Giải Toán 11 trang 93 Tập 2 Kết nối tri thức

Với giải bài tập Toán 11 trang 93 Tập 2 trong Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 93 Tập 2.

1 158 07/12/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 trang 93 Tập 2

HĐ9 trang 93 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ

a) Sử dụng giới hạn $\lim_{h \to 0} \frac{e^{x} - 1}{h} = 1$ và đẳng thức e^{x + h} – e^x = e^x(e^h – 1), tính đạo hàm của hàm số y = e^x tại x bằng định nghĩa.

b) Sử dụng hằng đẳng thức a^x = e^xlna (0 < a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số y = a^x.

Lời giải:

a)

Với x bất kì và h = x – x₀, ta có:

$f^{'} (x_{0}) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x_{0} + h} - e^{x_{0}}}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{e^{x_{0}} (e^{h} - 1)}{h} = \lim_{h \to 0} e^{x_{0}} . \lim_{h \to 0} \frac{e^{h} - 1}{h} = e^{x_{0}}$ .

Vậy hàm số y = e^x có đạo hàm là hàm số y' = e^x.

b)

Ta có: a^x = e^{x.ln a} nên (a^x)' = (e^{x.ln a})' = (x.ln a)' . e^{x.ln a} = e^{x.ln a}.ln a = a^x.ln a.

Luyện tập 6 trang 93 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = e^{x^{2} - x}$ ;

b) y = 3^{sin x} .

Lời giải:

a)

$y^{'} = {(e^{x^{2} - x})}^{'} = e^{x^{2} - x} . {(x^{2} - x)}^{'} = (2 x - 1) e^{x^{2} - x}$ .

b)

y' = (3^{sin x})' = 3^{sin x}. (sin x)' . ln3 = 3^{sin x}.cos x. ln3.

HĐ10 trang 93 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số lôgarit

a) Sử dụng giới hạn $\lim_{t \to 0} \frac{\ln (1 + t)}{t} = 1$ và đẳng thức

ln(x + h) – lnx = $\ln (\frac{x + h}{x}) = \ln (1 + \frac{h}{x})$ , tính đạo hàm của hàm số y = ln x tại điểm x > 0 bằng định nghĩa.

b) Sử dụng đẳng thức $\log_{a} x = \frac{\ln x}{\ln a}$ (0 < a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số y = log_ax.

Lời giải:

a)

Với x > 0 bất kì và h = x – x₀ ta có:

$f^{'} (x_{0}) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\ln (x_{0} + h) - \ln x_{0}}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{\ln (1 + \frac{h}{x_{0}})}{\frac{h}{x_{0}} . x_{0}} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{x_{0}} . \lim_{h \to 0} \frac{\ln (1 + \frac{h}{x_{0}})}{\frac{h}{x_{0}}} = \frac{1}{x_{0}}$

Vậy hàm số y = ln x có đạo hàm là hàm số y' = $\frac{1}{x}$ .

b)

Ta có $\log_{a} x = \frac{\ln x}{\ln a}$ nên ${(\log_{a} x)}^{'} = {(\frac{\ln x}{\ln a})}^{'} = \frac{1}{x \ln a}$ .

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải Toán 11 trang 88 Tập 2

Giải Toán 11 trang 89 Tập 2

Giải Toán 11 trang 90 Tập 2

Giải Toán 11 trang 91 Tập 2

Giải Toán 11 trang 92 Tập 2

Giải Toán 11 trang 93 Tập 2

Giải Toán 11 trang 94 Tập 2

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Mở đầu trang 88 Toán 11 Tập 2: Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu v₀ = 20 m/s...

HĐ1 trang 88 Toán 11 Tập 2: Nhận biết đạo hàm của hàm số y = xⁿ. a) Tính đạo hàm của hàm số y = x³ tại điểm x bất kì...

HĐ2 trang 88 Toán 11 Tập 2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = $\sqrt{x}$ tại điểm x > 0...

HĐ3 trang 89 Toán 11 Tập 2: Nhận biết quy tắc đạo hàm của tổng a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = x³ + x² tại điểm x bất kì...

