Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Giải Toán 10 trang 59 Tập 2 Kết nối tri thức

    Với giải bài tập Toán lớp 10 trang 59 Tập 2 trong Bài tập cuối chương 7 sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 59 Tập 2.

    1 1,142 10/02/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Giải Toán 10 trang 59 Tập 2

    Bài 7.35 trang 59 Toán 10 Tập 2:

    Cho elip (E) : x2a2+y2b2=1(a > b > 0)

    a) Tìm các giao điểm A1, A2 của (E) với trục hoành và các giao điểm B1, B2 của (E) với trục tung. Tính A1A2; B1B2

    b) Xét một điểm bất kì M(x0; y0) thuộc (E).

    Chứng minh rằng: b2  ≤ x02+y02 ≤  a2 và b ≤ OM ≤ a

    Chú ý: A1A2; B1B2 tương ứng được là trục lớn, trục nhỏ của elip (E) và tương ứng có độ dài là 2a, 2b              

    Lời giải 

    a) Giao điểm của (E) với trục hoành có y = 0 nên x2a2+02b2=1 ⇒ x2 = a2 ⇒ x = ± a

    Do đó, giao điểm của (E) với trục hoành lần lượt là: A1(−a; 0),  A2(a; 0).

    ⇒ A1A2→2a;0 ⇒ A1A2 = (2a)2+02= 2a.

    Giao điểm của (E) với trục tung có x = 0 nên 02a2+y2b2=1 ⇒ y2  = b2 ⇒ y = ± b

    Do đó, giao điểm của (E) với trục tung lần lượt là: B1(0; −b),  B2(0; b).

    ⇒ B1B2→0;2b ⇒ B1B2 = 02+2b2= 2b.

    Vậy A1(−a; 0),  A2(a; 0), B1(0; −b),  B2(0; b), A1A2 = 2a, B1B2 = 2b.

    b) Vì M(x0; y0) thuộc (E) nên x02a2+y02b2=1

    Vì a > b > 0 nên x02a2≤x02b2 (Dấu “=” xảy ra khi x0 = 0)

    ⇔ x02a2+y02b2≤x02b2+y02b2 hay 1≤x02b2+y02b2=x02+y02b2 

    ⇒  b2  ≤ x02+y02 (1)

    Tương tự ta có: y02a2≤y02b2 (Dấu “=” xảy ra khi y0 = 0)

    ⇔x02a2+y02b2≥x02a2+y02a2 hay 1≥x02a2+y02a2 ⇒ x02+y02 ≤ a2 (2)

    Từ (1) và (2) suy ra: b2  ≤ x02+y02≤  a2 (đpcm)

    Mặt khác ta có: OM→= (x0; y0) ⟹ OM = x02+y02

    Mà b2  ≤ x02+y02≤  a2 ⇒  b ≤ x02+y02 ≤  a hay b ≤ OM ≤ a (đpcm).

    Bài 7.36 trang 59 Toán 10 Tập 2:

    Cho hypebol có phương trình : x2a2−y2b2=1

    a) Tìm các giao điểm A1, A2 của hypebol với trục hoành (hoành độ của A1 nhỏ hơn của A2).

    b) Chứng minh rằng, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì x ≤ –a, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì x ≥ a.

    c) Tìm các điểm M1, M2 tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trục tung của hyperbol để M1M2 nhỏ nhất.

    Lời giải 

    a) Giao điểm của (H) với trục hoành có y = 0 nên x2a2−02b2=1 ⇒ x2  = a2 ⇒ x = ± a;

    Hơn nữa hoành độ A1 nhỏ hơn hoành độ A2 nên ta có: A1(−a; 0),  A2(a; 0).

