Bài 7.23 trang 59 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 26: Khoảng cách

Bài 7.23 trang 59 Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'có AA' = a, AB = b, BC = c.

a) Tính khoảng cách giữa CC' và (BB'D'D).

b) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa AC và B'D'.

Lời giải:

a) Kẻ CH $\perp$ BD tại H.

Vì BB' $\perp$ (ABCD) nên BB' $\perp$ CH mà CH $\perp$ BD nên CH $\perp$ (BB'D'D).

Vì BB'C'C là hình chữ nhật nên BB' // CC' nên CC' // (BB'D'D).

Khi đó d(CC', (BB'D'D)) = d(C, (BB'D'D)) = CH.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD = b; AD = BC = c.

Xét tam giác BCD vuông tại C, CH là đường cao nên

$\frac{1}{C{H}^2}=\frac{1}{B{C}^2}+\frac{1}{C{D}^2}$$=\frac{1}{c^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{b^2+c^2}{b^2{c}^2}$$\Rightarrow CH=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}$.

Vậy d(CC', (BB'D'D)) $=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}$ .

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, O' là giao điểm của A'C' và B'D'.

Do ABCD là hình chữ nhật nên O là trung điểm của AC, BD và A'B'C'D' là hình chữ nhật nên O' là trung điểm của A'C' và B'D'.

Có AA' // CC' và AA' = CC' (do chúng cùng song song và bằng BB’) nên AA'C'C là hình bình hành mà AA' $\perp$ (ABCD) nên AA' $\perp$ AC. Do đó AA'C'C là hình chữ nhật.

Do AA'C'C là hình chữ nhật và O là trung điểm của AC, O' là trung điểm của A'C' nên OO' $\perp$ AC và OO' = AA' = a.

Có BB' // DD' và BB' = DD' (do chúng cùng song song và bằng AA') nên BB'D'D là hình bình hành mà BB' $\perp$ (ABCD) nên BB' $\perp$ BD. Do đó BB'D'D là hình chữ nhật.

Vì BB'D'D là hình chữ nhật và O là trung điểm của BD, O' là trung điểm của B'D' nên OO' $\perp$ B'D'.

Vì OO' $\perp$ AC và OO' $\perp$ B'D' nên OO' là đường vuông góc chung của AC và B'D'.

Khi đó d(AC, B'D') = OO' = a.