Giải Toán 10 trang 47 Tập 2 Kết nối tri thức

Giải Toán 10 trang 47 Tập 2

Bài 7.15 trang 47 Toán 10 Tập 2:

Viết phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau:

a) Có tâm I(–2; 5) và bán kính R = 7;

b) Có tâm I(1; –2) và đi qua điểm A(–2; 2);

c) Có đường kính AB, với A(–1; –3), B(–3; 5);

d) Có tâm I(1;3) và tiếp xúc với đường thẳng x + 2y + 3 = 0.

Lời giải

a) Phương trình đường tròn (C) có tâm I(–2; 5) và bán kính R = 7 là:

 (x + 2)² + (y – 5)² = 49.

b) Phương trình đường tròn (C) có tâm I(1; –2) có dạng: (x – 1)² + (y + 2)² = R²

Vì (C) đi qua điểm A(–2; 2) nên (–2 – 1)² + (2 + 2)² = R² ⇒ R² = 25

 

Vậy phương trình đường tròn (C) là : (x – 1)² + (y +2)² = 25

c) Gọi I là tâm của đường tròn đường kính AB, do đó I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khi đó toạ độ tâm I là : $\left\{\begin{array}{l}{x}_I=\frac{-1-3}{2}=-2\\ y_I=\frac{-3+5}{2}=1\end{array}\right.$ ⇒ I (–2; 1).

⇒ $\overrightarrow{IA}=\left(1;-4\right)$

Bán kính R = IA = $\sqrt{1^2+{(-4)}^2}=\sqrt{17}$

Vậy phương trình đường tròn (C) có tâm I (–2; 1) và bán kính R = $\sqrt{17}$là:

(x + 2)² + (y – 1)² = 17.

d) Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng ∆: x + 2y + 3 = 0 nên

d(I; ∆) = R

⟺ $\frac{\left|\text{1 }+2.3\text{ + 3}\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=2\sqrt{5}$= R

Vậy hương trình đường tròn (C) có tâm I(1; 3) và bán kính R = $2\sqrt{5}$ là:

 (x – 1)² + (y – 3)² = 20.

Bài 7.16 trang 47 Toán 10 Tập 2:

Trong mặt phẳng toạ độ cho tam giác ABC, với A(6; –2); B(4; 2), C(5; –5). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Lời giải

Gọi I(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Khi đó $\overrightarrow{AI}\left(x-6;y+2\right)\Rightarrow AI=\sqrt{{(x-6)}^2+{(y+2)}^2}$;

$\overrightarrow{BI}\left(x-4;y-2\right)\Rightarrow BI=\sqrt{{(x-4)}^2+{(y-2)}^2}$;

$\overrightarrow{CI}\left(x-5;y+5\right)\Rightarrow CI=\sqrt{{(x-5)}^2+{(y+5)}^2}$.

Ta có AI = BI = CI = R. Từ đó ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}AI=BI\\ BI=CI\end{array}\right.$   

⇒$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{{(x-6)}^2+{(y+2)}^2}=\sqrt{{(x-4)}^2+{(y-2)}^2}\\ \sqrt{{(x-4)}^2+{(y-2)}^2}=\sqrt{{(x-5)}^2+{(y+5)}^2}\end{array}\right.$

⇒$\left\{\begin{array}{l}{(x-6)}^{2 }+ {(y+2)}^{2 }= {(x-4)}^{2 }+ {(y-2)}^2\\ {(x-4)}^{2 }+ {(y-2)}^2={(x-5)}^{2 }+ {(y+5)}^{2 }\end{array}\right.$

⇔$\left\{\begin{array}{l}-4x+8y+20=0\\ 2x-14y-30=0\end{array}\right.$

⇔$\left\{\begin{array}{l}-x+2y+5=0\\ x-7y-15=0\end{array}\right.$

Cộng 2 phương trình trong hệ trên vế theo vế ta được: –5y – 10 = 0 ⇒ y = –2

Thay y = –2 vào phương trình –x + 2y + 5 = 0 ta được: –x + 2(–2) + 5 = 0

 ⇒ –x + 1 = 0 hay x = 1

Do đó tâm I (1; –2) và bán kính R = IA = $\sqrt{{(1-6)}^2+{(-2+2)}^2}=5$

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: (x – 1)² + (y + 2)² = 25

Bài 7.17 trang 47 Toán 10 Tập 2:

Cho đường tròn (C): x² + y² + 2x – 4y + 4 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm M(0; 2).

Lời giải

Vì 0² + 2² + 2.0 – 4.2 + 4 = 0 nên điểm M thuộc (C)

Xét phương trình đường tròn (C): x²+ y² + 2x – 4y + 4 = 0

⇔ x² + y² – 2.(-1).x – 2.2.y + 4 = 0

⇒ a = -1, b = 2, c = 4

Do đó tâm I(–1; 2)

⇒ $\overrightarrow{IM}$= (1; 0)

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm M(0; 2) và nhận vectơ $\overrightarrow{IM}$= (1; 0) làm vectơ pháp tuyến là: 1(x – 0) + 0(y – 2) = 0 hay x = 0.

Vậy phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm M(0; 2) là x = 0.

Bài 7.18 trang 47 Toán 10 Tập 2:

Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt phẳng toạ độ. Theo đó, tại thời điểm t (0 ≤ t ≤ 180) vật thể ở vị trí có toạ độ ( 2 + sint°; 4 + cost°)

a) Tìm ví trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.

b) Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể.

Lời giải

a) Tại vị trí ban đầu tức là t = 0 vật thể ở vị trí có toạ độ (2 + sin0°; 4 + cos0°) = (2; 5).

Tại vị trí kết thúc tức là t = 180 vật thể ở vị trí có toạ độ

(2 + sin180°; 4 + cos180°) = (2; 3).

Vậy vị trí ban đầu có tọa độ là  (2; 5) và vị trí kết thức có tọa độ (2; 3).

b) Gọi A(x; y) là một điểm thuộc quỹ đạo chuyển động của vật thể

Ta có: x = 2 + sint° ⇒ sint° = x – 2

 y = 4 + cost° ⇒ cost° = y – 4

Mặt khác ta có : sin²t° + cos²t° = 1 ⇒ (x – 2)² + (y – 4)² = 1

Vậy quỹ đạo chuyển động của vật thể là đường tròn tâm I(2; 4) bán kính R = 1.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Giải Toán 10 trang 43 Tập 2

Giải Toán 10 trang 44 Tập 2

Giải Toán 10 trang 45 Tập 2

Giải Toán 10 trang 46 Tập 2

Giải Toán 10 trang 47 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 22: Ba đường Conic

Bài tập cuối chương 7

Bài 23: Quy tắc đếm

Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài 25: Nhị thức Newton