Hoạt động 5 trang 75 Toán lớp 10 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác

Hoạt động 5 trang 75 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và diện tích S (Hình 24).

a) Từ định lí côsin, chứng tỏ rằng:

$\sin A=\frac{2}{bc}\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$, ở đó $p=\frac{a+b+c}{2}$.

b) Bằng cách sử dụng công thức $S=\frac{1}{2}bc\sin A$, hãy chứng tỏ rằng:

$S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cos A (định lí cosin)

$\Rightarrow$ cos A = $\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}$

$\Rightarrow$ cos A = $\frac{c^2+b^2-a^2}{2.c.b}$

$\Rightarrow {\cos }^{2}A=\frac{{\left(b^2+c^2-a^2\right)}^2}{4b^2{c}^2}$

Do $\widehat{A}$ là góc của tam giác ABC nên $0°<\widehat{A}<180°$.

Do đó sin A > 0.

Lại có cos² A + sin² A = 1 nên sin² A = 1 - cos² A.

$\Rightarrow {\sin }^{2}A=1-\frac{{\left(b^2+c^2-a^2\right)}^2}{4b^2{c}^2}$

$\Rightarrow {\sin }^{2}A=\frac{4b^2{c}^2-{\left(b^2+c^2-a^2\right)}^2}{4b^2{c}^2}$

$\Rightarrow {\sin }^{2}A=\frac{\left(2bc+b^2+c^2-a^2\right)\left(2bc-b^2-c^2+a^2\right)}{4b^2{c}^2}$

$\Rightarrow {\sin }^{2}A=\frac{\left[{\left(b+c\right)}^2-a^2\right]\left[a^2-{\left(b-c\right)}^2\right]}{4b^2{c}^2}$

$\Rightarrow {\sin }^{2}A=\frac{\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)}{4b^2{c}^2}$

mà $p=\frac{a+b+c}{2}$

$\Rightarrow$ ${\sin }^{2}A=\frac{2p.2\left(p-a\right).2\left(p-c\right).2\left(p-b\right)}{4b^2{c}^2}$

$\Rightarrow {\sin }^{2}A=\frac{4p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{b^2{c}^2}$

Do sin A > 0 nên $\sin A=\sqrt{\frac{4p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{b^2{c}^2}}$.

Do đó $\sin A=\frac{2}{bc}\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$.

b) Ta có diện tích tam giác ABC: S = $\frac{1}{2}$bc.sin A.

Mà $\sin A=\frac{2}{bc}\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$ nên S = $\frac{1}{2}$bc. $\frac{2}{bc}\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$.

Do đó $S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Câu hỏi khởi động trang 72 Toán lớp 10 Tập 1: Từ xa xưa, con người đã cần đo đạc các khoảng cách mà không thể trực tiếp đo được...

Hoạt động 1 trang 72 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, $\widehat{A}=\alpha$....

Hoạt động 2 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a...

Hoạt động 3 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, $\widehat{B}=\alpha$, $\widehat{C}=\beta$...

Hoạt động 4 trang 73 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a...

Luyện tập 1 trang 74 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 12; $\widehat{B}=60°;\widehat{C}=45°$...

Luyện tập 2 trang 76 Toán lớp 10 Tập 1: Từ trên nóc của một tòa nhà cao 18,5 m, bạn Nam quan sát một cái cây cách tòa nhà 30 m...

Bài 1 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = 12, CA = 15, $\widehat{C}=120°$...

Bài 2 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, $\widehat{A}=120°$...

Bài 3 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 100, $\widehat{B}=100°$, $\widehat{C}=45°$...

Bài 4 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 12, AC = 15, BC = 20. Tính...

Bài 5 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Tính độ dài cạnh AB trong mỗi trường hợp sau...

Bài 6 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm A và B mà không thể đi trực tiếp từ A đến B...

Bài 7 trang 77 Toán lớp 10 Tập 1: Một người đi dọc bờ biển từ vị trí A đến vị trí B và quan sát một ngọn hải đăng...

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Bài 3: Khái niệm vectơ

Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập cuối chương 4