Lý thuyết Đạo hàm – Toán 11 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Đạo hàm - Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết Đạo hàm

1. Đạo hàm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng $\left(a;b\right)$ và điểm $x_0\in \left(a;b\right)$.

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của f(x) tại điểm $x_0$, kí hiệu là $f^{\prime }\left(x_0\right)$ hoặc $y^{\prime }\left(x_0\right)$.

Vậy:

$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$.

Chú ý:

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b). Nếu hàm số này có đạo hàm tại mọi điểm $x\in \left(a;b\right)$ thì ta nói nó có đạo hàm trên khoảng (a; b), kí hiệu y’ hoặc f’(x).

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), có đạo hàm tại $x_0\in \left(a;b\right)$.

a) Đại lượng $\mathrm{\Delta }x=x-x_0$ gọi là số gia của biến tại $x_0$. Đại lượng $y=f\left(x\right)-f\left(x_0\right)$ gọi là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó, $x=x_0+\mathrm{\Delta }x$ và

$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f\left(x_0+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x_0\right)}{\mathrm{\Delta }x}$.

b) Tỉ số $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$ biểu thị tốc độ thay đổi trung bình của đại lượng y theo đại lượng x trong khoảng từ $x_0$ đến $x_0+\mathrm{\Delta }x$; còn $f^{\prime }\left(x_0\right)$ biểu thị tốc độ thay đổi (tức thời) của đại lượng y theo đại lượng x tại điểm $x_0$.

2. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

- Nếu hàm số s = f(t) biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian t thì $f^{\prime }\left(t_0\right)$ biểu thị tốc độ tức thời của chuyển động tại thời điểm $t_0$.

- Nếu hàm số T = f(t) biểu thị nhiệt độ T theo thời gian t thì $f^{\prime }\left(t_0\right)$ biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm $t_0$.

3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm $x_0$ là hệ số góc của tiếp tuyến $M_{0}T$ với đồ thị (C) của hàm số tại điểm $M_0\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$.

Tiếp tuyến $M_{0}T$ có phương trình là $y-f\left(x_0\right)=f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$.

Sơ đồ tư duy Đạo hàm

B. Bài tập Đạo hàm

Đang cập nhật ...

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

Lý thuyết Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

Lý thuyết Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Lý thuyết Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc

Lý thuyết Bài 4: Khoảng cách trong không gian