Luyện tập 1 trang 90 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm

Luyện tập 1 trang 90 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{\sqrt{x}}{x+1}$ ;

b) $y=\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x^2+2\right)$ .

Lời giải:

a)

Với x ≥ 0 và x ≠ – 1 ta có:

$y^{\text{'}}={\left(\frac{\sqrt{x}}{x+1}\right)}^{\text{'}}=\frac{{\left(\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}.(x+1)-\sqrt{x}.(x+1{)}^{\text{'}}}{{(x+1)}^2}$

$=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\left(x+1\right)-\sqrt{x}.1}{{(x+1)}^2}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\left(x+1\right)-\frac{2x}{2\sqrt{x}}}{{(x+1)}^2}$

$=\frac{\frac{x+1-2x}{2\sqrt{x}}}{{(x+1)}^2}=\frac{\frac{1-x}{2\sqrt{x}}}{{(x+1)}^2}=\frac{1-x}{2\sqrt{x}{\left(x+1\right)}^2}$.

b)

Với x ≥ 0 ta có:

y' = [($\sqrt{x}$+1)(x²+2)]'

= ($\sqrt{x}$+1).(x²+2)+($\sqrt{x}$+1)(x²+2)'

= [($\sqrt{x}$)'+1'].(x²+2)+($\sqrt{x}$+1)[(x²)'+2']

$=\frac{1}{2\sqrt{x}}.\left(x^2+2\right)+\left(\sqrt{x}+1\right).2x=\frac{x^2+2}{2\sqrt{x}}+2x\left(\sqrt{x}+1\right)$.