HĐ3 trang 89 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm

HĐ3 trang 89 Toán 11 Tập 2: Nhận biết quy tắc đạo hàm của tổng

a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = x³ + x² tại điểm x bất kì.

b) So sánh: (x³ + x²)' và (x³)' + (x²)'

Lời giải:

a)

Đặt f(x) = y = x³ + x²_­.

Với x₀ bất kì, ta có:

$y\text{'}=f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x^3+x^2-{x_0}^3-{x_0}^2}{x-x_0}$

$\begin{array}{c}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(x^3-{x_0}^3\right)+\left(x^2-{x_0}^2\right)}{x-x_0}\\ =\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(x-x_0\right)\left(x^2+x{x}_0+{x_0}^2+x+x_0\right)}{x-x_0}\end{array}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(x^2+x{x}_0+{x_0}^2+x+x_0\right)=3{x_0}^2+2x_0$

Vậy đạo hàm của hàm số y = x³ + x² là hàm số y' = 3x² + 2x.

b)

Ta có (x³)' = 3x² ; (x²)' = 2x, do đó (x³)' + (x²)' = 3x² + 2x.

Từ đó suy ra (x³ + x²)' = (x³)' + (x²)' (cùng bằng 3x² + 2x).