Giải Toán 11 trang 65 Tập 2 Kết nối tri thức

Với giải bài tập Toán 11 trang 65 Tập 2 trong Bài tập cuối chương 7 trang 64 sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 65 Tập 2.

1 158 03/12/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 trang 65 Tập 2

Bài 7.38 trang 65 Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = a $\sqrt{2}$ và OC = 2a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ABC.

Lời giải:

Bài 7.38 trang 65 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Kẻ OD $⊥$ BC tại D.

Có OA $⊥$ OB, OA $⊥$ OC nên OA $⊥$ (OBC), suy ra OA $⊥$ BC mà OD $⊥$ BC nên

BC $⊥$ (OAD).

Kẻ OE $⊥$ AD tại E.

Vì BC $⊥$ (OAD) nên BC $⊥$ OE mà OE $⊥$ AD nên OE $⊥$ (ABC).

Do đó d(O, (ABC)) = OE.

Xét tam giác OBC vuông tại O, OD là đường cao có:

$\frac{1}{O D^{2}} = \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}$ $= \frac{1}{2 a^{2}} + \frac{1}{4 a^{2}} = \frac{3}{4 a^{2}}$ .

Vì OA $⊥$ (OBC) nên OA $⊥$ OD.

Xét tam giác AOD vuông tại O, OE là đường cao nên

$\frac{1}{O E^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O D^{2}}$ $= \frac{1}{a^{2}} + \frac{3}{4 a^{2}} = \frac{7}{4 a^{2}}$ $\Rightarrow O E = \frac{2 a \sqrt{7}}{7}$ .

Vậy d(O, (ABC)) $= \frac{2 a \sqrt{7}}{7}$ .

Bài 7.39 trang 65 Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cân tại A, tam giác BCD cân tại D. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh rằng BC $⊥$ (AID).

b) Kẻ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh rằng AH $⊥$ (BCD).

c) Kẻ đường cao IJ của tam giác AID. Chứng minh rằng IJ là đường vuông góc chung của AD và BC.

Lời giải:

Bài 7.39 trang 65 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

a) Vì tam giác ABC cân tại A, AI là trung tuyến nên AI đồng thời là đường cao hay AI $⊥$ BC.

Vì tam giác BCD cân tại D, DI là trung tuyến nên DI đồng thời là đường cao hay DI $⊥$ BC.

Có AI $⊥$ BC và DI $⊥$ BC nên BC $⊥$ (AID).

b) Do AH là đường cao của tam giác AID nên AH $⊥$ DI.

Vì BC $⊥$ (AID) nên BC $⊥$ AH mà AH $⊥$ DI nên AH $⊥$ (BCD).

c) Vì BC $⊥$ (AID) nên BC $⊥$ IJ, mà IJ là đường cao của tam giác AID nên IJ $⊥$ AD. Do đó IJ là đường vuông góc chung của AD và BC.

Bài 7.40 trang 65 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a và $\hat{C A B}$ = 30^o. Biết SA $⊥$ (ABC) và SA = a $\sqrt{2}$ .

a) Chứng minh rằng (SBC) $⊥$ (SAB).

b) Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng SC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

Lời giải:

Bài 7.40 trang 65 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

a) Do tam giác ABC vuông tại B nên AB $⊥$ BC.

Vì SA $⊥$ (ABC) nên SA $⊥$ BC mà AB $⊥$ BC nên BC $⊥$ (SAB), suy ra (SBC) $⊥$ (SAB).

b) Kẻ AD $⊥$ SC tại D. Khi đó d(A, SC) = AD.

Vì SA $⊥$ (ABC) nên SA $⊥$ AC nên tam giác SAC vuông tại A.

Xét tam giác ABC vuông tại B, sin $\hat{C A B}$ = $\frac{B C}{A C}$

$\Rightarrow$ AC = $\frac{B C}{\sin \hat{C A B}} = \frac{a}{\sin 30 °}$ = 2a.

Xét tam giác SAC vuông tại A, AD là đường cao, có:

$\frac{1}{A D^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A C^{2}}$ $= \frac{1}{2 a^{2}} + \frac{1}{4 a^{2}} = \frac{3}{4 a^{2}}$ $\Rightarrow A D = \frac{2 a \sqrt{3}}{3}$ .

Vậy d(A, SC) $= \frac{2 a \sqrt{3}}{3}$ .

Kẻ AE $⊥$ SB tại E.

Vì BC $⊥$ (SAB) nên BC $⊥$ AE mà AE $⊥$ SB nên AE $⊥$ (SBC).

Khi đó d(A, (SBC)) = AE.

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AB = $\frac{B C}{\tan 30 °} = \frac{a}{\tan 30 °}$ = a $\sqrt{3}$ .

Vì SA $⊥$ (ABC) nên SA $⊥$ AB, suy ra tam giác SAB vuông tại A.

Xét tam giác SAB vuông tại A, AE là đường cao, có: $\frac{1}{A E^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A B^{2}}$ .

$= \frac{1}{2 a^{2}} + \frac{1}{3 a^{2}} = \frac{5}{6 a^{2}}$ $\Rightarrow$ AE = a $\sqrt{\frac{6}{5}}$

Vậy d(A, (SBC)) = a $\sqrt{\frac{6}{5}}$ .

Bài 7.41 trang 65 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Biết tam giác SAD vuông cân tại S và (SAD) $⊥$ (ABCD).

a) Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.

Lời giải:

Bài 7.41 trang 65 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

a) Kẻ SE $⊥$ AD tại E. Vì tam giác SAD vuông cân tại S nên E là trung điểm của AD.

Có (SAD) $⊥$ (ABCD), (SAD) $\cap$ (ABCD) = AD, SE $⊥$ AD nên SE $⊥$ (ABCD).

Vì tam giác SAD vuông cân tại S, SE là trung tuyến nên SE = $\frac{A D}{2} = \frac{a}{2}$ .

Khi đó $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} \cdot S E$ $= \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^{3}}{6}$ .

b) Do ABCD là hình vuông nên AD // BC mà BC $\subset$ (SBC) nên AD // (SBC).

Khi đó d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(E, (SBC)).

Kẻ EF // AB (F thuộc BC). Khi đó EF $⊥$ BC (vì AB $⊥$ BC).

Mà SE $⊥$ (ABCD) nên SE $⊥$ BC mà EF $⊥$ BC nên BC $⊥$ (SEF).

Lại có BC $\subset$ (SBC) nên (SBC) $⊥$ (SEF) và (SBC) $\cap$ (SEF) = SF.

Kẻ EG $⊥$ SF tại G nên EG $⊥$ (SBC). Khi đó d(E, (SBC)) = EG.

Do ABCD là hình vuông nên EF = AB = a.

Xét tam giác SEF vuông tại E, EG là đường cao, có

$\frac{1}{E G^{2}} = \frac{1}{S E^{2}} + \frac{1}{E F^{2}}$ $= \frac{4}{a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{5}{a^{2}}$ $\Rightarrow$ EG = $\frac{a}{\sqrt{5}}$ .

Vậy d(AD, SC) = $\frac{a}{\sqrt{5}}$ .

Bài 7.42 trang 65 Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có độ dài tất cả các cạnh bằng a, AA' $⊥$ (ABCD) và $\hat{B A D}$ = 60^o.

a) Tính thể tích của khối hộp ABCD.A'B'C'D'.

b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BD).

Lời giải:

Bài 7.42 trang 65 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì hình hộp ABCD.A'B'C'D' có độ dài tất cả các cạnh bằng a nên ABCD là hình thoi, suy ra AO = OC và AC $⊥$ BD.

Có S_ABD= $\frac{1}{2}$ .AO.BD = $\frac{1}{2}$ .CO.BD = S_BCD. Do đó S_ABCD = 2S_ABD.

Mà S_ABD= $\frac{1}{2}$ .AB.AD.sin $\hat{B A D}$ = $\frac{1}{2}$ .a.a.sin60^o = $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ . Do đó S_ABCD = $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$ .

Vậy $V_{A B C D . A^{'} B' C^{'} D^{'}} = A A^{'} \cdot S_{A B C D}$ $= a \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$ .

b) Vì AO $⊥$ BD mà AA' $⊥$ (ABCD) nên AA' $⊥$ BD. Do đó BD $⊥$ (AOA').

Suy ra (A'BD) $⊥$ (AOA').

Kẻ AE $⊥$ A'O tại E. Vì (A'BD) $⊥$ (AOA'), (A'BD) $\cap$ (AOA') = A'O và AE $⊥$ A'O nên AE $⊥$ (A'BD). Do đó d(A, (A'BD)) = AE.

Xét tam giác ABD có AB = AD = a nên tam giác ABD là tam giác cân tại A mà $\hat{B A D} = 60^{o}$ nên tam giác ABD đều, suy ra BD = a mà BO = $\frac{B D}{2} = \frac{a}{2}$ .

Xét tam giác AOB vuông tại O, có AO = $\sqrt{A B^{2} - B O^{2}}$ = $\sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Vì AA' $⊥$ (ABCD) nên AA' $⊥$ AO hay tam giác A'AO vuông tại A.

Xét tam giác A'AO vuông tại A có $\frac{1}{A E^{2}} = \frac{1}{A {A^{'}}^{2}} + \frac{1}{A O^{2}}$ $= \frac{1}{a^{2}} + \frac{4}{3 a^{2}} = \frac{7}{3 a^{2}}$

$\Rightarrow A E = a \sqrt{\frac{3}{7}}$ .

Vậy d(A, (A'BD)) = $a \sqrt{\frac{3}{7}}$ .

Bài 7.43 trang 65 Toán 1 Tập 2: Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D'. Biết A'.ABCD là hình chóp đều có tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng a. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' và thể tích của khối chóp A'.BB'C'C.

Lời giải:

Bài 7.43 trang 65 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Do A'.ABCD là hình chóp đều có tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng a nên A'O $⊥$ (ABCD).

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên S_ABCD = a².

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC = $\sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ mà O là trung điểm của AC nên AO = $\frac{A C}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Xét tam giác A'AO vuông tại O, có A'O = $\sqrt{A^{'} A^{2} - A O^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Khi đó $V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = A^{'} O \cdot S_{A B C D} = \frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{2}$ .

Ta có $V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = V_{A A^{'} D^{'} D . B B^{'} C^{'} C} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{2}$ .

Khi đó ta thấy khối chóp A'.BB'C'C và khối lăng trụ AA'D'D.BB'C'C có chung đường cao và đáy nên $V_{A^{'} . B B^{'} C^{'} C} = \frac{1}{3} \cdot V_{A A^{'} D^{'} D . B B^{'} C^{'} C} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^{3} \sqrt{2}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$ .

Bài 7.44 trang 65 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AB // CD và AB = BC = DA = a, CD = 2a. Biết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA = a $\sqrt{2}$ . Tính theo a khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và thể tích của khối chóp S.ABCD.

Lời giải:

Bài 7.44 trang 65 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) nên SO $⊥$ (ABCD).

Khi đó d(S, (ABCD)) = SO.

Kẻ AH $⊥$ DC tại H, BK $⊥$ DC tại K.

Khi đó ABKH là hình chữ nhật nên AB = HK = a.

Xét $∆$ AHD và $∆$ BKC có: AD = BC = a, $\hat{A H D} = \hat{B K C} = 90 °$ , $\hat{A D H} = \hat{B C K}$ (do ABCD là hình thang cân).

Do đó $∆$ AHD = $∆$ BKC, suy ra DH = CK = $\frac{D C - H K}{2} = \frac{2 a - a}{2} = \frac{a}{2}$ ;

CH = HK + CK = a+ $\frac{a}{2} = \frac{3 a}{2}$ .

Xét tam giác AHD vuông tại H, có AH = $\sqrt{A D^{2} - D H^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Xét tam giác AHC vuông tại H, có AC = $\sqrt{A H^{2} + H C^{2}} = \sqrt{\frac{3 a^{2}}{4} + \frac{9 a^{2}}{4}} = a \sqrt{3}$ .

Vì AB // CD nên $\frac{A O}{O C} = \frac{A B}{C D} \Rightarrow \frac{A O}{O C} = \frac{a}{2 a} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow A O = \frac{1}{3} A C = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

Xét tam giác SOA vuông tại O, có SO = $\sqrt{S A^{2} - A O^{2}}$ $= \sqrt{2 a^{2} - \frac{a^{2}}{3}} = \frac{a \sqrt{15}}{3}$ .

Khi đó d(S, (ABCD)) $= \frac{a \sqrt{15}}{3}$ .

Ta có $S_{A B C D} = \frac{1}{2} \cdot (A B + C D) \cdot A H$ $= \frac{1}{2} \cdot (a + 2 a) \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2}$ $= \frac{3 a^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

Vậy $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C D} \cdot S O$ $= \frac{1}{3} \cdot \frac{3 a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a \sqrt{15}}{3}$ $= \frac{a^{3} \sqrt{45}}{12}$ $= \frac{a^{3} \sqrt{5}}{4}$ .