HĐ7 trang 92 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm

HĐ7 trang 92 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của các hàm số y = tan x và y = cot x

a) Bằng cách viết $y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\left(x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)$ , tính đạo hàm của hàm số y = tanx.

b) Sử dụng hằng đẳng thức $\cot x=\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ với x$\ne$k$\pi$ (k$\in \mathbb{Z}$, tính đạo hàm của hàm số y = cot x.

Lời giải:

a) Ta có

y' = (tanx)' = ${\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^{\text{'}}$

$=\frac{(\sin x{)}^{\text{'}}.\cos x-\sin x.(\cos x{)}^{\text{'}}}{{\cos }^{2}x}$

$=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$.

b) Ta có

$y^{\text{'}}=(\cot x{)}^{\text{'}}={\left(\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\right)}^{\text{'}}=\frac{-1}{{\cos }^2\left(\frac{\pi }{2}-x\right)}=\frac{-1}{{\sin }^{2}x}$.