Giải Toán 10 trang 58 Tập 2 Kết nối tri thức

Giải Toán 10 trang 58 Tập 2

Bài 7.26 trang 58 Toán 10 Tập 2:

Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng?

A. 2x – y + 1 = 0;

B. $\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=t\end{array}\right.$;

C. x² + y² = 1;

D. y = 2x + 3.

Lời giải 

Ta thấy 2x – y + 1 = 0; y = 2x + 3 là phương trình tổng quát của đường thẳng. Do đó A, D sai.

Ta thấy x² + y² = 1 là phương trình đường tròn. Do đó C sai.

Phương trình $\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=t\end{array}\right.$ là phương trình tham số của đường thẳng. Do đó B đúng.

Vậy chọn đáp án B.

Bài 7.27 trang 58 Toán 10 Tập 2:

Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng?

A. –x – 2y + 3 = 0;

B. $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=3-t\end{array}\right.$;

C. y² = 2x;

D. $\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{6}=1$.

Lời giải 

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=3-t\end{array}\right.$ là phương trình tham số của đường thẳng. Do đó B sai.

 y² = 2x là phương trình chính tắc của parabol. Do đó C sai.

$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{6}=1$ là phương trình chính tắc của elip. Do đó D sai.

–x – 2y + 3 = 0 là phương trình tổng quát của đường thẳng. Do đó A đúng.

Vậy chọn đáp án A.

Bài 7.28 trang 58 Toán 10 Tập 2:

Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn ?

A. x² – y² = 1;

B. (x – 2)² – (y – 2)² = 1;

C. x² + y² = 2;

D. y² = 8x.

Lời giải 

 x² – y² =  1 có hệ hệ số của y² là – 1 ≠ 1 nên phương trình x² – y² =  1 không là phương trình đường tròn. Do đó A sai.

(x – 2)² – (y – 2)² = 1 không thoả mãn dạng của phương trình đường tròn (x – a)² + (y – b)² = R². Do đó B sai.

y² = 8x là phương trình chính tắc của parabol. Do đó D sai.

x² + y² = 2 là phương trình đường tròn có tâm I(0;0) và R = $\sqrt{2}$. Do đó C đúng.

Vậy chọn đáp án C.

Bài 7.29 trang 58 Toán 10 Tập 2:

Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường elip?

A. $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{9}=1$;

B. $\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{6}=1$;

C. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{1}=1$;

D. $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$

Lời giải 

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{9}=1$ có a =  b = 3 không thoả mãn điều kiện a > b > 0 nên $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{9}=1$ không là phương trình chính tắc của đường elip. Do đó A sai

$\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{6}=1$ có a = 1; b = $\sqrt{6}$mà a < b không thoả mãn điều kiện a > b > 0 nên $\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{6}=1$ không là phương trình chính tắc của đường elip. Do đó B sai

$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{1}=1$là phương trình hypebol. Do đó C sai

$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$ là phương trình elip vì a = $\sqrt{2}$; b = 1 nên a > b > 0. Do đó D đúng.

Vậy chọn đáp án D.

Bài 7.30 trang 58 Toán 10 Tập 2:

Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường hypebol?

A. $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{2}=-1$

B. $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{6}=1$

C. $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{1}=1$

D. $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=-1$

Lời giải 

$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{2}=-1$ không có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ nên không là phương trình chính tắc của đường hypebol. Do đó A sai

$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{1}=1$là phương trình elip. Do đó C sai

$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=-1$ không có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ nên không là phương trình chính tắc của đường hypebol. Do đó D sai

Đáp án : B. $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{6}=1$

Vì a = 1; b = $\sqrt{6}$⇒ c = $\sqrt{1+6}=\sqrt{7}$

 Ta có : 1 < $\sqrt{7}$ hay a <  c nên theo định nghĩa hypebol ta có: $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{6}=1$ là phương trình chính tắc của đường hypebol.

Vậy chọn đáp án B.

Bài 7.31 trang 58 Toán 10 Tập 2:

Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường parabol?

A. x² = 4y

B. x² = -6y

C. y² = 4x

D. y² = -4x

Lời giải 

Phương trình chính tắc của parabol có dạng y² = 2px (p > 0).

Ta thấy chỉ có đáp án C có phương trình dạng trên và thỏa mãn p = 2 > 0 ( thoả mãn điều kiện về phương trình chính tắc của parabol).

Vậy đáp án cần chọn là C.

B. Bài tập

Bài 7.32 trang 58 Toán 10 Tập 2:

Trong mặt phẳng toạ độ, cho A(1; −1), B(3; 5); C(−2; 4). Tính diện tích tam giác ABC

Lời giải 

Ta có: $\overrightarrow{CB}$= (5; 1) ⇒ BC = $\sqrt{5^2+1^2}$ = $\sqrt{26}$

Ta lại có $\overrightarrow{CB}$= (5; 1) là vectơ chỉ phương của đường thẳng BC nên vectơ pháp tuyến của BC là $\overrightarrow{n}$(−1; 5).

Đường thẳng BC đi qua điểm B(3; 5) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$(−1; 5), có phương trình là:

−1(x – 3) + 5(y − 5) = 0 ⇒ −x + 5y – 22 = 0

d(A; BC) = $\frac{\left|-1+5.(-1)–22\right|}{\sqrt{{(-1)}^2+5^2}}$= $\frac{14\sqrt{26}}{13}$.

Khi đó diện tích tam giác ABC là: S = $\frac{1}{2}$. d(A; BC). BC = $\frac{1}{2}$.$\frac{14\sqrt{26}}{13}$.$\sqrt{26}$ =14 (đvdt).

Vậy diện tích tam giác ABC là 14 đvdt.

Bài 7.33 trang 58 Toán 10 Tập 2:

Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai điểm A(−1; 0) và B(3; 1)

a) Viết phương trình đường tròn tâm A và đi qua B

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB

c) Viết phương trình đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB

Lời giải

a) Phương trình đường tròn tâm A có dạng : (x + 1)² + y² = R² (với R là bán kính của đường tròn tâm A).

Vì đường tròn đi qua điểm B(3; 1) nên (3 + 1)² + 1² = R² ⇒ R² = 17

Vậy phương trình đường tròn là: (x + 1)² + y² = 17

b) Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}$= (4; 1) nên vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$(−1; 4).

Vậy phương trình đường thẳng AB là: −1(x + 1) + 4(y – 0) = 0 hay –x + 4y −1 = 0.

c) Vì đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB nên

R = d(O; AB) = $\frac{\left|-0+4.0-1\right|}{\sqrt{{(-1)}^2+4^2}}$= $\frac{1}{\sqrt{17}}$

Vậy phương trình đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB là:

(x – 0)² + (y – 0)² = $\frac{1}{17}$ hay x² + y² = $\frac{1}{17}$.

Bài 7.34 trang 58 Toán 10 Tập 2:

Cho đường tròn (C) có phương trình x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0

a) Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của (C).

b) Chứng minh rằng điểm M(5; 1) thuộc (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M.

Lời giải 

a) Với phương trình x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0 hay x² + y² – 2.2x – 2.( –3) y + (– 12) = 0.

⇒ a = 2; b = –3; c = –12

Khi đó, tâm I(2; –3) và bán kinh R = $\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{2^2+{(-3)}^2+12}=5$

b) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường tròn (C) ta được:

5² + 1² – 4.5 + 6.1 – 12 = 0

⇔ 25 + 1 – 20 + 6 – 12 = 0

⇔ 0 = 0 (luôn đúng)

⇒  M(5; 1) ∈ (C).

Ta có: $\overrightarrow{IM}$= (3; 4)

Vì d là phương trình tiếp tuyến của (C) tại M nên IM ⊥ d, do đó đường thẳng d nhận $\overrightarrow{IM}$= (3; 4) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M(5; 1) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{IM}$= (3; 4) là:

3(x – 5) + 4(y – 1) = 0 ⇔ 3x + 4y – 19 = 0.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Giải Toán 10 trang 58 Tập 2

Giải Toán 10 trang 59 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 23: Quy tắc đếm

Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài 25: Nhị thức Newton

Bài tập cuối chương 8

Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất