Giải Toán 10 trang 14 Tập 2 Cánh diều

Giải Toán 10 trang 14 Tập 2

Hoạt động 6 trang 14 Toán 10 Tập 2: Ta có thể tính số các hoán vị và số các chỉnh hợp bằng máy tính cầm tay như sau:

Nút giai thừa: $\boxed{x!}$; nút chỉnh hợp $\boxed{n\mathrm{Pr}}$.

 

Lời giải

Ta bấm máy tính theo hướng dẫn ở trên.

Luyện tập 2 trang 14 Toán 10 Tập 2: Trong vòng đấu loại trực tiếp của một giải bóng đá, nếu sau khi kết thúc 90 phút thi đấu và cả hai hiệp phụ của trận đấu mà kết quả vẫn hoà thì loạt đá luân lưu 11 m sẽ được thực hiện. Tính số cách chọn ra và xếp thứ tự 5 cầu thủ đá luân lưu từ đội bóng có 11 cầu thủ.

Lời giải

Việc chọn ra 5 cầu thủ đá luân lưu từ đội bóng có 11 cầu thủ chính là việc thực hiện chọn 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ và xếp thứ tự đá luân lưu cho 5 cầu thủ được chọn đó.

Mỗi cách chọn ra và xếp 5 cầu thủ như trên là một chỉnh hợp chập 5 của 11.

Vậy có $A_{11}^5$ = 11 . 10 . 9 . 8 . 7 = 55 440 cách chọn 5 cầu thủ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

B. Bài tập

Bài 1 trang 14 Toán 10 Tập 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ta lập được bao nhiêu số tự nhiên:

a) Gồm 8 chữ số đôi một khác nhau?

b) Gồm 6 chữ số đôi một khác nhau?

Lời giải

Có tất cả 8 chữ số trong các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

a) Mỗi cách lập một số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số đã cho là một hoán vị của 8 chữ số trên.

Vậy lập được P₈ = 8! = 40 320 số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau.

b) Mỗi cách lập một số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số đã cho là một chỉnh hợp chập 6 của 8 chữ số trên.  

Vậy lập được $A_8^6$ = 20 160 số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau.

Bài 2 trang 14 Toán 10 Tập 2: Trong chương trình ngoại khoá giáo dục truyền thống, 60 học sinh được trường tổ chức cho đi xem phim. Các ghế ở rạp được sắp thành các hàng. Mỗi hàng có 20 ghế.

a) Có bao nhiêu cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng đầu tiên?

b) Sau khi sắp xếp xong hàng đầu tiên, có bao nhiêu cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng thứ hai?

c) Sau khi sắp xếp xong hai hàng đầu, có bao nhiêu cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng thứ ba?

Lời giải

a) Việc sắp xếp 20 bạn ngồi vào hàng đầu tiên chính là việc thực hiện hai hành động liên tiếp là chọn ra 20 bạn học sinh trong 60 học sinh và xếp thứ tự 20 bạn đó vào hàng gồm 20 ghế.

Mỗi cách xếp như trên chính là một chỉnh hợp chập 20 của 60 học sinh.

Vậy có $A_{60}^{20}$ cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng đầu tiên.

b) Sau khi sắp xếp xong 20 bạn vào hàng đầu tiên thì còn lại 60 – 20 = 40 học sinh, tương tự như câu a, ta lại tiếp tục chọn ra 20 bạn trong 40 bạn này để xếp vào hàng ghế thứ hai.

Mỗi cách xếp như trên chính là một chỉnh hợp chập 20 của 40 học sinh.

Vậy có $A_{40}^{20}$ cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng thứ hai.

c) Sau khi sắp xếp xong hai hàng đầu, thì còn lại 60 – 20 – 20 = 20 học sinh. Ta xếp 20 học sinh này vào hàng ghế thứ ba gồm 20 ghế.

Mỗi cách xếp 20 bạn học sinh này vào hàng ghế thứ ba là một hoán vị của 20 học sinh.

Vậy có $P_{20}=A_{20}^{20}=20!$ cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng thứ ba.

Bài 3 trang 14 Toán 10 Tập 2: Bạn Việt chọn mật khẩu cho email của mình là một dãy gồm 8 kí tự đôi một khác nhau, trong đó có 3 kí tự đầu tiên là 3 chữ cái trong bảng gồm 26 chữ cái in thường và 5 kí tự tiếp theo là chữ số. Bạn Việt có bao nhiêu cách tạo ra mật khẩu?

Lời giải

Để tạo ra một mật khẩu, bạn Việt thực hiện hai hành động liên tiếp: chọm 3 kí tự đầu tiên là 3 chữ cái và chọn 5 kí tự tiếp theo là chữ số.

- Hành động 1: Chọn 3 kí tự đầu tiên chính là chọn 3 chữ cái trong 26 chữ cái và xếp thứ tự ba chữ cái đó. Mỗi cách xếp là một chỉnh hợp chập 3 của 26 phần tử. Do đó, có $A_{26}^3$ cách chọn 3 kí tự đầu tiên.

- Hành động 2: Chọn 5 kí tự tiếp theo chính là chọn 5 chữ số trong 10 chữ số (từ 0 đến 9) và xếp thứ tự 5 chữ số đó. Mỗi cách xếp là một chỉnh hợp chập 5 của 10 phần tử. Do đó, có $A_{10}^5$ cách chọn 5 kí tự tiếp theo.

Theo quy tắc nhân, vậy bạn Việt có $A_{26}^3.A_{10}^5$ = 471 744 000 (cách tạo ra mật khẩu email).

Bài 4 trang 14 Toán 10 Tập 2: Mỗi máy tính tham gia vào mạng phải có một địa chỉ duy nhất, gọi là địa chỉ IP, nhằm định danh máy tính đó trên Internet. Xét tập hợp A gồm các địa chỉ IP có dạng 192.168.abc.deg, trong đó a, d là các chữ số khác nhau được chọn ra từ các chữ số 1, 2, còn b, c, e, g là các chữ số đôi một khác nhau được chọn ra từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi tập hợp A có bao nhiêu phần tử?

Lời giải

Tập hợp A gồm các địa chỉ IP có dạng 192.168.abc.deg.

Số phần tử của tập hợp A chính là số cách tạo ra các địa chỉ IP có dạng 192.168.abc.deg với a, d là các chữ số khác nhau được chọn ra từ các chữ số 1, 2, còn b, c, e, g là các chữ số đôi một khác nhau được chọn ra từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Ta có:

- Chọn a và d từ các chữ số 1, 2, sao cho a, d khác nhau, mỗi cách chọn là một hoán vị của 2 phần tử, vậy có 2! = 2 cách chọn a và d.  

- Vì b, c, e, g là các chữ số đôi một khác nhau được chọn từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, mỗi cách chọn các chữ số b, c, e, g là một chỉnh hợp chập 4 của 6, do đó có $A_6^4=360$ cách chọn.

Theo quy tắc nhân, số phần tử của tập hợp A hay chính là số cách tạo được các địa chỉ IP thỏa mãn yêu cầu bài toán là 2 . 360 = 720.

Vậy tập hợp A có 720 phần tử.

Bài 5 trang 14 Toán 10 Tập 2: Một nhóm 22 bạn đi chụp ảnh kỷ yếu. Nhóm muốn trong bức ảnh có 7 bạn ngồi ở hàng đầu và 15 bạn đứng ở hàng sau. Có bao nhiêu cách xếp vị trí chụp ảnh như vậy?

Lời giải

Việc xếp vị trí chụp ảnh như trên là việc thực hiện hai hành động liên tiếp:

- Hành động 1: Chọn ra 7 bạn trong 22 bạn để ngồi ở hàng đầu và xếp thứ tự 7 bạn đó. Mỗi cách xếp là một chỉnh hợp chập 7 của 22 phần tử. Do đó, có $A_{22}^7$ cách.

- Hành động 2: Xếp thứ tự 15 bạn còn lại đứng ở hàng sau. Mỗi cách xếp 15 bạn là một hoán vị của 15 phần tử. Do đó, có P₁₅ = 15! cách.

Theo quy tắc nhân, vậy số cách xếp vị trí chụp ảnh kỷ yếu để 7 bạn ngồi ở hàng đầu và 15 bạn đứng ở hàng sau là: $A_{22}^7.15!$ (cách)

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 11 Tập 2

Giải Toán 10 trang 12 Tập 2

Giải Toán 10 trang 13 Tập 2

Giải Toán 10 trang 14 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Bài 3: Tổ hợp

Bài 4: Nhị thức Newton

Bài tập cuối chương 5

Bài 1: Số gần đúng. Sai số

Bài 2: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu không ghép nhóm