Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Lý thuyết Giới hạn của hàm số – Toán 11 Chân trời sáng tạo

    Với lý thuyết Toán lớp 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 11.

    1 1,355 30/10/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số - Chân trời sáng tạo

    Bài giảng Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

    A. Lý thuyết Giới hạn của hàm số

    1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

    Cho khoảng K chứa điểm x0và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc trên K∖{x0}. Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn hữu hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn∈K∖{x0} và xn→x0, ta cóf(xn)→L

    Kí hiệu limx→x0⁡f(x)=L hay f(x)→L, khi xn→x0.

    2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số

    a, Nếu limx→x0⁡f(x)=L và limx→x0⁡g(x)=M thì

    limx→x0⁡[f(x)±g(x)]=L±M

    limx→x0⁡[f(x).g(x)]=L.M

    limx→x0⁡[f(x)g(x)]=LM(M≠0)

    b, Nếu f(x)≥0 với mọi x∈(a;b)∖{x0} và limx→x0⁡f(x)=L thì L≥0và limx→x0⁡f(x)=L.

    * Nhận xét:

    a,limx→x0⁡xk=x0k,k∈Z+.b,limx→x0⁡[c.f(x)]=c.limx→x0⁡f(x)

    (c∈R, nếu tồn tại limx→x0⁡f(x)∈R)

    3. Giới hạn một phía

    Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (x0;b).

    Ta nói y=f(x) có giới hạn bên phải là số L khi x→x0 nếu với dãy số (xn) bất kì,x0<xn<b và xn→x0ta có f(xn)→L, kí hiệu limx→x0+⁡f(x)=L.

    Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;x0).

    Ta nói y=f(x)có giới hạn bên phải là số L khi x→x0 nếu với dãy số (xn)bất kì,a<xn<x0 và xn→x0ta có f(xn)→L, kí hiệu limx→x0−⁡f(x)=L.

    *Chú ý:

    limx→x0⁡f(x)=L⇔limx→x0−⁡f(x)=limx→x0+⁡f(x)=L

    limx→x0−⁡f(x)≠limx→x0+⁡f(x) thì không tồn tại limx→x0⁡f(x).

    Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số ở Mục 2 vẫn đúng khi ta thay x→x0bằng x→x0+hoặc x→x0−.

    4. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

    Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;+∞). Ta nói hàm số f(x)có giới hạn là số L khi x→+∞ nếu với dãy số (xn) bất kì xn>a và xn→+∞ta có f(xn)→L, kí hiệu limx→+∞⁡f(x)=L hay f(x)→L khi x→+∞.

    Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (−∞;a). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x→−∞ nếu với dãy số (xn) bất kì xn<a và xn→−∞ta có f(xn)→L, kí hiệu limx→−∞⁡f(x)=L hay f(x)→L khi x→−∞.

    * Nhận xét:

    • Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
    • Với c là hằng số, k là một số nguyên dương ta có:

    limx→±∞⁡c=c,limx→±∞⁡(cxk)=0

    5. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

    - Cho hàm số y=f(x)xác định trên khoảng (x0;b).

    Ta nói hàm số f(x) có giới hạn bên phải là +∞ khi x→x0 về bên phải nếu với dãy số (xn) bất kì thỏa mãn x0<xn<b và xn→x0 ta có f(xn)→+∞, kí hiệu limx→x0+⁡f(x)=+∞

    Ta nói hàm số f(x) ó giới hạn bên phải là −∞ khi x→x0 về bên trái nếu với dãy số (xn) bất kì thỏa mãn a<xn<x0 và xn→x0 ta có f(xn)→+∞, kí hiệu limx→x0−⁡f(x)=+∞

    Các giới hạn một bênlimx→x0+⁡f(x)=−∞, limx→x0−⁡f(x)=−∞ được định nghĩa tương tự.

    * Chú ý:

    • limx→+∞⁡xk=+∞,k∈Z+.
    • limx→−∞⁡xk=+∞, k là số nguyên dương chẵn.
    • limx→−∞⁡xk=−∞, k là số nguyên dương lẻ.
    • limx→a+⁡1x−a=+∞,limx→a−⁡1x−a=−∞(a∈R)

    Giới hạn vô cực

    Nếu limx→x0+⁡f(x)=L≠0 và limx→x0+⁡g(x)=+∞hoặc limx→x0+⁡g(x)=−∞thì limx→x0+⁡[f(x).g(x)] được tính như sau:

    (ảnh 1)

    Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay x0+thành x0−(hoặc +∞,−∞)

    Lý thuyết Giới hạn của hàm số – Toán 11 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

    B. Bài tập Giới hạn của hàm số

    Bài 1. Tìm các giới hạn sau:

    a) A = limx→+∞x(4x2+9−2x);

    b) B = limx→−∞(x2−2x+2−x).

    Hướng dẫn giải

    Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 2: Giới hạn của hàm số

    Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 2: Giới hạn của hàm số

    =limx→−∞2+2−x1−2x+2x2−1=+∞

    Bài 2. Chứng minh không tồn tại giới hạn của hàm số f(x) = sin1x khi x tiến tới 0.

    Hướng dẫn giải

    Xét hai dãy số xn=12nπ; yn=1π2+2nπ

    Suy ra limxn=lim12nπ=12πlim1n=12π . 0=0

    Và limyn=lim1π2+2nπ=1π2+2πlimn=0

    Khi đó ta xét:

    • lim f(xn) = limsin (2nπ) = 0;

    • lim f (yn) = limsin (π2+2nπ) = 1.

    Do lim f(xn) ≠ lim f (yn) (0 ≠ 1) nên hàm số f(x) = sin1x không tồn tại giới hạn khi x tiến tới 0.

    Bài 3. Tính các giới hạn sau:

    a) limx→24x−4−xx2−4 ;

    b) limx→13x−23−x3x+1−2 .

    Hướng dẫn giải

    Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 2: Giới hạn của hàm số

    Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 2: Giới hạn của hàm số

    Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

    Lý thuyết Bài 3: Hàm số liên tục

    Lý thuyết Bài 1: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

    Lý thuyết Bài 2: Hai đường thẳng song song

    Lý thuyết Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

    Lý thuyết Bài 4: Hai mặt phẳng song song

    Tham khảo các loạt bài Toán 11 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 1,355 30/10/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: