HĐ5 trang 91 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm

HĐ5 trang 91 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = sin x

a) Với h ≠ 0, biến đổi hiệu sin(x + h) – sin x thành tích.

b) Sử dụng đẳng thức giới hạn $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin h}{h}=1$ và kết quả của câu a, tính đạo hàm của hàm số y = sin x tại điểm x bằng định nghĩa.

Lời giải:

a) Với h ≠ 0, ta có:

sin(x + h) – sin x = $2cos\frac{x+h+x}{2}.\sin \frac{x+h-x}{2}$ = $2cos\frac{2x+h}{2}.\sin \frac{h}{2}$ .

b)

Với x₀ bất kỳ ta có:

$f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sin x-\sin x_0}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{2cos\frac{x+x_0}{2}.\sin \frac{x-x_0}{2}}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sin \frac{x-x_0}{2}}{\frac{x-x_0}{2}}.\underset{x\to x_0}{\lim }cos\frac{x+x_0}{2}=\cos x_0$.

Vậy hàm số y = sin x có đạo hàm là hàm số y' = cos x.