Giải Toán 11 trang 39 Tập 1 Kết nối tri thức

Với giải bài tập Toán 11 trang 39 Tập 1 trong Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản sách Kết nối tri thức Tập 1 hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 39 Tập 1.

1 848 22/03/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 trang 39 Tập 1

Bài 1.19 trang 39 Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

b) $2 \cos x = - \sqrt{2}$ ;

c) $\sqrt{3} \tan (\frac{x}{2} + 15 °) = 1$ ;

d) $\cot (2 x - 1) = \cot \frac{π}{5}$ .

Lời giải:

a) $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{π}{3}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{3} + k 2 π \\ x = π - \frac{π}{3} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{3} + k 2 π \\ x = \frac{2 π}{3} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x = \frac{π}{3} + k 2 π, k \in ℤ$ và $x = \frac{2 π}{3} + k 2 π, k \in ℤ$ .

b) $2 \cos x = - \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow \cos x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{3 π}{4}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{3 π}{4} + k 2 π \\ x = - \frac{3 π}{4} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x = \frac{3 π}{4} + k 2 π, k \in ℤ$ và $x = - \frac{3 π}{4} + k 2 π, k \in ℤ$ .

c) $\sqrt{3} \tan (\frac{x}{2} + 15 °) = 1$

$\Leftrightarrow \tan (\frac{x}{2} + 15 °) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Leftrightarrow \tan (\frac{x}{2} + 15 °) = \tan 30 °$

$\Leftrightarrow \frac{x}{2} + 15 ° = 30 ° + k 180 °, k \in ℤ$

$\Leftrightarrow x = 30 ° + k 360 °, k \in ℤ$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 30° + k360°, k ∈ ℤ.

d) $\cot (2 x - 1) = \cot \frac{π}{5}$

$\Leftrightarrow 2 x - 1 = \frac{π}{5} + k π, k \in ℤ$

$\Leftrightarrow x = \frac{π}{10} + \frac{1}{2} + k \frac{π}{2}, k \in ℤ$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = \frac{π}{10} + \frac{1}{2} + k \frac{π}{2}, k \in ℤ$ .

Bài 1.20 trang 39 Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) sin 2x + cos 4x = 0;

b) cos 3x = – cos 7x.

Lời giải:

a) sin 2x + cos 4x = 0

⇔ cos 4x = – sin 2x

⇔ cos 4x = sin(– 2x)

⇔ cos 4x = cos $(\frac{π}{2} - (- 2 x))$

⇔ cos 4x = cos $(\frac{π}{2} + 2 x)$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 4 x = \frac{π}{2} + 2 x + k 2 π \\ 4 x = - (\frac{π}{2} + 2 x) + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k π \\ x = - \frac{π}{12} + k \frac{π}{3} \end{array} (k \in ℤ)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x = \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ$ và $x = - \frac{π}{12} + k \frac{π}{3}, k \in ℤ$ .

b) cos 3x = – cos 7x

⇔ cos 3x = cos(π + 7x)

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3 x = π + 7 x + k 2 π \\ 3 x = - (π + 7 x) + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{π}{4} + k \frac{π}{2} \\ x = - \frac{π}{10} + k \frac{π}{5} \end{array} (k \in ℤ)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x = - \frac{π}{4} + k \frac{π}{2}, k \in ℤ$ và $x = - \frac{π}{10} + k \frac{π}{5}, k \in ℤ$ .

Bài 1.21 trang 39 Toán 11 Tập 1: Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu v₀ = 500 m/s hợp với phương ngang một góc α. Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình $y = \frac{- g}{2 v_{0}^{2} \cos^{2} α} x^{2} + x \tan α$ , ở đó g = 9,8 m/s² là gia tốc trọng trường.

a) Tính theo góc bắn α tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm quả đạn chạm đất).

b) Tìm góc bắn α để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m.

c) Tìm góc bắn α để quả đạn đạt độ cao lớn nhất.

Lời giải:

Vì v₀ = 500 m/s, g = 9,8 m/s² nên ta có phương trình quỹ đạo của quả đạn là

$y = \frac{- 9,8}{{2.500}^{2} . \cos^{2} α} x^{2} + x \tan α$ hay $y = \frac{- 49}{2 500 000 \cos^{2} α} x^{2} + x \tan α$ .

a) Quả đạn chạm đất khi y = 0, khi đó $\frac{- 49}{2 500 000 \cos^{2} α} x^{2} + x \tan α = 0$

$\Leftrightarrow x (\frac{- 49}{2 500 000 \cos^{2} α} x + \tan α) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{2 500 000 \cos^{2} α . \tan α}{49} \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{2 500 000 \cos α . \sin α}{49} \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{1 250 000 \sin 2 α}{49} \end{array}$

Loại x = 0 (đạn pháo chưa được bắn).

Vậy tầm xa mà quả đạn đạt tới là $x = \frac{1250000 \sin 2 α}{49}$ (m).

b) Để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m thì x = 22 000 m.

Khi đó $\frac{1250000 \sin 2 α}{49} = 22 000$ ⇔ sin 2α = $\frac{539}{625}$

Gọi $β \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ là góc thỏa mãn $\sin β = \frac{539}{625}$ . Khi đó ta có: sin 2α = sin β

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 α = β + k 2 π \\ 2 α = π - β + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} α = \frac{β}{2} + k π \\ α = \frac{π}{2} - \frac{β}{2} + k π \end{array} (k \in ℤ)$ .

c) Hàm số $y = \frac{- 49}{2 500 000 \cos^{2} α} x^{2} + x \tan α$ là một hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol có tọa độ đỉnh I(x_I; y_I) là

$\{\begin{cases} x_{I} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{\tan α}{2. \frac{- 49}{2 500 000 \cos^{2} α}} = \frac{1 250 000 \cos α \sin α}{49} \\ y_{I} = f (x_{I}) = \frac{- 49}{2 500 000 \cos^{2} α} {(\frac{1 250 000 \cos α \sin α}{49})}^{2} + \frac{1 250 000 \cos α \sin α}{49} \tan α \end{cases}$