HĐ 3 trang 57 Toán 10 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài 9: Tích của một vecto với một số

HĐ 3 trang 57 Toán 10 tập 1: Với $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ có cùng độ dài bằng $\left|kt\right|\left|\overrightarrow{u}\right|.$

b) Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng với $\overrightarrow{u}$.

c) Nếu kt < 0 thì cả hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ ngược hướng với $\overrightarrow{u}$.

d) Hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ bằng nhau.

Lời giải

a) Ta có: $\left|k\left(t\overrightarrow{u}\right)\right|=\left|k\right|\left|t\overrightarrow{u}\right|=\left|k\right|\left|t\right|\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|kt\right|\left|\overrightarrow{u}\right|$ và $\left|\left(kt\right)\overrightarrow{u}\right|=\left|kt\right|\left|\overrightarrow{u}\right|$

Suy ra $\left|k\left(t\overrightarrow{u}\right)\right|=\left|\left(kt\right)\overrightarrow{u}\right|=\left|kt\right|\left|\overrightarrow{u}\right|$

Do đó hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ có cùng độ dài bằng $\left|kt\right|\left|\overrightarrow{u}\right|.$

Vậy khẳng định a) đúng.

b) - Với kt ≥ 0 thì vectơ $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$

- Với kt ≥ 0 $\iff \left\{\begin{array}{l}k\ge 0\\ t\ge 0\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}k\le 0\\ t\le 0\end{array}\right.$ 

+) Trường hợp 1: k ≥ 0 và t ≥ 0

Với t ≥ 0 thì vectơ $t\overrightarrow{u}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$;

Với k ≥ 0 thì vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$cùng hướng với vectơ $t\overrightarrow{u}$;

Do đó với k ≥ 0 và t ≥ 0 thì $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$(do cùng hướng với $t\overrightarrow{u}$).

+) Trường hợp 2: k ≤ 0 và t ≤ 0

Với t ≤ 0 thì vectơ $t\overrightarrow{u}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$;

Với k ≤ 0 thì vectơ k($t\overrightarrow{u}$) ngược hướng với vectơ $t\overrightarrow{u}$;

Do đó với k ≤ 0 và t ≤ 0 thì $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$(do cùng ngược hướng với $t\overrightarrow{u}).$

Kết hợp hai trường hợp ta có: với kt ≥ 0 thì $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$.

Suy ra: nếu kt ≥ 0 thì cả hai vecto $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng với $\overrightarrow{u}$.

Vậy khẳng định b) là đúng.

c) – Với kt < 0 thì vectơ $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$

- Với kt < 0 $\iff \left\{\begin{array}{l}k>0\\ t<0\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}k<0\\ t>0\end{array}\right.$ 

+) Trường hợp 1: k > 0 và t < 0

Với t < 0 thì vectơ $t\overrightarrow{u}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$;

Với k > 0 thì vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$cùng hướng với vectơ $t\overrightarrow{u}$;

Do đó với k > 0 t < 0 thì $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$

+) Trường hợp 2: k < 0 và t > 0

Với t > 0 thì vectơ $t\overrightarrow{u}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$;

Với k < 0 thì vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ ngược hướng với vectơ $t\overrightarrow{u}$;

Do đó với k < 0 và t > 0 thì $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$.

Kết hợp hai trường hợp ta có: với kt < 0 thì $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$.

Suy ra nếu kt < 0 thì cả hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ ngược hướng với $\overrightarrow{u}$.

Vậy khẳng định c) là đúng.

d) Theo câu a thì hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ có cùng độ dài.

+ Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng với $\overrightarrow{u}$.

Suy ra hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng.

+ Nếu kt < 0 thì cả hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ ngược hướng với $\overrightarrow{u}$.

Suy ra hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng.

Do đó hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng với mọi k, t.

$\Rightarrow k\left(t\overrightarrow{u}\right)=\left(kt\right)\overrightarrow{u}$

Hay hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ bằng nhau.

Vậy khẳng định d) đúng.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Mở đầu trang 55 Toán 10 Tập 1: Với mỗi cặp vật đặt trên hai đầu của một cánh tay đòn AB...

HĐ 1 trang 55 Toán 10 Tập 1: Cho vecto $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$. Hãy xác định điểm C sao cho...

Câu hỏi trang 55 Toán 10 Tập 1: $1\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{a}$ có bằng nhau hay không...

HĐ 2 trang 56 Toán 10 Tập 1: Trên một trục số, gọi O, A, M, N tương ứng biểu diễn các số...

Câu hỏi trang 56 Toán 10 Tập 1: $-\overrightarrow{a}$ và $(-1)\overrightarrow{ a}$ có mối quan hệ gì...

Luyện tập 1 trang 56 Toán 10 Tập 1: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B (H.4.25)...

HĐ 4 trang 57 Toán 10 Tập 1: Hãy chỉ ra trên Hình 4.26 hai vectơ $3\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)$ và...

Luyện tập 2 trang 57 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh với điểm O tùy ý...

Luyện tập 3 trang 57 Toán 10 Tập 1: Trong Hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ theo hai vectơ...

Bài 4.11 trang 58 Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC...

Bài 4.12 trang 58 Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD...

Bài 4.13 trang 58 Toán 10 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B...

Bài 4.14 trang 58 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Hãy xác định điểm M...

Bài 4.15 trang 59 Toán 10 Tập 1: Chất điểm A chịu tác động của ba lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$  như Hình 4.30...

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto

Bài tập cuối chương 4

Bài 12: Số gần đúng và sai số

Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm