}} = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ .

Ta có: sin 2a = 2sin a cos a = $2. \frac{1}{3} . (- \frac{2 \sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ .

$\cos 2 a = 1 - 2 \sin^{2} a = 1 - 2. {(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{7}{9}$ .

$\tan 2 a = \frac{\sin 2 a}{\cos 2 a} = \frac{- \frac{4 \sqrt{2}}{9}}{\frac{7}{9}} = - \frac{4 \sqrt{2}}{7}$ .

b) Ta có: (sin a + cos a)² = ${(\frac{1}{2})}^{2}$ $\Leftrightarrow \sin^{2} a + \cos^{2} a + 2 \sin a \cos a = \frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow 1 + \sin 2 a = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \sin 2 a = - \frac{3}{4}$ .

Vì $\frac{π}{2} < a < \frac{3 π}{4}$ nên $π < 2 a < \frac{3 π}{2}$ , do đó cos 2a < 0. Mặt khác từ sin²(2a) + cos² (2a) = 1

Suy ra $\cos 2 a = - \sqrt{1 - \sin^{2} (2 a)} = - \sqrt{1 - {(- \frac{3}{4})}^{2}} = - \frac{\sqrt{7}}{4}$ .

Do đó, $\tan 2 a = \frac{\sin 2 a}{\cos 2 a} = \frac{- \frac{3}{4}}{- \frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3 \sqrt{7}}{7}$ .

Bài 1.10 trang 21 Toán 11 Tập 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A = \frac{\sin \frac{π}{15} \cos \frac{π}{10} + \sin \frac{π}{10} \cos \frac{π}{15}}{\cos \frac{2 π}{15} \cos \frac{π}{5} - \sin \frac{2 π}{15} \sin \frac{π}{5}}$ ;

b) $B = \sin \frac{π}{32} \cos \frac{π}{32} \cos \frac{π}{16} \cos \frac{π}{8}$ .

Lời giải:

a) Ta có:

$A = \frac{\sin \frac{π}{15} \cos \frac{π}{10} + \sin \frac{π}{10} \cos \frac{π}{15}}{\cos \frac{2 π}{15} \cos \frac{π}{5} - \sin \frac{2 π}{15} \sin \frac{π}{5}}$ $= \frac{\sin \frac{π}{15} \cos \frac{π}{10} + \cos \frac{π}{15} \sin \frac{π}{10}}{\cos \frac{2 π}{15} \cos \frac{π}{5} - \sin \frac{2 π}{15} \sin \frac{π}{5}}$

$= \frac{\sin (\frac{π}{15} + \frac{π}{10})}{\cos (\frac{2 π}{15} + \frac{π}{5})}$ $= \frac{\sin \frac{π}{6}}{\cos \frac{π}{3}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$ .

b) Ta có:

$B = \sin \frac{π}{32} \cos \frac{π}{32} \cos \frac{π}{16} \cos \frac{π}{8}$ $= (\frac{1}{2} .2 \sin \frac{π}{32} \cos \frac{π}{32}) \cos \frac{π}{16} \cos \frac{π}{8}$

$= \frac{1}{2} \sin (2. \frac{π}{32}) \cos \frac{π}{16} \cos \frac{π}{8}$ $= \frac{1}{2} \sin \frac{π}{16} \cos \frac{π}{16} \cos \frac{π}{8}$

$= \frac{1}{4} .2 \sin \frac{π}{16} \cos \frac{π}{16} \cos \frac{π}{8}$ $= \frac{1}{4} \sin \frac{π}{8} \cos \frac{π}{8} = \frac{1}{8} .2 \sin \frac{π}{8} \cos \frac{π}{8}$

$= \frac{1}{8} \sin \frac{π}{4} = \frac{1}{8} . \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{16}$ .

Bài 1.11 trang 21 Toán 11 Tập 1: Chứng minh đẳng thức sau:

sin(a + b) sin(a – b) = sin² a – sin² b = cos² b – cos² a.

Lời giải:

Ta có: sin(a + b) sin(a – b) = $\frac{1}{2}$ [cos(a + b – a + b) – cos(a + b + a – b)]

= $\frac{1}{2}$ [cos 2b – cos 2a] = $\frac{1}{2}$ [(2cos² b – 1) – (2cos² a – 1)] = cos² b – cos² a.

Vậy sin(a + b) sin(a – b) = cos² b – cos² a (1).