    Vậy tọa độ giao điểm của hypebol với trục hoành lần lượt là A1(−a; 0),  A2(a; 0).

    b) Ta có: x2a2−y2b2=1 

    ⇔ x2a2=1+y2b2 

    Mà y2b2≥ 0 nên x2a2≥1 hay x2 ≥ a2  

    ⇔ |x| ≥ |a|

    ⇔ x ≥ a hoặc x ≤ - a .

    Vậy điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì x ≤ 0 nên x ≤ –a, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì x ≥ 0 nên x ≥ a.

    b) Gọi toạ độ điểm M1(x1;y1),  M2(x2;y2), tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol. Khi đó x1 ≤ – a và x2 ≥ a.

    Ta có

    M1M2→x2−x1;y2−y1 ⇒ M1M2 = (x2−x1)2+(y2−y1)2;

     A1A2 = (a−(−a))2+(0−0)2 = 2a.

    Vì x1 < 0 và x2 > 0 nên x2 – x1 = x2+x1 (1)

    Mặt khác ta có: x1 ≤ –a  và x2  ≥  a ⇒ x2  ≥  a và x1 ≥  a

                                                            ⇒ x2+x1 ≥  a + a = 2a  (2)

    Từ (1) và (2) ta có: x2 – x1 ≥  2a ⇒ (x2 – x1)2 ≥  (2a)2  

    Ta lại có: (y2 – y1)2  ≥ 0

    ⇒  (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2  ≥  (2a)2  + 0 = (2a)2 

    ⇒ (x2−x1)2+(y2−y1)2 ≥  2a  hay M1M2 ≥ A1A2

    Vậy M1M2 nhỏ nhất khi M1M2 = A1A2

    Dấu “=” xảy ra khi diểm M1 ≡ A1(-a; 0) và  M2  ≡ A2(a; 0).

    Bài 7.37 trang 59 Toán 10 Tập 2:

    Một cột trụ hình hyperbol (H.7.36), có chiều cao 6m, chỗ nhỏ nhất ở chính giữa và rộng 0,8m, đỉnh cột và đáy cột đều rộng 1m. Tính độ rộng của cột ở độ cao 5m (Tính theo đơn vị mét và làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy).

    Giải Toán 10 (Kết nối tri thức): Bài tập cuối chương 7 (ảnh 1) 

    Lời giải 

    Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là chỗ nhỏ nhất ở chính giữa, như hình vẽ sau:

    Giải Toán 10 (Kết nối tri thức): Bài tập cuối chương 7 (ảnh 1) 

    Gọi A1, A2 lần lượt là giao điểm của hypebol với trục hoành mà O là trung điểm của A1A2 nên A1(−0,4 ; 0),  A2(0,4 ; 0) hay a = 0,4.

    Gọi phương trình hypebol của hình trụ có dạng : x20,42−y2b2=1.

    Gọi M là một điểm trên đỉnh cột nằm ở nhánh bên phải của trục tung hypebol. Ta có toạ độ điểm M(0,5; 3).

    Vì điểm M(0,5; 3) thuộc (H) nên 0,520,42−32b2=1

    ⇔2516−32b2=1

    ⇔32b2=2516−1=916 

    ⇒ b2 = 16

    Do đó phương trình hypebol của hình trụ đó là: x20,42−y216=1

    Tại vị trí 5m thì điểm đó cách trục hoành một khoảng bằng 2m nên ta có y = 2.

    Thay y = 2 vào phương trình hypebol ta được:

    x20,42−2216=1

    ⇔x20,42=2016

    ⇒ x2 = 0,2 ⇒x =0,2≈±0,45

    Vậy độ rộng tại vị trí có độ cao 5m xấp xỉ là: 0,45.2 = 0,9 m.

    Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

    Giải Toán 10 trang 58 Tập 2

    Giải Toán 10 trang 59 Tập 2

    Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

    Bài 23: Quy tắc đếm

    Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

    Bài 25: Nhị thức Newton

    Bài tập cuối chương 8

    Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất

    Tham khảo các loạt bài Toán 10 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 1,142 10/02/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: