Giải Toán 10 trang 39 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán 10 trang 39 Tập 1

Câu hỏi trang 39 Toán 10 Tập 1: Định lí Pythagore có phải là một trường hợp đặc biệt của định lí côsin hay không?

Lời giải:

Giả sử ta có tam giác ABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c.

Theo định lí côsin ta có: a² = b² + c² – 2bc cosA.

Mà $\widehat{A}=90°$ nên cosA = 0.

Do đó, a² = b² + c² – 2bc . 0 = b² + c².

Khi đó: a² = b² + c² hay bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương hai cạnh góc vuông. (nội dung của định lí Pythagore).

Vậy định lý Pythagore là một trường hợp đặc biệt của định lý côsin.

Khám phá trang 39 Toán 10 Tập 1: Từ định lý côsin, hãy viết các công thức tính cos A, cos B, cos C theo độ dài các cạnh a, b, c của tam giác ABC.

Lời giải:

Theo định lí côsin, ta có:

a² = b² + c² − 2bc . cos A (1)

b² = a² + c² −2ac . cos B (2)

c² = b² + a² −2ab . cos C (3)

Ta có (1) $\iff$ 2bc . cos A = b² + c² − a² $\Rightarrow$ $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.

Tương tự từ (2) và (3) suy ra $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$; $\cos C=\frac{b^2+a^2-c^2}{2ba}$.

Vậy $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$; $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$; $\cos C=\frac{b^2+a^2-c^2}{2ba}$.

Luyện tập 1 trang 39 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC, có AB = 5, AC = 8 và $\widehat{A}={45}^o$. Tính độ dài các cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác.

Lời giải:

Theo định lí côsin, ta có:

a² = b² + c² − 2bc . cos A

b² = a² + c² −2ac . cos B (*)

(trong đó: AB = c, BC = a, AC = b)

Khi đó, BC² = AB² + AC² – 2 . AB . AC . cos A

= 5² + 8² – 2 . 5 . 8 . cos 45^o

= $89-40\sqrt{2}$ 

$\Rightarrow$ BC ≈ 5,7 (cm).

Từ (*) suy ra $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$.

Mà a = BC = 5,7; b = AC = 8; c = AB = 5.

Suy ra $\cos B=\frac{5,7^2+5^2-8^2}{2.5,7.5}=-\frac{217}{1900}\approx -0,11$

$\Rightarrow \widehat{B}\approx {97}^o$.

Ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^o$

Suy ra $\widehat{C}={180}^o-\widehat{A}-\widehat{B}$

Do đó $\widehat{C}\approx {180}^o-{45}^o-{97}^o={38}^o$.

Vậy BC ≈ 5,7 cm; $\widehat{B}\approx {97}^o$; $\widehat{C}\approx {38}^o$.

Trải nghiệm trang 39 Toán 10 Tập 1: Vẽ một tam giác ABC, sau đó đo độ dài các cạnh, số đo góc A và kiểm tra tính đúng đắn của định lí côsin tại đỉnh A đối với tam giác đó.

Lời giải:

Tiến hành đo các cạnh của tam giác và góc A, ta được:

AB = 5 cm, AC = 8 cm, BC = 6,5 cm và $\widehat{A}={63}^o$.

Khi đó, ta có:

$\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{5^2+8^2-6,5^2}{2.8.6,5}\approx 0,45$.

cos A = cos 63^o ≈ 0,45.

Do đó $\text{cos\hspace{0.17em}}A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}$.

Vì vậy định lí côsin là đúng.

Vận dụng 1 trang 39 Toán 10 Tập 1: Dùng định lí côsin, tính khoảng cách được đề cập trong HĐ 1b.

Lời giải:

Tàu xuất phát từ cảng Vân Phong, đi theo thướng Đông với vận tốc 20km/h.

Sau khi đi 1 giờ, tàu chuyển sang hướng đông nam rồi giữ nguyên vận tốc.

Giả sử sau 1,5 giờ tàu ở vị trí điểm B.

Ta đã có: quãng đường OA = 20 (km) và quãng đường AB = 10 (km).

Mà $\widehat{OAB}=135°$ (do tàu đi theo hướng đông nam).

Áp dụng định lí côsin tại đỉnh A, ta được:

 OB² = OA² + AB² – 2 . OA . AB . $\cos \widehat{OAB}$ 

$\Rightarrow$ OB² =20² + 10² – 2 . 20 . 10 . cos135^o

$\Rightarrow$ OB² ≈ 782,84

$\Rightarrow$ OB ≈ 27,98.

Vậy khoảng cách từ tàu tới cảng Vân Phong xấp xỉ 27,98 km.

2. Định lý Sin

HĐ 3 trang 39 Toán 10 Tập 1: Trong mỗi hình dưới đây, hãy tính R theo a và sin A.

Lời giải:

Xét ΔBCM vuông tại C, ta có:

$\sin M=\frac{{\displaystyle BC}}{{\displaystyle BM}}=\frac{{\displaystyle a}}{{\displaystyle 2R}}\Rightarrow R=\frac{a}{2\sin M}$

Hình 3.10a):

Ta có $\widehat{M}=\widehat{A}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\stackrel{⏜}{BC}$)

sin A = sin M

$\Rightarrow R=\frac{a}{2\sin A}$.

Hình 3.10b):

Ta có: $\widehat{A}+\widehat{M}={180}^o$ (vì tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn (O; R)).

sin A = sin M

$\Rightarrow R=\frac{a}{2\sin A}.$

Vậy ở cả hai hình ta đều có $R=\frac{a}{2\sin A}.$

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 38 Tập 1

Giải Toán 10 trang 40 Tập 1

Giải Toán 10 trang 41 Tập 1

Giải Toán 10 trang 42 Tập 1

Giải Toán 10 trang 43 Tập 1