Giải Toán 11 trang 92 Tập 2 Kết nối tri thức

Giải Toán 11 trang 92 Tập 2

HĐ7 trang 92 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của các hàm số y = tan x và y = cot x

a) Bằng cách viết $y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\left(x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)$ , tính đạo hàm của hàm số y = tanx.

b) Sử dụng hằng đẳng thức $\cot x=\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ với x$\ne$k$\pi$ (k$\in \mathbb{Z}$, tính đạo hàm của hàm số y = cot x.

Lời giải:

a) Ta có

y' = (tanx)' = ${\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^{\text{'}}$

$=\frac{(\sin x{)}^{\text{'}}.\cos x-\sin x.(\cos x{)}^{\text{'}}}{{\cos }^{2}x}$

$=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$.

b) Ta có

$y^{\text{'}}=(\cot x{)}^{\text{'}}={\left(\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\right)}^{\text{'}}=\frac{-1}{{\cos }^2\left(\frac{\pi }{2}-x\right)}=\frac{-1}{{\sin }^{2}x}$.

Luyện tập 5 trang 92 Tóan 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số $y=2{\tan }^{2}x+3\cot \left(\frac{\pi }{3}-2x\right)$ .

Lời giải:

Ta có:

$=2.2\tan x.\frac{1}{{\cos }^{2}x}+3.\frac{-(-2)}{{\sin }^2\left(\frac{\pi }{3}-2x\right)}$

$=\frac{4\tan x}{{\cos }^{2}x}+\frac{6}{{\sin }^2\left(\frac{\pi }{3}-2x\right)}$.

Vận dụng 1 trang 92 Toán 11 Tập 2: Một vật chuyển động có phương trình s(t) = 4cos$\left(2\pi t-\frac{\pi }{8}\right)$ (m), với t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc của vật khi t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải:

Ta có:

v(t) = s'(t) =4 = $-4.2\pi .\sin \left(2\pi t-\frac{\pi }{8}\right)=-8\pi .\sin \left(2\pi t-\frac{\pi }{8}\right)$.

Vậy vận tốc của vật khi t = 5 giây là:

$v\left(5\right)=-8\pi .\sin \left(2\pi .5-\frac{\pi }{8}\right)\approx 9,6$ (m/s).

5. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số Lôgarit

HĐ8 trang 92 Toán 11 Tập 2: Giới hạn cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit

a) Sử dụng phép đổi biến t = $\frac{1}{x}$ , tìm giới hạn $\underset{x\to 0}{\lim }{\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}$ .

b) Với $y={\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}$ , tính ln y và tìm giới hạn của $\underset{x\to 0}{\lim }\ln y$ .

c) Đặt t = e^x – 1. Tính x theo t và tìm giới hạn $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}$ .

Lời giải:

a)

Ta có: t = $\frac{1}{x}$ , nên khi x → 0 thì t → + ∞ do đó:

$\underset{x\to 0}{\lim }{\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}=\underset{t\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^t=e$.

b) Với $y={\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}$ , ta có:

ln y $=\ln {\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{x}\ln \left(1+x\right)$ .

Khi đó, $\underset{x\to 0}{\lim }\ln y=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+x\right)}{x}=1$ .

c)

t = e^x – 1 ⇔ e^x = t + 1 ⇔ x = ln(t + 1).

Ta có: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{\ln \left(t+1\right)}=1$ .

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải Toán 11 trang 88 Tập 2

Giải Toán 11 trang 89 Tập 2

Giải Toán 11 trang 90 Tập 2

Giải Toán 11 trang 91 Tập 2

Giải Toán 11 trang 92 Tập 2

Giải Toán 11 trang 93 Tập 2

Giải Toán 11 trang 94 Tập 2