Giải Toán 10 trang 59 Tập 2 Kết nối tri thức

Giải Toán 10 trang 59 Tập 2

Bài 7.35 trang 59 Toán 10 Tập 2:

Cho elip (E) : $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a > b > 0)

a) Tìm các giao điểm A₁, A₂ của (E) với trục hoành và các giao điểm B₁, B₂ của (E) với trục tung. Tính A₁A₂; B₁B₂

b) Xét một điểm bất kì M(x₀; y₀) thuộc (E).

Chứng minh rằng: b²  ≤ $x_0^2+y_0^2$ ≤  a² và b ≤ OM ≤ a

Chú ý: A₁A₂; B₁B₂ tương ứng được là trục lớn, trục nhỏ của elip (E) và tương ứng có độ dài là 2a, 2b              

Lời giải 

a) Giao điểm của (E) với trục hoành có y = 0 nên $\frac{x^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1$ ⇒ x² = a² ⇒ x = ± a

Do đó, giao điểm của (E) với trục hoành lần lượt là: A₁(−a; 0),  A₂(a; 0).

⇒ $\overrightarrow{A_1{A}_2}\left(2a;0\right)$ ⇒ A₁A₂ = $\sqrt{{\left(2a\right)}^2+0^2}$= 2a.

Giao điểm của (E) với trục tung có x = 0 nên $\frac{0^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ⇒ y²  = b² ⇒ y = ± b

Do đó, giao điểm của (E) với trục tung lần lượt là: B₁(0; −b),  B₂(0; b).

⇒ $\overrightarrow{B_1{B}_2}\left(0;2b\right)$ ⇒ B₁B₂ = $\sqrt{0^2+{\left(2b\right)}^2}$= 2b.

Vậy A₁(−a; 0),  A₂(a; 0), B₁(0; −b),  B₂(0; b), A₁A₂ = 2a, B₁B₂ = 2b.

b) Vì M(x₀; y₀) thuộc (E) nên $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$

Vì a > b > 0 nên $\frac{x_0^2}{a^2}\le \frac{x_0^2}{b^2}$ (Dấu “=” xảy ra khi x₀ = 0)

⇔ $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}\le \frac{x_0^2}{b^2}+\frac{y_0^2}{b^2}$ hay $1\le \frac{x_0^2}{b^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=\frac{x_0^2+y_0^2}{b^2}$ 

⇒  b²  ≤ $x_0^2+y_0^2$ (1)

Tương tự ta có: $\frac{y_0^2}{a^2}\le \frac{y_0^2}{b^2}$ (Dấu “=” xảy ra khi y₀ = 0)

⇔$\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}\ge \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{a^2}$ hay $1\ge \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{a^2}$ ⇒ $x_0^2+y_0^2$ ≤ a² (2)

Từ (1) và (2) suy ra: b²  ≤ $x_0^2+y_0^2$≤  a² (đpcm)

Mặt khác ta có: $\overrightarrow{OM}$= (x₀; y₀) ⟹ OM = $\sqrt{x_0^2+y_0^2}$

Mà b²  ≤ $x_0^2+y_0^2$≤  a² ⇒  b ≤ $\sqrt{x_0^2+y_0^2}$ ≤  a hay b ≤ OM ≤ a (đpcm).

Bài 7.36 trang 59 Toán 10 Tập 2:

Cho hypebol có phương trình : $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

a) Tìm các giao điểm A₁, A₂ của hypebol với trục hoành (hoành độ của A₁ nhỏ hơn của A₂).

b) Chứng minh rằng, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì x ≤ –a, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì x ≥ a.

c) Tìm các điểm M₁, M₂ tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trục tung của hyperbol để M₁M₂ nhỏ nhất.

Lời giải 

a) Giao điểm của (H) với trục hoành có y = 0 nên $\frac{x^2}{a^2}-\frac{0^2}{b^2}=1$ ⇒ x²  = a² ⇒ x = ± a;

Hơn nữa hoành độ A₁ nhỏ hơn hoành độ A₂ nên ta có: A₁(−a; 0),  A₂(a; 0).

Vậy tọa độ giao điểm của hypebol với trục hoành lần lượt là A₁(−a; 0),  A₂(a; 0).

b) Ta có: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 

⇔ $\frac{x^2}{a^2}=1+\frac{y^2}{b^2}$ 

Mà $\frac{y^2}{b^2}$≥ 0 nên $\frac{x^2}{a^2}\ge 1$ hay x² ≥ a²  

⇔ |x| ≥ |a|

⇔ x ≥ a hoặc x ≤ - a .

Vậy điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì x ≤ 0 nên x ≤ –a, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì x ≥ 0 nên x ≥ a.

b) Gọi toạ độ điểm M₁(x₁;y₁),  M₂(x₂;y₂), tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol. Khi đó x₁ ≤ – a và x₂ ≥ a.

Ta có

$\overrightarrow{M_1{M}_2}\left(x_2-x_1;y_2-y_1\right)$ ⇒ M₁M₂ = $\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$;

 A₁A₂ = $\sqrt{{(a-(-a\left)\right)}^2+{(0-0)}^2}$ = 2a.

Vì x₁ < 0 và x₂ > 0 nên x₂ – x₁ = $\left|x_2\right|$+$\left|x_1\right|$ (1)

Mặt khác ta có: x₁ ≤ –a  và x₂  ≥  a ⇒ $\left|x_2\right|$  ≥  a và $\left|x_1\right|$ ≥  a

                                                        ⇒ $\left|x_2\right|$+$\left|x_1\right|$ ≥  a + a = 2a  (2)

Từ (1) và (2) ta có: x₂ – x₁ ≥  2a ⇒ (x₂ – x₁)² ≥  (2a)²  

Ta lại có: (y₂ – y₁)²  ≥ 0

⇒  (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²  ≥  (2a)²  + 0 = (2a)² 

⇒ $\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$ ≥  2a  hay M₁M₂ ≥ A₁A₂

Vậy M₁M₂ nhỏ nhất khi M₁M₂ = A₁A₂

Dấu “=” xảy ra khi diểm M₁ ≡ A₁(-a; 0) và  M₂  ≡ A₂(a; 0).

Bài 7.37 trang 59 Toán 10 Tập 2:

Một cột trụ hình hyperbol (H.7.36), có chiều cao 6m, chỗ nhỏ nhất ở chính giữa và rộng 0,8m, đỉnh cột và đáy cột đều rộng 1m. Tính độ rộng của cột ở độ cao 5m (Tính theo đơn vị mét và làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy).

 

Lời giải 

Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là chỗ nhỏ nhất ở chính giữa, như hình vẽ sau:

 

Gọi A₁, A₂ lần lượt là giao điểm của hypebol với trục hoành mà O là trung điểm của A₁A₂ nên A₁(−0,4 ; 0),  A₂(0,4 ; 0) hay a = 0,4.

Gọi phương trình hypebol của hình trụ có dạng : $\frac{x^2}{{\mathrm{0,4}}^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.

Gọi M là một điểm trên đỉnh cột nằm ở nhánh bên phải của trục tung hypebol. Ta có toạ độ điểm M(0,5; 3).

Vì điểm M(0,5; 3) thuộc (H) nên $\frac{{\mathrm{0,5}}^2}{{\mathrm{0,4}}^2}-\frac{3^2}{b^2}=1$

⇔$\frac{25}{16}-\frac{3^2}{b^2}=1$

⇔$\frac{3^2}{b^2}=\frac{25}{16}-1=\frac{9}{16}$ 

⇒ b² = 16

Do đó phương trình hypebol của hình trụ đó là: $\frac{x^2}{{\mathrm{0,4}}^2}-\frac{y^2}{16}=1$

Tại vị trí 5m thì điểm đó cách trục hoành một khoảng bằng 2m nên ta có y = 2.

Thay y = 2 vào phương trình hypebol ta được:

$\frac{x^2}{{\mathrm{0,4}}^2}-\frac{2^2}{16}=1$

⇔$\frac{x^2}{{\mathrm{0,4}}^2}=\frac{20}{16}$

⇒ x² = 0,2 ⇒x =$\sqrt{\mathrm{0,2}}$≈±0,45

Vậy độ rộng tại vị trí có độ cao 5m xấp xỉ là: 0,45.2 = 0,9 m.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Giải Toán 10 trang 58 Tập 2

Giải Toán 10 trang 59 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 23: Quy tắc đếm

Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài 25: Nhị thức Newton

Bài tập cuối chương 8

Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất