Cho ba điểm A(- 2; 2), B(7; 5), C(4; - 5) và đường thẳng ∆: 2x + y – 4 = 0

Giải SBT Toán 10 Cánh diều Bài 3: Phương trình đường thẳng

Bài 32 trang 74 SBT Toán 10 Tập 2: Cho ba điểm A(- 2; 2), B(7; 5), C(4; - 5) và đường thẳng ∆: 2x + y – 4 = 0.

a) Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆ và cách đều hai điểm A và B.

b*) Tìm tọa độ điểm N thuộc ∆ sao cho $\left|\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}\right|$  có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

a) Do M thuộc đường thẳng ∆ nên M(t; 4 – 2t).

Suy ra $\overrightarrow{AM}=\left(t+2;2-2t\right)$  và $\overrightarrow{BM}=\left(t-7;-1-2t\right)$ .

Do M cách đều 2 điểm A, B nên MA = MB.

Hay  $\left|\overrightarrow{AM}\right|=\left|\overrightarrow{BM}\right|$

$\iff \sqrt{{\left(t+2\right)}^2+{\left(2-2t\right)}^2}=\sqrt{{\left(t-7\right)}^2+{\left(-1-2t\right)}^2}$

⇔ 5t² – 4t + 8 = 5t² – 10t + 50

⇔ 6t = 42

⇔ t = 7

Vậy M(7; -10).

b) Do N thuộc đường thẳng ∆ nên N(m; 4 – 2m).

Suy ra $\overrightarrow{NA}=\left(-2-m;2m-2\right)$ , $\overrightarrow{NB}=\left(7-m;2m+1\right)$  và  $\overrightarrow{NC}=\left(4-m;2m-9\right)$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\left(9-3m;6m-10\right) \\ \Rightarrow \left|\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}\right|=\sqrt{{\left(9-3m\right)}^2+{\left(6m-10\right)}^2} \end{gathered}$$

Gọi  $A={\left(9-3m\right)}^2+{\left(6m-10\right)}^2$

$A=45m^2-174m+181=45{\left(m-\frac{29}{15}\right)}^2+\frac{64}{5}\ge \frac{64}{5}$

Suy ra GTNN của $\left|\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}\right|$ là $\frac{8}{\sqrt{5}}$  đạt được khi  $m=\frac{29}{15}$

Hay  $N\left(\frac{29}{15};\frac{2}{15}\right)$.

Xem thêm các bài giải sách giáo khoa Toán 10 bộ sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 24 trang 73 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng ∆: 2x – 3y + 5 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ∆... 

Bài 25 trang 73 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng ∆: $\left\{\begin{array}{c}x=3-t\\ y=4+2t\end{array}\right.$. Vectơ nào dưới đây là... 

Bài 26 trang 73 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng ∆: $\left\{\begin{array}{c}x=2-5t\\ y=-1+3t\end{array}\right.$ . Trong các điểm có tọa... 

Bài 27 trang 73 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng ∆: x – 3y + 4 = 0. Phương trình nào dưới đây là phương trình tham số của ∆... 

Bài 28 trang 73 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng ∆: $\left\{\begin{array}{c}x=-2+2t\\ y=3-5t\end{array}\right.$ . Phương trình nào... 

Bài 29 trang 73 SBT Toán 10 Tập 2: Cho tam giác ABC, biết tọa độ trung điểm các cạnh BC, CA, AB lần lượt là... 

Bài 30 trang 73 SBT Toán 10 Tập 2: Cho tam giác ABC có A(3; 7), B(-2; 2), C(6; 1). Viết... 

Bài 31 trang 74 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng ∆: $\left\{\begin{array}{c}x=4+t\\ y=-1+2t\end{array}\right.$  và điểm A(2; 1). Hai điểm M, N nằm trên ∆...