Giải Toán 11 trang 59 Tập 2 Kết nối tri thức

Giải Toán 11 trang 59 Tập 2

Bài 7.22 trang 59 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là một tam giác đều và (SAD) $\perp$ (ABCD).

a) Tính chiều cao của hình chóp.

b) Tính khoảng cách giữa BC và (SAD).

c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa AB và SD.

Lời giải:

a) Kẻ SE $\perp$ AD tại E.

Vì (SAD) $\perp$ (ABCD), (SAD) $\cap$ (ABCD) = AD mà SE $\perp$ AD nên SE $\perp$ (ABCD).

Vì tam giác SAD là tam giác đều cạnh a nên SE = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Vậy chiều cao của hình chóp bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

b) Vì ABCD là hình vuông nên BC // AD, suy ra BC // (SAD).

Khi đó d(BC, (SAD)) = d(B, (SAD)).

Vì ABCD là hình vuông nên AB $\perp$ AD mà SE $\perp$ (ABCD) nên SE $\perp$ AB.

Vì AB $\perp$ AD và SE $\perp$ AB nên AB $\perp$ (SAD).

Do đó d(BC, (SAD)) = d(B, (SAD)) = AB = a.

c) Kẻ AF $\perp$ SD tại F, mà AB $\perp$ (SAD) nên AB $\perp$ AF.

Vì AF $\perp$ SD và AB $\perp$ AF nên AF là đường vuông góc chung của AB và SD.

Vì tam giác SAD đều có AF là đường cao nên AF = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vậy d(AB, SD) = AF = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Bài 7.23 trang 59 Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'có AA' = a, AB = b, BC = c.

a) Tính khoảng cách giữa CC' và (BB'D'D).

b) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa AC và B'D'.

Lời giải:

a) Kẻ CH $\perp$ BD tại H.

Vì BB' $\perp$ (ABCD) nên BB' $\perp$ CH mà CH $\perp$ BD nên CH $\perp$ (BB'D'D).

Vì BB'C'C là hình chữ nhật nên BB' // CC' nên CC' // (BB'D'D).

Khi đó d(CC', (BB'D'D)) = d(C, (BB'D'D)) = CH.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD = b; AD = BC = c.

Xét tam giác BCD vuông tại C, CH là đường cao nên

$\frac{1}{C{H}^2}=\frac{1}{B{C}^2}+\frac{1}{C{D}^2}$$=\frac{1}{c^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{b^2+c^2}{b^2{c}^2}$$\Rightarrow CH=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}$.

Vậy d(CC', (BB'D'D)) $=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}$ .

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, O' là giao điểm của A'C' và B'D'.

Do ABCD là hình chữ nhật nên O là trung điểm của AC, BD và A'B'C'D' là hình chữ nhật nên O' là trung điểm của A'C' và B'D'.

Có AA' // CC' và AA' = CC' (do chúng cùng song song và bằng BB’) nên AA'C'C là hình bình hành mà AA' $\perp$ (ABCD) nên AA' $\perp$ AC. Do đó AA'C'C là hình chữ nhật.

Do AA'C'C là hình chữ nhật và O là trung điểm của AC, O' là trung điểm của A'C' nên OO' $\perp$ AC và OO' = AA' = a.

Có BB' // DD' và BB' = DD' (do chúng cùng song song và bằng AA') nên BB'D'D là hình bình hành mà BB' $\perp$ (ABCD) nên BB' $\perp$ BD. Do đó BB'D'D là hình chữ nhật.

Vì BB'D'D là hình chữ nhật và O là trung điểm của BD, O' là trung điểm của B'D' nên OO' $\perp$ B'D'.

Vì OO' $\perp$ AC và OO' $\perp$ B'D' nên OO' là đường vuông góc chung của AC và B'D'.

Khi đó d(AC, B'D') = OO' = a.

Bài 7.24 trang 59 Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng:

a) MN là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Các cặp cạnh đối diện trong tứ diện ABCD đều vuông góc với nhau.

Lời giải:

a) Xét tam giác ADB có AD = BD = a nên tam giác ADB cân tại D.

Vì M là trung điểm của AB nên DM là trung tuyến.

Vì tam giác ADB cân tại D, DM là trung tuyến nên DM đồng thời là đường cao hay DM $\perp$ AB.

Xét tam giác ABC có AC = BC = a nên tam giác ABC cân tại C mà CM là trung tuyến nên CM là đường cao hay CM $\perp$ AB.

Vì DM $\perp$ AB và CM $\perp$ AB nên AB $\perp$ (DCM), suy ra AB $\perp$ MN.

Xét tam giác ADC có AD = AC = a nên tam giác ACD cân tại A mà AN là trung tuyến nên AN đồng thời là đường cao hay AN $\perp$ CD.

Xét tam giác BCD có BD = BC = a nên tam giác BCD cân tại B mà BN là trung tuyến nên BN đồng thời là đường cao hay BN $\perp$ CD.

Vì AN $\perp$ CD và BN $\perp$ CD nên CD $\perp$ (ABN), suy ra CD $\perp$ MN.

Vì AB $\perp$ MN và CD $\perp$ MN nên MN là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Vì AB $\perp$ (DCM) nên AB $\perp$ CD.

Gọi E là trung điểm của BC.

Xét tam giác ABC có AB = AC = a nên tam giác ABC cân tại A mà AE là trung tuyến nên AE đồng thời là đường cao hay AE $\perp$ BC.

Xét tam giác BDC có BD = CD = a nên tam giác BCD cân tại D mà DE là trung tuyến nên DE đồng thời là đường cao hay DE $\perp$ BC.

Có AE $\perp$ BC và DE $\perp$ BC nên BC $\perp$ (ADE), suy ra BC $\perp$ AD.

Gọi F là trung điểm của BD.

Xét tam giác ADB có AB = AD = a nên tam giác ADB cân tại A mà AF là trung tuyến nên AF đồng thời là đường cao hay AF $\perp$ BD.

Xét tam giác BCD có BC = CD = a nên tam giác BCD cân tại C mà CF là trung tuyến nên CF đồng thời là đường cao hay CF $\perp$ BD.

Vì AF $\perp$ BD và CF $\perp$ BD nên BD $\perp$ (ACF), suy ra BD $\perp$ AC.

Bài 7.25 trang 59 Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'có cạnh a.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (D'AC)và (BC'A') song song với nhau và DB' vuông góc với hai mặt phẳng đó.

b) Xác định các giao điểm E, F của DB' với (D'AC), (BC'A'). Tính d((D'AC), (BC'A')).

Lời giải:

a) Vì AA' // CC' và AA' = CC' (do chúng cùng song song và bằng BB') nên AA'C'C là hình bình hành, suy ra AC // A'C' do đó A'C' // (D'AC).

Vì AB // C'D' và AB = C'D' (do chúng cùng song song và bằng CD) nên ABC'D' là hình bình hành suy ra BC' // AD', do đó BC' // (D'AC).

Vì A'C' // (D'AC) và BC' // (D'AC) nên (BC'A') // (D'AC).

Vì ABCD là hình vuông nên AC $\perp$ BD.

Vì BB' $\perp$ (ABCD) nên BB' $\perp$ AC mà AC $\perp$ BD nên AC $\perp$ (BB'D), suy ra AC $\perp$ DB'.

Vì AC // A'C' mà AC $\perp$ DB' nên A'C' $\perp$ DB'.

Do AD $\perp$ (ABB'A') nên AD $\perp$ A'B.

Vì ABB'A' là hình vuông nên AB' $\perp$ A'B mà AD $\perp$ A'B nên A'B $\perp$ (ADB').

Suy ra A'B $\perp$ DB'.

Có A'C' $\perp$ DB' và A'B $\perp$ DB' nên DB' $\perp$ (BC'A').

Vì A'D' // BC và A'D' = BC (do chúng cùng song song và bằng AD) nên A'D'CB là hình bình hành, suy ra A'B // D'C mà A'B $\perp$ DB' nên D'C $\perp$ DB'.

Có AC $\perp$ DB' và D'C $\perp$ DB' nên DB' $\perp$ (D'AC).

b) Gọi O và O' lần lượt là tâm của hai hình vuông ABCD và A'B'C'D'.

Trong mặt phẳng (BDD'B'), có DB' $\cap$ D'O = E. Khi đó DB' $\cap$ (D'AC) = E.

Trong mặt phẳng (BDD'B'), có DB' $\cap$ BO' = F. Khi đó DB' $\cap$ (BC'A') = F.

Vì (BC'A') // (D'AC) nên d((D'AC), (BC'A')) = d(E, (BC'A')) = EF (vì DB' $\perp$ (BC'A')).

Vì DB' $\perp$ (BC'A') nên DB' $\perp$ BO' và DB' $\perp$ (D'AC) nên DB' $\perp$ D'O, suy ra BO' // D'O.

Xét tam giác DBF, có OE // BF nên theo định lí Ta lét, ta có: $\frac{DE}{EF}=\frac{DO}{OB}=1$$\Rightarrow DE=EF$ .

Xét tam giác B'D'E có O'F // D'E nên theo định lí Ta lét, ta có: $\frac{B^{\text{'}}F}{EF}=\frac{B^{\text{'}}{O}^{\text{'}}}{O^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=1$$\Rightarrow$B'F = EF.

Do đó B'F = EF = DE $\Rightarrow$EF = $\frac{1}{3}$DB' .

Xét tam giác BCD vuông tại C, có $B{D}^2=B{C}^2+C{D}^2=a^2+a^2=2a^2$.

Xét tam giác B'BD vuông tại B, có $B^{\text{'}}{D}^2=B^{\text{'}}{B}^2+B{D}^2=a^2+2a^2=3a^2$

$\Rightarrow B^{\text{'}}D=a\sqrt{3}$$\Rightarrow EF=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Vậy d((D'AC), (BC'A')) = $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ .

Bài 7.26 trang 59 Toán 11 Tập 2: Giá đỡ ba chân ở Hình 7.90 đang được mở sao cho ba gốc chân cách đều nhau một khoảng cách bằng 110 cm. Tính chiều cao của giá đõ, biết các chân của giá đỡ dài 129 cm.

Lời giải:

Giá đỡ ba chân ở Hình 7.90 có dạng hình chóp đều S.ABC.

Vì S.ABC là hình chóp đều nên SH $\perp$ (ABC) với H là trọng tâm của tam giác ABC.

Gọi AH $\cap$ BC tại M. Khi đó M là trung điểm của BC.

Vì ABC là tam giác đều cạnh 110 cm, AM là đường cao nên AM = $\frac{110\sqrt{3}}{2}$ (cm).

Vì AH = $\frac{2}{3}$AM = $\frac{110\sqrt{3}}{2}$ (cm).

Xét tam giác SHA vuông tại H, có:

SH = $\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}$$=\sqrt{{129}^2-{\left(\frac{110\sqrt{3}}{3}\right)}^2}$$=\sqrt{\frac{37823}{3}}\approx 112,28$ (cm).

Vậy chiều cao giá đỡ khoảng 112,28 cm.

Bài 7.27 trang 59 Toán 11 Tập 2: Một bể nước có đáy thuộc mặt phẳng nằm ngang. Trong trường hợp này, độ sâu của bể là khoảng cách giữa mặt nước và đáy bể. Giải thích vì sao để đo độ sâu của bể, ta có thể thả quả dọi chạm đáy bể và đo chiều dài của đoạn dây dọi nằm trong bể nước.

Lời giải:

Giả sử mặt phẳng đáy bể nước là mặt phẳng (P), mặt phẳng mặt nước là mặt phẳng (Q), dây dọi là đường thẳng MH.

Khi đó ta có (P) // (Q). Mà d((P), (Q)) = d(M, (P)), với M $\in$ (Q).

Lại có, sợi dây của quả dọi có phương vuông góc với mặt phẳng nước và đáy bể, do đó MH $\perp$ (P).

Khi đó d(M, (P)) = MH, MH chính là độ dài đoạn dây dọi nằm trong bể nước.

Vậy để đo độ sâu của bể, ta có thể thả quả dọi chạm đáy bể và đo chiều dài của đoạn dây dọi nằm trong bể nước.

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải Toán 11 trang 54 Tập 2

Giải Toán 11 trang 55 Tập 2

Giải Toán 11 trang 56 Tập 2

Giải Toán 11 trang 57 Tập 2

Giải Toán 11 trang 58 Tập 2

Giải Toán 11 trang 59 Tập 2