Xác định parabol y = ax^2 – bx + 1 trong mỗi trường hợp sau

Giải SBT Toán 10 Cánh diều Bài 2: Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

Bài 13 trang 47 SBT Toán 10 Tập 1: Xác định parabol y = ax² – bx + 1 trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua hai điểm M(1; – 2) và N(– 2; 19).

b) Có đỉnh I(– 2; 37).

c) Có trục đối xứng là x = – 1 và tung độ của đỉnh bằng 5.

Lời giải

Xét parabol y = ax² – bx + 1 với a ≠ 0:

a) Thay tọa độ điểm M1; – 2) vào parabol y = ax² – bx + 1, ta được:

– 2 = a.1² – b.1 + 1 ⇔ a – b = – 3 (1).

Thay tọa độ điểm N(– 2; 19) vào parabol y = ax² – bx + 1, ta được:

 19 = a.(– 2)² – b.(– 2) + 1 ⇔ 4a + 2b = 18 hay 2a + b = 9 (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}a-b=-3\\ 2a+b=9\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3a=6\\ 2a+b=9\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ 2.2+b=9\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=5\end{array}\right. \end{gathered}$$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy parabol cần tìm là y = 2x² – 5x + 1.

b) Parabol có đỉnh I(– 2; 37) nghĩa là $\frac{b}{2a}=-2$ ⇔ b = – 4a (3)

Mặt khác ta thay tọa độ điểm I vào parabol y = ax² – bx + 1, ta được:

37 = a.(– 2)² – b.(– 2) + 1 ⇔ 4a + 2b = 36 hay 2a + b = 18 (4).

Từ (3) và (4) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}b=-4a\\ 2a+b=18\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=-4a\\ 2a-4a=18\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=-4a\\ -2a=18\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=36\\ a=-9\end{array}\right. \end{gathered}$$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy parabol cần tìm là: y = – 9x² – 36x + 1.

c) Parabol có trục đối xứng là x = – 1 ⇔ $\frac{b}{2a}=-1$ ⇔ b = – 2a (5)

Thay x = – 1 và y = 5 vào parabol y = ax² – bx + 1, ta được:

5 = a.(– 1)² – b.(– 1) + 1 ⇔ a + b = 4 (6).

Từ (5) và (6) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}b=2a\\ a+b=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=-2a\\ a-2a=4\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=-2a\\ -a=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=8\\ a=-4\end{array}\right. \end{gathered}$$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy parabol cần tìm là: y = – 4x² – 8x + 1.