Bài 7.39 trang 65 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 7 trang 64

Bài 7.39 trang 65 Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cân tại A, tam giác BCD cân tại D. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh rằng BC $\perp$ (AID).

b) Kẻ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh rằng AH $\perp$ (BCD).

c) Kẻ đường cao IJ của tam giác AID. Chứng minh rằng IJ là đường vuông góc chung của AD và BC.

Lời giải:

a) Vì tam giác ABC cân tại A, AI là trung tuyến nên AI đồng thời là đường cao hay AI $\perp$ BC.

Vì tam giác BCD cân tại D, DI là trung tuyến nên DI đồng thời là đường cao hay DI $\perp$ BC.

Có AI$\perp$BC và DI $\perp$ BC nên BC $\perp$ (AID).

b) Do AH là đường cao của tam giác AID nên AH $\perp$ DI.

Vì BC $\perp$ (AID) nên BC $\perp$ AH mà AH $\perp$ DI nên AH $\perp$ (BCD).

c) Vì BC $\perp$ (AID) nên BC $\perp$ IJ, mà IJ là đường cao của tam giác AID nên IJ $\perp$ AD. Do đó IJ là đường vuông góc chung của AD và BC.