Giải Toán 10 trang 86 Tập 2 Kết nối tri thức

Giải Toán 10 trang 86 Tập 2

Luyện tập 4 trang 86 Toán 10 Tập 2: Có ba hộp A, B, C. Hộp A có chứa ba thẻ mang số 1, số 2, số 3. Hộp B chứa hai thẻ mang số 2 và số 3. Hộp C chứa hai thẻ mang số 1 và số 2. Từ mỗi hộp ta rút ra ngẫu nhiên một thẻ.

a) Vẽ sơ đồ cây để mô tả các phần tử của không gian mẫu.

b) Gọi M là biến cố: “Trong ba thẻ rút ra có ít nhất một thẻ số 1”. Biến cố $\overline{M}$ là tập con nào của không gian mẫu?

c) Tính P(M) và P($\overline{M}$)

Lời giải

a) Kí hiệu 1, 2, 3 tương ứng là thẻ mang số 1, 2, 3. Khi đó ta có sơ đồ hình cây mô tả các phần tử của không gian mẫu như sau:

Các kết quả có thể khi rút mỗi hộp một thẻ là: 121; 122; 131; 132; 221; 222; 231; 232; 321; 322; 331; 332.

⇒ Ω ={121; 122; 131; 132; 221; 222; 231; 232; 321; 322; 331; 332}

⇒ n(Ω) = 12.

b) M là biến cố: “Trong ba thẻ rút ra có ít nhất một thẻ số 1”.

Khi đó M không xảy ra khi trong ba thẻ rút ra không có thẻ số 1.

Suy ra biến cố đối của biến cố M là $\overline{M}$: “Trong ba thẻ rút ra không có thẻ số 1”.

⇒ $\overline{M}$ = {222; 232; 322; 332}

c) Với $\overline{M}$ = {222; 232; 322; 332}

⇒ n($\overline{M}$) = 4.

⇒ $P\left(\overline{M}\right)=\frac{n\left(\overline{M}\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.

Mặt khác, ta có P($\overline{M}$) = 1 – P(M)

⇒ P(M) = 1 – P($\overline{M}$) = 1 – $\frac{1}{3}$ = $\frac{2}{3}$.

Vậy P(M) = $\frac{2}{3}$, P($\overline{M}$) = $\frac{1}{3}$.

Vận dụng trang 86 Toán 10 Tập 2:

Phép thử ở tình huống trên là chọn ngẫu nhiên 6 số trong 45 số: 1; 2; 3; …; 45.

Lời giải

Không gian mẫu Ω là tập hợp tất cả các tập con có sáu phần tử của tập hợp {1; 2; …; 45}.

Khi đó số phần tử của Ω là n(Ω) = $C_{45}^6$ = 8 145 060.

Gọi F: “ Bạn An trúng giải độc đắc”, khi đó bạn An chọn bộ số {5; 13; 20; 31; 32; 35}.

Chỉ có một kết quả thuận lợi cho biến cố F là: {5; 13; 20; 31; 32; 35}.

⇒ n(F) = 1.

⇒$P\left(F\right)=\frac{n\left(F\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{1}{8145060}$.

Vậy xác suất để bạn An trúng giải độc đắc là $\frac{1}{8\text{ 145 060}}$.

Gọi G: “ Bạn An trúng giải nhất”, khi đó bạn An chọn bộ sáu số trong đó có năm số thuộc tập hợp {5; 13; 20; 31; 32; 35}, còn một số còn lại không thuộc tập hợp {5; 13; 20; 31; 32; 35}.

Khi đó G là tập hợp tất cả các tập con gồm sáu phần tử của tập hợp {1; 2; …; 45}, trong đó năm phần tử của nó thuộc tập hợp {5; 13; 20; 31; 32; 35}, còn một phần tử còn lại không thuộc tập hợp {5; 13; 20; 31; 32; 35}.

Mỗi phần tử của tập G được hình thành qua hai công đoạn:

+ Công đoạn 1: Chọn năm phần tử trong tập {5; 13; 20; 31; 32; 35}, có  $C_6^5$ = 6 (cách chọn).

+ Công đoạn 2: Chọn một phần tử còn lại trong 39 phần tử không thuộc tập {5; 13; 20; 31; 32; 35}, có  $C_{39}^1$ = 39 (cách chọn).

Theo quy tắc nhân, tập G có 6.39 = 234 (phần tử).

⇒ n(G) = 234.

⇒$P\left(G\right)=\frac{n\left(G\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{234}{8145060}=\frac{39}{1\text{ 357 510}}$.

Vậy xác suất để bạn An trúng giải nhất là $\frac{39}{\text{1 357 510}}$.

Bài tập 9.6 trang 86 Toán 10 Tập 2: Chọn ngẫu nhiên một gia đình có ba con và quan sát giới tính của ba người con này. Tính xác suất của các biến cố sau:

a) A: “Con đầu là gái”;

b) B: “Có ít nhất một người con trai”.

Lời giải

Kí hiệu T, G tương ứng là con trai và con gái.

Vì ba người con trong gia đình đó có thể là trai hoặc gái nên ta có sơ đồ hình cây sau:

Từ sơ đồ hình cây ta thấy có 8 kết quả có thể là: TTT; TTG; TGT; TGG; GTT; GTG; GGT; GGG.

⇒ Ω = {TTT; TTG; TGT; TGG; GTT; GTG; GGT; GGG}.

⇒ n(Ω) = 8.

a) Với biến cố A: “Con đầu là con gái”  

⇒ A = { GTT; GTG; GGT; GGG}

⇒ n(A) = 4.

⇒ $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{4}{8}=\mathrm{0,5}$.

Vậy P(A) = 0,5.

b) Xét biến cố B:  “Có ít nhất một người con trai”.

⇒ B ={TTT; TTG; TGT; TGG; GTT; GTG; GGT}.

⇒ n(B) = 7.

⇒ $P\left(B\right)=\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{7}{8}$.

Vậy P(B) = $\frac{7}{8}$.

Bài tập 9.7 trang 86 Toán 10 Tập 2: Một hộp đựng các tấm thẻ đánh số 10; 11; ....; 20. Rút ngẫu nhiên từ hộp hai tấm thẻ. Tính xác suất của các biến cố sau:

a) C: “Cả hai thẻ rút được đều mang số lẻ”;

b) D: “Cả hai thẻ rút được đều mang số chẵn”.

Lời giải

Rút hai thẻ từ 11 thẻ có $C_{11}^2$ = 55 (cách) suy ra n(Ω) = 55.

a)  Với biến cố C: “Cả hai thẻ rút được đều mang số lẻ”;

Do cả hai thẻ rút được đều mang số lẻ, nên 2 thẻ rút ra thuộc tập {11; 13; 15; 17; 19}.

⇒ Số cách chọn là: $C_5^2$ = 10 ⇒ n(C) = 10.

⇒ $P\left(C\right)=\frac{n\left(C\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{10}{55}=\frac{2}{11}$.

Vậy P(C)= $\frac{2}{11}$.

b) Với biến cố D: “Cả hai thẻ rút được đều mang số chẵn”.

Do cả hai thẻ được rút ra đều mang số chẵn, nên 2 thẻ rút ra thuộc tập {10; 12; 14; 16; 18; 20}

⇒ Số cách chọn là: $C_6^2$ = 15 ⇒ n(D) = 15.

⇒ $P\left(D\right)=\frac{n\left(D\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{15}{55}=\frac{3}{11}$.

Vậy P(D) = $\frac{3}{11}$.

Bài tập 9.8 trang 86 Toán 10 Tập 2: Một chiếc hộp đựng 6 viên bi trắng, 4 viên bi đỏ và 2 viên bi đen. Chọn ngẫu nhiên ra 6 viên bi. Tính xác suất để trong 6 viên bi đó có 3 viên bi trắng, 2 viên bi đỏ và 1 viên bi đen.

Lời giải

Chọn 6 viên bi trong 12 viên bi thì số cách chọn là: $C_{12}^6$ = 924 cách, hay n(Ω) = 924.

Gọi biến cố A: “Trong 6 viên bi được chọn ra có 3 viên bi trắng, 2 viên bi đỏ và 1 viên bi đen”.

Để chọn ra 3 viên bi trắng, 2 viên bi đỏ và 1 viên bi đen” ta phải thực hiện qua các công đoạn sau:

+ Công đoạn 1: Chọn 3 viên bi trắng trong 6 viên, số cách: $C_6^3$ = 20.

+ Công đoạn 2: Chọn 2 viên bi đỏ trong 4 viên, số cách: $C_4^2$ = 6.

+ Công đoạn 3: Chọn 1 viên bi đen trong 2 viên, số cách: $C_2^1$ = 2.

Theo quy tắc nhân ta có số cách chọn ra 3 viên bi trắng, 2 viên bi đỏ và 1 viên bi đen” là: 20.6.2 = 240 (cách).

⇒ n(A) = 240.

⇒ $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{240}{924}=\frac{20}{77}$.

Vậy P(A) = $\frac{20}{77}$.

Bài tập 9.9 trang 86 Toán 10 Tập 2:  Gieo liên tiếp một con xúc xắc cân đối và một đồng xu cân đối.

a) Vẽ sơ đồ hình cây mô tả các phần tử của không gian mẫu.

b) Tính xác suất của các biến cố sau:

F: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa”;

G: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp hoặc số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 5”. 

Lời giải

a) Kí hiệu S là mặt sấp, N là mặt ngửa; 1, 2, 3, 4, 5,6 lần lượt là số chấm xuất hiện của con xúc xắc.

Khi đó, ta có sơ đồ cây mô tả các phần tử của không gian mẫu như sau:

Từ sơ đồ hình cây ta thấy có 12 kết quả có thể là: S1; S2; S3; S4; S5; S6; N1; N2; N3; N4; N5; N6.

⇒ Ω = { S1; S2; S3; S4; S5; S6; N1; N2; N3; N4; N5; N6}.

⇒ n(Ω) = 12.

b)

+ Với biến cố  F: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa”

⇒ F = {N1; N2; N3; N4; N5; N6}.

⇒ n(F) = 6

⇒  $P\left(F\right)=\frac{n\left(F\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{6}{12}=\mathrm{0,5}$.

+ Với biến cố G: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp hoặc số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 5”. 

⇒G = {S1; S2; S3; S4; S5; S6; N5}.

⇒ n(G) = 7

⇒ $P\left(G\right)=\frac{n\left(G\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{7}{12}$.

Vậy P(F) = 0,5; P(G) = $\frac{7}{12}$.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Giải Toán 10 trang 83 Tập 2

Giải Toán 10 trang 84 Tập 2

Giải Toán 10 trang 85 Tập 2

Giải Toán 10 trang 86 Tập 2

Giải Toán 10 trang 87 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 9

Một số nội dung cho hoạt động trải nghiệm hình học

Ước tính số cá thể trong một quần thể

Bài tập cuối năm

Bài 1: Mệnh đề