Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Lý thuyết Hàm số liên tục – Toán 11 Chân trời sáng tạo

    Với lý thuyết Toán lớp 11 Bài 3: Hàm số liên tục chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 11.

    1 1,122 30/10/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục - Chân trời sáng tạo

    Bài giảng Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục

    A. Lý thuyết Hàm số liên tục

    1. Hàm số liên tục tại 1 điểm

    Cho hàm y=f(x) xác định trên khoảng K, x0∈K. Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu limx→x0⁡f(x)=f(x0).

    Hàm số không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

    *Nhận xét: Để hàm số y=f(x) liên tục tại x0 thì phải có cả 3 điều sau:

    • Hàm số xác định tại x0.
    • Tồn tại limx→x0⁡f(x)
    • limx→x0⁡f(x)=f(x0)

    2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

    - Hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b)

    Hàm số y=f(x)được gọi là liên tục trên khoảng (a;b)nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.

    - Hàm số y=f(x)được gọi là liên tục trên đoạn [a;b]nếu nó liên tục trên khoảng (a;b)và limx→a+⁡f(x)=f(a),limx→b−⁡f(x)=f(b).

    * Nhận xét:

    - Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn là “đường liền” trên khoảng, đoạn đó.

    - Nếu hàm sốy=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0thì phương trình f(x)=0có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a;b).

    3. Tính liên tục của hàm sơ cấp cơ bản

    - Hàm số đa thức và hàm số y=sinx,y=cosx liên tục trên R.

    - Các hàm số y=tan⁡x,y=cotx,y=xvà hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

    4. Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục

    Giả sử hai hàm số y=f(x) và y=g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:

    a, Các hàm số y=f(x)±g(x)và y=f(x).g(x) liên tục tại điểm x0.

    b, Hàm số y=f(x)g(x) liên tục tại điểm x0nếu g(x0)≠0.

    Lý thuyết Hàm số liên tục – Toán 11 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

    B. Bài tập Hàm số liên tục

    Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số sau đây tại điểm x = 3.

    Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 3: Hàm số liên tục

    Hướng dẫn giải

    Ta có:

    • limx→3+f(x) = limx→3+3 = 3

    Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 3: Hàm số liên tục

    Do limx→3+f(x) ≠ limx→3−f(x) (3 ≠5) nên hàm số gián đoạn tại điểm x = 3.

    Bài 2. Chứng minh rằng phương trình 3x3 + x2 – x – 1 có nghiệm trong khoảng (−1; 1).

    Hướng dẫn giải

    Hàm số f(x) = 3x3 + x2 – x – 1 là một hàm số đa thức, nên f (x) liên tục trên ℝ.

    Suy ra, f (x) cũng liên tục trên đoạn [−1; 1].

    Ta có:

    • f(–1) = 3 . (–1)3 + (–1)2 – (–1) – 1 = –3 + 1 + 1 – 1 = –2;

    • f(1) = 3 . 13 + 12 – 1 – 1 = 3 + 1 – 1 – 1 = 2.

    Suy ra f(–1) . f(1) = (–2) . 2 = – 4 < 0.

    Do vậy, có ít nhất một nghiệm c ∈ (−1; 1) sao cho f (c) = 0.

    Vậy phương trình 3x3 + x2 – x – 1 có nghiệm trong khoảng (−1; 1).

    Bài 3. Tìm giá trị m để hàm số sau đây liên tục trên tập xác định:

    Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 3: Hàm số liên tục

    Hướng dẫn giải

    Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

    Xét trường hợp x ≠ 1, hàm số có dạng f(x) = x2−3x+2x−1, là hàm số phân thức trên tập xác định (–∞; 1) ∪ (1; +∞) nên nó liên tục trên các khoảng (–∞; 1) và (1; +∞).

    Xét trường hợp x = 1, ta có:

    Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 3: Hàm số liên tục

    • f(1) = 2m. 1+1= 2m +1

    Khi đó, để hàm f (x) liên tục tại điểm x0 = 1 thì:

    limx→1f(x) = f(1)⇔2m+1= -1⇔m = - 1

    Vậy m = −1 là giá trị của tham số m cần tìm.

    Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

    Lý thuyết Bài 1: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

    Lý thuyết Bài 2: Hai đường thẳng song song

    Lý thuyết Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

    Lý thuyết Bài 4: Hai mặt phẳng song song

    Lý thuyết Bài 5: Phép chiếu song song

    Tham khảo các loạt bài Toán 11 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 1,122 30/10/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: