Giải Toán 10 trang 74 Tập 2 Kết nối tri thức

Giải Toán 10 trang 74 Tập 2

Hoạt động 4 trang 74 Toán 10 Tập 2: Tương tự như HĐ3, sau khi khai triển (a + b)⁵, ta thu được một tổng gồm 2⁵ đơn thức có dạng x . y . z . t . u, trong đó mỗi kí hiệu x, y, z, t, u là a hoặc b. Chẳng hạn, nếu x, z là a, còn y, t, u là b thì ta có đơn thức a . b . a . b . b, thu gọn là a²b³. Để có đơn thức này, thì trong 5 nhân tử x, y, z, t, u có 3 nhân tử là b, 2 nhân tử còn lại là a. Khi đó số đơn thức đồng dạng với a²b³ trong tổng là $C_5^3$.

Lập luận tương tự như trên, dùng kiến thức về tổ hợp, hãy cho biết, trong tổng nhận được nêu trên có bao nhiêu đơn thức đồng dạng với mỗi đơn thức thu gọn sau:

• a⁵; • a⁴b; • a³b²; • a²b³; •ab⁴; •b⁵.

Lời giải

- Để có đơn thức a⁵ thì phải có 5 nhân tử a, khi đó số đơn thức đồng dạng với a⁵ trong tổng là: $C_5^0$ = 1;

- Để có đơn thức a⁴b thì phải có 4 nhân tử a, 1 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với a⁴b trong tổng là: $C_5^1$ = 5;

- Để có đơn thức a³b² thì phải có 3 nhân tử a, 2 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với a³b² trong tổng là: $C_5^2$ = 10;

- Để có đơn thức a²b³ thì phải có 2 nhân tử a, 3 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với a²b³ trong tổng là: $C_5^3$ = 10;

- Để có đơn thức ab⁴ thì phải có 1 nhân tử a, 4 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với ab⁴ là: $C_5^4$ = 5;

- Để có đơn thức b⁵ thì phải có 5 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với b⁵ trong tổng là: $C_5^5$ = 1.

Luyện tập 2 trang 74 Toán 10 Tập 2: Khai triển (3x – 2)⁵.

Lời giải

Thay a = 3x và b = – 2 trong công thức khai triển của (a + b)⁵ ta được:

(3x – 2)⁵ 

= (3x)⁵ + 5. (3x)⁴. (–2) + 10 . (3x)³ . (– 2)² + 10 . (3x)² . (– 2)³ + 5 . (3x) . (– 2)⁴ + (– 2)⁵

= 243x⁵ – 810x⁴ + 1080x³ – 720x² + 240x – 32.

Vận dụng trang 74 Toán 10 Tập 2:

a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 0,05)⁴ để tính giá trị gần đúng của 1,05⁴.

b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của 1,05⁴ và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.

Lời giải

a) Viết 1,05⁴ = (1 + 0,05)⁴.

Thay thế a = 1, b = 0,05 trong công thức khai triển (a + b)⁴ ta có:

1,05⁴ = (1 + 0,05)⁴ = 1⁴ + 4 . 1³ . 0,05 + 6 . 1² . 0,05² + 4 . 1 . 0,05³ + 0,05⁴.

1,05⁴ ≈ 1⁴ + 4 . 1³ . 0,05 = 1 + 0,2 = 1,2.

Vậy giá trị gần đúng của 1,05⁴ là 1,2.

b) Sử dụng máy tính cầm tay, ta kiểm tra được rằng: 1,05⁴ = 1,21550625.

Sai số tuyệt đối là: ∆ = |1,21550625 – 1,2| = 0,01550625.

B. Bài tập

Bài 8.12 trang 74 Toán 10 Tập 2: Khai triển các đa thức:

a) (x – 3)⁴;

b) (3x – 2y)⁴;

c) (x + 5)⁴ + (x – 5)⁴;

d) (x – 2y)⁵.

Lời giải

Áp dụng các công thức khai triển của (a + b)⁴  và (a + b)⁵.

a) (x – 3)⁴ 

= x⁴ + 4 . x³ . (–3) + 6 . x² . (–3)² + 4 . x . (–3)³ + (–3)⁴

= x⁴ – 12x³ + 54x² – 108x + 81.

b) (3x – 2y)⁴ 

= (3x)⁴ + 4 . (3x)³ . (– 2y) + 6 . (3x)² . (– 2y)² + 4 . (3x) . (– 2y)³ + (– 2y)⁴

= 81x⁴ – 216x³y + 216x²y² – 96xy³ + 16y⁴.

c) (x + 5)⁴ + (x – 5)⁴ 

= (x⁴ + 4x³ . 5 + 6x² . 5² + 4x . 5³ + 5⁴) + [x⁴ + 4x³ . (– 5) + 6x² . (– 5)² + 4x . (– 5)³ + (– 5)⁴]

= (x⁴ + x⁴) + (20x³ – 20x³) + (150x² + 150x²) + (500x – 500x) + (625 + 625)

= 2x⁴ + 300x² + 1250.

d) (x – 2y)⁵ 

= x⁵ + 5x⁴ . (– 2y) + 10x³ . (– 2y)² + 10x² . (– 2y)³ + 5x . (2y)⁴ + (– 2y)⁵

= x⁵ – 10x⁴y + 40x³y² – 80x²y³ + 80xy⁴ – 32y⁵.

Bài 8.13 trang 74 Toán 10 Tập 2: Tìm hệ số của x⁴ trong khai triển của (3x –1)⁵.

Lời giải

Số hạng chứa x⁴ là: 5 . (3x)⁴ . (– 1) = – 405x⁴.

Vậy hệ số của x⁴ trong khai triển của (3x – 1)⁵ là: – 405.

Bài 8.14 trang 74 Toán 10 Tập 2: Biểu diễn ${\left(3+\sqrt{2}\right)}^5-{\left(3-\sqrt{2}\right)}^5$ dưới dạng $a+b\sqrt{2}$ với a, b là các số nguyên.

Lời giải

Ta có:

${\left(3+\sqrt{2}\right)}^5=3^5+{5.3}^4.\sqrt{2}+{10.3}^3.{\left(\sqrt{2}\right)}^2+{10.3}^2.{\left(\sqrt{2}\right)}^3+\mathrm{5.3.}{\left(\sqrt{2}\right)}^4+{\left(\sqrt{2}\right)}^5$$=3^5+{5.3}^4.\sqrt{2}+{10.3}^3.2+{10.3}^2\mathrm{.2.}\sqrt{2}+\mathrm{5.3.4}+4\sqrt{2}$.

${\left(3-\sqrt{2}\right)}^5=3^5+{5.3}^4.\left(-\sqrt{2}\right)+{10.3}^3.{\left(-\sqrt{2}\right)}^2+{10.3}^2.{\left(-\sqrt{2}\right)}^3+\mathrm{5.3.}{\left(-\sqrt{2}\right)}^4+{\left(-\sqrt{2}\right)}^5$$=3^5-{5.3}^4.\sqrt{2}+{10.3}^3.2-{10.3}^2\mathrm{.2.}\sqrt{2}+\mathrm{5.3.4}-4\sqrt{2}$.

Suy ra: ${\left(3+\sqrt{2}\right)}^5-{\left(3-\sqrt{2}\right)}^5$$=2\left({5.3}^4.\sqrt{2}+{10.3}^2.2\sqrt{2}+4\sqrt{2}\right)$

$=2.589\sqrt{2}=1178\sqrt{2}$$=0+1178\sqrt{2}$.

Vậy biểu diễn ${\left(3+\sqrt{2}\right)}^5-{\left(3-\sqrt{2}\right)}^5$ dưới dạng $a+b\sqrt{2}$ với a, b là các số nguyên ta được $0+1178\sqrt{2}$.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Giải Toán 10 trang 72 Tập 2

Giải Toán 10 trang 73 Tập 2

Giải Toán 10 trang 74 Tập 2

Giải Toán 10 trang 75 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 8

Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất

Bài 27: Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

Bài tập cuối chương 9

Một số nội dung cho hoạt động trải nghiệm hình học