Bài 1.8 trang 21 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Giải Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác  

Bài 1.8 trang 21 Toán 11 Tập 1: Tính:

a) $\cos \left(a+\frac{\pi }{6}\right)$, biết $\sin a=\frac{1}{\sqrt{3}}$ và $\frac{\pi }{2}<a<\pi$;

b) $\tan \left(a-\frac{\pi }{4}\right)$, biết $\cos a=-\frac{1}{3}$ và $\pi <a<\frac{3\pi }{2}$.

Lời giải:

a) Vì $\frac{\pi }{2}<a<\pi$ nên cos a < 0.

Mặt khác, từ sin² a + cos² a = 1 suy ra

cos a = $-\sqrt{1-{\sin }^{2}a}=-\sqrt{1-{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^2}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ta có: $\cos \left(a+\frac{\pi }{6}\right)$$=\cos a\cos \frac{\pi }{6}-\sin a\sin \frac{\pi }{6}$

$=\left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right).\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{1}{2}=\frac{-\sqrt{6}-1}{2\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{6}$.

b) Vì $\pi <a<\frac{3\pi }{2}$ nên sin a < 0, do đó $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}>0$.

Mặt khác từ $1+{\tan }^{2}a=\frac{1}{{\cos }^{2}a}$

Suy ra $\tan a=\sqrt{\frac{1}{{\cos }^{2}a}-1}=\sqrt{\frac{1}{{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2}-1}=2\sqrt{2}$.

Ta có: $\tan \left(a-\frac{\pi }{4}\right)$$=\frac{\tan a-\tan \frac{\pi }{4}}{1+\tan a\tan \frac{\pi }{4}}$$=\frac{2\sqrt{2}-1}{1+2\sqrt{2}.1}=\frac{9-4\sqrt{2}}{7}$.