Luyện tập 1 trang 90 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) $y = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$ ; b) $y = (\sqrt{x} + 1) (x^{2} + 2)$ ...

HĐ4 trang 90 Toán 11 Tập 2: Nhận biết quy tắc đạo hàm của hàm số hợp. Cho các hàm số y = u² và u = x² + 1...

Luyện tập 2 trang 91 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = (2x – 3)¹⁰; b) y = $\sqrt{1 - x^{2}}$ ...

HĐ5 trang 91 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = sin x a) Với h ≠ 0, biến đổi hiệu sin(x + h) – sin x thành tích...

Luyện tập 3 trang 91 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số $y = \sin (\frac{π}{3} - 3 x)$ ...

HĐ6 trang 91 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = cos x

Bằng cách viết y = cosx = $\sin (\frac{π}{2} - x)$ , tính đạo hàm của hàm số y = cos x...

Luyện tập 4 trang 91 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số $y = 2 c o s (\frac{π}{4} - 2 x)$ ...

HĐ7 trang 92 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của các hàm số y = tan x và y = cot x...

Luyện tập 5 trang 92 Tóan 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số $y = 2 \tan^{2} x + 3 \cot (\frac{π}{3} - 2 x)$ ...

Vận dụng 1 trang 92 Toán 11 Tập 2: Một vật chuyển động có phương trình s(t) = 4cos $(2 π t - \frac{π}{8})$ (m), với t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc của vật khi t = 5 giây...

HĐ8 trang 92 Toán 11 Tập 2: Giới hạn cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit. a) Sử dụng phép đổi biến t = $\frac{1}{x}$ , tìm giới hạn $\lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$ ...

HĐ9 trang 93 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ. a) Sử dụng giới hạn $\lim_{h \to 0} \frac{e^{x} - 1}{h} = 1$ và đẳng thức e^{x + h} – e^x = e^x(e^h – 1)...

Luyện tập 6 trang 93 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) $y = e^{x^{2} - x}$ ; b) y = 3^{sin x} ...

HĐ10 trang 93 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số lôgarit

a) Sử dụng giới hạn $\lim_{t \to 0} \frac{\ln (1 + t)}{t} = 1$ và đẳng thức...

Luyện tập 7 trang 94 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số y = log₂(2x – 1)...

Vận dụng 2 trang 94 Toán 11 Tập 2: Ta đã biết, độ pH của một dung dịch được xác định bởi pH = –log[H⁺], ở đó [H⁺] là nồng độ (mol/lít) của ion hydrogen...

Bài 9.6 trang 94 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = x³ – 3x² + 2x + 1; b) y = x² – 4 $\sqrt{x}$ + 3...

Bài 9.7 trang 94 Toán 11 Tập 2:Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) $y = \frac{2 x - 1}{x + 2}$ ; b) $y = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ ...

Bài 9.8 trang 94 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = xsin²x; b) y = cos²x + sin2x; c) y = sin3x – 3sinx; d) y = tanx + cotx...

Bài 9.9 trang 94 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm các hàm số sau: a) y = $2^{3 x - x^{2}}$ ; b) y = log₃(4x + 1)...

Bài 9.10 trang 94 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = $2 \sin^{2} (3 x - \frac{π}{4})$ . Chứng minh rằng |f'(x)| ≤ 6 với mọi x...

Bài 9.11 trang 94 Toán 11 Tập 2: Một vật chuyển động rơi tự do có phương trình h(t) = 100 – 4,9t², ở đó độ cao h so với mặt đất tính bằng mét và thời gian t tính bằng giây...

Bài 9.12 trang 94 Toán 11 Tập 2: Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi s(t) = 12 + 0,5sin(4πt), trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây...

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Bài 33: Đạo hàm cấp hai

Bài tập cuối chương 9 trang 97

Một vài mô hình toán học sử dụng hàm số mũ và hàm số lôgarit

Hoạt động thực hành trải nghiệm Hình học

1 158 07/12/2023

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác: