Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản – Toán 11 Chân trời sáng tạo

    Với lý thuyết Toán lớp 11 Bài 5: Phương trình lượng giác cơ bản chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 11.

    1 2,352 30/10/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Lý thuyết Toán 11 Bài 5: Phương trình lượng giác cơ bản - Chân trời sáng tạo

    Giải Toán 11 Bài 5: Phương trình lượng giác cơ bản

    A. Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản

    1. Phương trình tương đương

    - Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

    - Nếu phương trình f(x) =0 tương đương với phương trình g(x) =0 thì ta viết f(x)=0⇔g(x)=0

    - Các phép biến đổi tương đương:

    + Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức.

    + Nhân hoặc chia 2 vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

    2. Phương trình sinx=m

    Phương trình sinx = m ,

    • Nếu |m|≤1 thì phương trình vô nghiệm.
    • Nếu |m|≤1 thì phương trình có nghiệm:

    Khi đó, tồn tại duy nhất α∈[−π2;π2] thoả mãn sin⁡α=m,

    sinx=m⇔sin⁡x=sin⁡α ⇔[x=α+k2πx=π−α+k2π(k∈Z)

    * Chú ý:

    a, Nếu số đo của góc αđược cho bằng đơn vị độ thì sin⁡x=sin⁡αo⇔[x=αo+k360ox=180o−αo+k360o(k∈Z)

    b, Một số trường hợp đặc biệt

    sin⁡x=0⇔x=kπ,k∈Z.sin⁡x=1⇔x=π2+k2π,k∈Z.sin⁡x=−1⇔x=−π2+k2π,k∈Z.

    3. Phương trình cosx=m

    Phương trình cosx=m,

    • Nếu |m|≤1 thì phương trình vô nghiệm.
    • Nếu |m|≤1 thì phương trình có nghiệm:

    Khi |m|≤1sẽ tồn tại duy nhất α∈[0;π] thoả mãn cosα=m. Khi đó:

    cosx=m⇔cosx=cosα ⇔[x=α+k2πx=−α+k2π(k∈Z)

    * Chú ý:

    a, Nếu số đo của góc αđược cho bằng đơn vị độ thì cos⁡x=cos⁡αo⇔[x=αo+k360ox=−αo+k360o(k∈Z)

    b, Một số trường hợp đặc biệt

    cosx=0⇔x=π2+kπ,k∈Z.cosx=1⇔x=k2π,k∈Z.cosx=−1⇔x=π+k2π,k∈Z.

    4. Phương trình tan⁡x=m

    Phương trình tan⁡x=m có nghiệm với mọi m.

    Với mọi m∈R, tồn tại duy nhất α∈(−π2;π2) thoả mãn tan⁡α=m. Khi đó:

    tan⁡x=m⇔tan⁡x=tan⁡α⇔x=α+kπ,k∈Z.

    *Chú ý: Nếu số đo của góc αđược cho bằng đơn vị độ thì

    tan⁡x=tan⁡αo⇔x=αo+k180o,k∈Z.

    5. Phương trình cot⁡x=m

    Phương trình cot⁡x=m có nghiệm với mọi m.

    Với mọi m∈R, tồn tại duy nhất α∈(0;π) thoả mãn cot⁡α=m. Khi đó:

    cot⁡x=m⇔cot⁡x=cot⁡α⇔x=α+kπ,k∈Z.

    *Chú ý: Nếu số đo của góc αđược cho bằng đơn vị độ thì

    cot⁡x=cot⁡αo⇔x=αo+k180o,k∈Z.

    6. Giải phương trình lượng giác bằng máy tính cầm tay

    Bước 1. Chọn đơn vị đo góc (độ hoặc radian).

    Muốn tìm số đo độ, ta ấn: SHIFT →MODE →3 (CASIO FX570VN).

    Muốn tìm số đo radian, ta ấn: SHIFT →MODE →4 (CASIO FX570VN).

    Bước 2. Tìm số đo góc.

    Khi biết SIN, COS, TANG của góc αta cần tìm bằng m, ta lần lượt ấn các phím SHIFT và một trong các phím SIN, COS, TANG rồi nhập giá trị lượng giác m và cuối cùng ấn phím “BẰNG =”. Lúc này trên màn hình cho kết quả là số đo của góc α.

    B. Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản

    Bài 1. Giải phương trình: cos3x.tan5x = sin7x.

    Hướng dẫn giải

    Điều kiện cos 5x ≠ 0

    Khi đó phương trình đã cho trở thành

    2sin5x.cos3x = 2sin7x.cos5x

    ⇔ sin8x = sin12x

    Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 5: Phương trình lượng giác

    • Với x=kπ2 thì ta có:

    cos5x=cos5kπ2=coskπ2+2kπ=coskπ2≠0

    ⇔ k = 2m (m ∈ ℤ)

    • Với x=π20+kπ10 thì ta có:

    cos5x=cosπ4+kπ2≠0

    Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=mπ;  x=π20+kπ10 (m, k ∈ ℤ).

    Bài 2. Tìm x ∈ [0; 14] sao cho: cos3x – 4cos2x + 3cos x – 4 = 0. (1)

    Hướng dẫn giải

    Ta có: cos3x = 4cos3x – 3cosx

    (1) ⇔ cos3x + 3cos x – 4(1 + cos2x) = 0

    ⇔ 4cos3x – 8cos2x = 0

    ⇔ 4cos3x.(cos x – 2) = 0

    ⇔ cos x = 0

    ⇔ x=π2+kπ (k ∈ ℤ)

    Vì x ∈ [0; 14] ⇒ {x∈π2;3π2;5π2;7π2.}

    Vậy {x∈π2;3π2;5π2;7π2.}

    Bài 3. Giải các phương trình lượng giác sau:

    a) 2sin2x + 2sinx.cosx – 5cos2x = 0

    b) 3sinx−cosx=2

    Hướng dẫn giải

    a) 2sin2x+2sinx.cosx−5cos2x=0

    ⇔ 2tan2x+3tanx−5=0

    Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 5: Phương trình lượng giác

    Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=π4+kπ hoặc x≈1,2+kπ (k ∈ ℤ).

    b) 3sinx−cosx=2

    ⇔ 32sinx−12cosx=22

    ⇔ sinx.cosπ6−cosx.sinπ6=22

    ⇔ sinx−π6=sinπ4

    Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 5: Phương trình lượng giác

    Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=5π12+2kπ hoặc x=11π12+2kπ (k ∈ ℤ).

    Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

    Lý thuyết Bài 1: Dãy số

    Lý thuyết Bài 2: Cấp số cộng

    Lý thuyết Bài 3: Cấp số nhân

    Lý thuyết Bài 1: Giới hạn của dãy số

    Lý thuyết Bài 2: Giới hạn của hàm số

    Tham khảo các loạt bài Toán 11 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 2,352 30/10/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: