Giải Toán 11 trang 48 Tập 2 Kết nối tri thức

Với giải bài tập Toán 11 trang 48 Tập 2 trong Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 48 Tập 2.

1 221 30/11/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 trang 48 Tập 2

Luyện tập 4 trang 48 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AB = AC = a, $\hat{B A C} = 120 °, S A = \frac{a}{2 \sqrt{3}}$ . Gọi M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh rằng $\hat{S M A}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A].

b) Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A].

Lời giải:

Luyện tập 4 trang 48 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

a) Xét tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A mà AM là trung tuyến nên AM là đường cao hay AM ⊥ BC.

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC mà AM ⊥ BC, suy ra BC ⊥ (SAM), do đó BC ⊥ SM.

Vì AM ⊥ BC và BC ⊥ SM nên $\hat{S M A}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A].

b) Áp dụng định lí Côsin cho tam giác ABC, có:

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 \cdot A B \cdot A C \cdot c o s \hat{B A C}$ $= a^{2} + a^{2} - 2 \cdot a \cdot a \cdot c o s 120 °$ $= 2 a^{2} + 2 a^{2} \cdot \frac{1}{2} = 3 a^{2}$ $\Rightarrow B C = a \sqrt{3}$ .

Vì M là trung điểm của BC nên $B M = M C = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Xét tam giác AMB vuông tại M, có $A M = \sqrt{A B^{2} - B M^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{3 a^{2}}{4}} = \frac{a}{2}$

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AM.

Xét tam giác SAM vuông tại A, có: $\tan \hat{S M A} = \frac{S A}{A M} = \frac{\frac{a}{2 \sqrt{3}}}{\frac{a}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ $\Rightarrow \hat{S M A} = 30 °$ .

Vậy số đo của góc nhị diện [S, BC, A] bằng 30°.

Vận dụng 1 trang 48 Toán 11 Tập 2: Trong cửa sổ ở Hình 7.56, cánh và khung cửa là các nửa hình tròn có đường kính 80 cm, bản lề được đính ở điểm chính giữa O của các cung tròn khung và cánh cửa. Khi cửa mở, đường kính của khung và đường kính của cánh song song với nhau và cách nhau một khoảng d; khi cửa đóng, hai đường kính đó trùng nhau. Hãy tính số đo của góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh, khung cửa khi d = 40 cm.

Lời giải:

Vận dụng 1 trang 48 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Gọi I, J lần lượt là tâm của nửa hình tròn khung cửa và nửa hình tròn cánh cửa. Khi cửa mở, đường kính của khung và đường kính của cánh song song với nhau, do đó chúng cũng song song với giao tuyến m (qua O) của hai mặt phẳng tương ứng chứa khung và cánh cửa.

Vì O là điểm chính giữa của các cung tròn khung cửa và cánh cửa nên OI vuông góc với đường kính khung cửa, OJ vuông góc với đường kính cánh cửa. Vậy OI, OJ cùng vuông góc với m. Do đó $\hat{I O J}$ là một góc phẳng nhị diện của góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh và khung cửa.

Vì m ⊥ OI, m ⊥ OJ nên m ⊥ (OIJ) ⇒ m ⊥ IJ.

Vậy IJ cũng vuông góc với các đường kính cánh cửa và khung cửa. Do đó IJ = 40 cm.

Mặt khác OI = OJ = 80 : 2 = 40 cm, suy ra tam giác OIJ đều và $\hat{I O J} = 60 °$ .

Vậy để khoảng cách d giữa đường kính cánh cửa và đường kính khung cửa bằng 40 cm thì góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh và khung cửa có số đo là 60°.

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải Toán 11 trang 44 Tập 2

Giải Toán 11 trang 45 Tập 2

Giải Toán 11 trang 46 Tập 2

Giải Toán 11 trang 47 Tập 2

Giải Toán 11 trang 48 Tập 2

Giải Toán 11 trang 49 Tập 2

Giải Toán 11 trang 50 Tập 2

Giải Toán 11 trang 51 Tập 2

Giải Toán 11 trang 52 Tập 2

Giải Toán 11 trang 53 Tập 2

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: