Bài 7.40 trang 65 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 7 trang 64

Bài 7.40 trang 65 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a và $\widehat{CAB}$ = 30^o. Biết SA $\perp$ (ABC) và SA = a$\sqrt{2}$ .

a) Chứng minh rằng (SBC) $\perp$ (SAB).

b) Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng SC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

Lời giải:

a) Do tam giác ABC vuông tại B nên AB $\perp$ BC.

Vì SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ BC mà AB $\perp$ BC nên BC $\perp$ (SAB), suy ra (SBC) $\perp$ (SAB).

b) Kẻ AD $\perp$ SC tại D. Khi đó d(A, SC) = AD.

Vì SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ AC nên tam giác SAC vuông tại A.

Xét tam giác ABC vuông tại B, sin$\widehat{CAB}$ = $\frac{BC}{AC}$

$\Rightarrow$AC = $\frac{BC}{\sin \widehat{CAB}}=\frac{a}{\sin 30°}$= 2a.

Xét tam giác SAC vuông tại A, AD là đường cao, có:

$\frac{1}{A{D}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$$=\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{4a^2}=\frac{3}{4a^2}$$\Rightarrow AD=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$.

Vậy d(A, SC) $=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$ .

Kẻ AE $\perp$ SB tại E.

Vì BC $\perp$ (SAB) nên BC $\perp$ AE mà AE $\perp$ SB nên AE $\perp$ (SBC).

Khi đó d(A, (SBC)) = AE.

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AB = $\frac{BC}{\tan 30°}=\frac{a}{\tan 30°}$= a$\sqrt{3}$.

Vì SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ AB, suy ra tam giác SAB vuông tại A.

Xét tam giác SAB vuông tại A, AE là đường cao, có: $\frac{1}{A{E}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{B}^2}$ .

$=\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{3a^2}=\frac{5}{6a^2}$$\Rightarrow$AE = a$\sqrt{\frac{6}{5}}$

Vậy d(A, (SBC)) = a$\sqrt{\frac{6}{5}}$ .