Giải Toán 10 trang 41 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán 10 trang 41 Tập 1

HĐ 4 trang 41 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

a) Nêu mối liên hệ giữa diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác IBC, ICA, IAB.

b) Tính diện tích tam giác ABC theo r, a, b, c.

Lời giải:

a) Diện tích tam giác ABC bằng tổng diện tích tam giác IAB, IAC, IBC.

Do đó S_ABC = S_IBC + S_ICA + S_IAB.

b) Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của I trên AB, BC, AC.

Ta có:

Vậy diện tích tam giác ABC tính theo r, a, b, c là: $S_{ABC}=\frac{1}{2}r.(a+b+c)$.

HĐ 5 trang 41 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC với đường cao BD.

a) Biểu thị BD theo AB và sin A.

b) Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo b, c, sin A.

Lời giải:

a) Xét ∆ABD vuông tại D, ta có:

TH1: Góc A là góc nhọn.

 Ta có: $\sin A=\frac{BD}{AB}\Rightarrow BD=AB.\sin A$.

TH2: Góc A là góc tù.

$\sin A=\sin ({180}^o-A)=\frac{BD}{AB}$

$\Rightarrow$ BD = AB . sinA.

Vậy trong cả hai trường hợp ta đều có BD = AB . sinA.

b) TH1. Đường cao BD nằm trong tam giác ABC.

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}AC.AB.\sin A=\frac{1}{2}.b.c\sin A.$

TH2. Đường cao BD nằm ngoài tam giác ABC.

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}AC.AB.\sin A=\frac{1}{2}.b.c\sin A.$

Vậy diện tích S của tam giác ABC theo b, c, sin A là $S_{ABC}=\frac{1}{2}.b.c\sin A.$

Luyện tập 4 trang 41 Toán 10 Tập 1: Tính diện tích tam giác ABC có b = 2, $\widehat{B}={30}^0,\widehat{C}={45}^0$.

Lời giải:

Áp dụng định lí sin cho ΔABC, ta có: $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

$\Rightarrow c=\sin C.\frac{b}{\sin B}=\sin {45}^o.\frac{2}{\sin {30}^o}=2\sqrt{2}$.

Ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^o$

$\Rightarrow$ $\widehat{A}={180}^0-\widehat{B}-\widehat{C}={180}^o-{30}^o-{45}^o={105}^o$.

Diện tích tam giác ABC là:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}b.c.\sin A=\frac{1}{2}.2.2\sqrt{2}.\sin {105}^o$

$=2\sqrt{2}.\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=1+\sqrt{3}$ (đvdt)

Vậy diện tích tam giác ABC là $1+\sqrt{3}$ đvdt.

Thảo luận trang 41 Toán 10 Tập 1: Ta đã biết tính cos A theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Liệu sin A và diện tích S có tính được theo độ dài cạnh của tam giác ABC hay không?

Lời giải:

Từ định lí cosin trong tam giác ABC, ta suy ra:

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.

Mà cos²A + sin²A = 1

$\iff$ sin²A = 1 – cos²A

$\Rightarrow$ $\sin A=\pm \sqrt{1-{\cos }^{2}A}$

Do $0^o<\widehat{A}<{180}^o$ nên sin A > 0 hay $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}$

Ta có: $\sin A=\sqrt{1-{\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{{(b^2+c^2-a^2)}^2}{4b^2{c}^2}}$

$=\sqrt{\frac{4b^2{c}^2-{(b^2+c^2-a^2)}^2}{4b^2{c}^2}}=\frac{\sqrt{4b^2{c}^2-{(b^2+c^2-a^2)}^2}}{2bc}$

Khi đó diện tích tam giác ABC là:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}bc.\sin A=\frac{1}{2}bc.\frac{\sqrt{4b^2{c}^2-{(b^2+c^2-a^2)}^2}}{2bc}$

$=\frac{1}{4}\sqrt{4b^2{c}^2-{(b^2+c^2-a^2)}^2}$

$=\frac{1}{4}\sqrt{\left(2bc-b^2-c^2+a^2\right)\left(2bc+b^2+c^2-a^2\right)}$

$=\frac{1}{4}\sqrt{\left[a^2-{\left(b-c\right)}^2\right]\left[{\left(b+c\right)}^2-a^2\right]}$

$=\frac{1}{4}\sqrt{\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)}$.

Vậy sin A và diện tích S có tính được theo độ dài cạnh của tam giác ABC.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 38 Tập 1

Giải Toán 10 trang 39 Tập 1

Giải Toán 10 trang 40 Tập 1

Giải Toán 10 trang 42 Tập 1

Giải Toán 10 trang 43 Tập 1