Lại có, cos 2b – cos 2a = (1 – 2sin² b) – (1 – 2sin² a) = 2(sin² a – sin² b)

Do đó, $\frac{1}{2}$ [cos 2b – cos 2a] = $\frac{1}{2}$ . 2(sin² a – sin² b) = sin² a – sin² b.

Vậy sin(a + b) sin(a – b) = sin² a – sin² b (2).

Từ (1) và (2), suy ra sin(a + b) sin(a – b) = sin² a – sin² b = cos² b – cos² a (đpcm).

Bài 1.12 trang 21 Toán 11 Tập 1: Cho tam giác ABC có $\hat{B} = 75 °$ ; $\hat{C} = 45 °$ và a = BC = 12 cm.

a) Sử dụng công thức $S = \frac{1}{2} a b \sin C$ và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác ABC cho bởi công thức

$S = \frac{a^{2} \sin B \sin C}{2 \sin A}$ .

b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích S của tam giác ABC.

Lời giải:

a) Định lí sin trong tam giác ABC với BC = a, AC = b và AB = c là: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Từ đó suy ra $b = \frac{a \sin B}{\sin A}$ .

Diện tích tam giác ABC là $S = \frac{1}{2} a b \sin C$ $= \frac{1}{2} a . \frac{a \sin B}{\sin A} . \sin C = \frac{a^{2} \sin B \sin C}{2 \sin A}$ .

Vậy $S = \frac{a^{2} \sin B \sin C}{2 \sin A}$ (đpcm).

b) Ta có: $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$ (định lí tổng ba góc trong tam giác ABC).

$\Rightarrow \hat{A} = 180 ° - (\hat{B} + \hat{C}) = 180 ° - (75 ° + 45 °) = 60 °$ .

Ta có: $S = \frac{a^{2} \sin B \sin C}{2 \sin A} = \frac{12^{2} \sin 75 ° \sin 45 °}{2 \sin 60 °}$

$= \frac{144. \frac{1}{2} [\cos (75 ° - 45 °) - \cos (75 ° + 45 °)]}{2. \frac{\sqrt{3}}{2}}$

$= \frac{72 (\cos 30 ° - \cos 120 °)}{\sqrt{3}}$ $= \frac{72 (\frac{\sqrt{3}}{2} - (- \frac{1}{2}))}{\sqrt{3}} = 36 + 12 \sqrt{3}$ .

Vậy diện tích của tam giác ABC là $S = 36 + 12 \sqrt{3}$ (đvdt).

Bài 1.13 trang 21 Toán 11 Tập 1: Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức x(t) = Acos(ωt + φ), trong đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0) và φ ∈ [–π; π] là pha ban đầu của dao động.

Xét hai dao động điều hòa có phương trình:

$x_{1} (t) = 2 \cos (\frac{π}{3} t + \frac{π}{6})$ (cm),

$x_{2} (t) = 2 \cos (\frac{π}{3} t - \frac{π}{3})$ (cm).

Tìm dao động tổng hợp x(t) = x₁(t) + x₂(t) và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.

Lời giải:

Dao động tổng hợp x(t) = x₁(t) + x₂(t)

Suy ra x(t) = $2 \cos (\frac{π}{3} t + \frac{π}{6}) + 2 \cos (\frac{π}{3} t - \frac{π}{3})$ (cm).

Ta có: $2 \cos (\frac{π}{3} t + \frac{π}{6}) + 2 \cos (\frac{π}{3} t - \frac{π}{3})$

$= 2 [\cos (\frac{π}{3} t + \frac{π}{6}) + \cos (\frac{π}{3} t - \frac{π}{3})]$

$= 2.2 \cos \frac{(\frac{π}{3} t + \frac{π}{6}) + (\frac{π}{3} t - \frac{π}{3})}{2} \cos \frac{(\frac{π}{3} t + \frac{π}{6}) - (\frac{π}{3} t - \frac{π}{3})}{2}$

$= 4 \cos (\frac{π}{6} t - \frac{π}{12}) \cos \frac{π}{4}$ $= 4 \cos (\frac{π}{6} t - \frac{π}{12}) . \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{6} t - \frac{π}{12})$ .

Vậy dạo động tổng hợp có phương trình là $x (t) = 2 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{6} t - \frac{π}{12})$ với biên độ $A = 2 \sqrt{2}$ và pha ban đầu là $φ = - \frac{π}{12}$ .