Giải Toán 10 trang 34 Tập 2 Kết nối tri thức

Giải Toán 10 trang 34 Tập 2

Vận dụng trang 34 Toán 10 Tập 2:

Việc quy đổi nhiệt độ giữa đơn vị độ C (Anders Celsius, 1701 – 1744) và đơn vị độ F (Daniel Fahrenheit, 1686 – 1736) được xác định bởi hai mốc sau:

Nước đóng băng ở 0ºC; 32ºF

Nước sôi ở 100ºC; 212ºF

Trong quy đổi đó, nếu aºC tương ứng với bºF thì trên mặt phẳng toạ độ Oxy, điểm M(a; b) thuộc đường thẳng đi qua A(0; 32) và B(100; 212). Hỏi 0ºF, 100ºF tương ứng với bao nhiêu độ C?

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}$= (100; 180)

Đường thẳng AB đi qua điểm A(0; 32) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$=$\frac{1}{20}\overrightarrow{AB}$= (5; 9) do đó vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$= (-9; 5). Vậy phương trình tổng quát là :

-9(x – 0) + 5(y – 32) = 0

⇔ –9x + 5y – 160 = 0

+ Với 0ºF tương ứng với y = 0 ta có: –9x + 5.0 – 160 = 0 suy ra x ≈ –17, 78

Suy ra 0ºF tương ứng với –17,78ºC.

+ Với 100ºF tương ứng với y = 100 ta có: –9x + 5.100 – 160 = 0 suy ra x ≈ 37,78

Suy ra 0ºF tương ứng với 37,78ºC.

Vậy 0°F tương ứng với  -17,78°C và 100°F tương ứng với  -37,78°C.

B. Bài tập

Bài 7.1 trang 34 Toán 10 Tập 2:

Trong mặt phẳng toạ độ, cho $\overrightarrow{n}$= (2; 1) , $\overrightarrow{v}$= (3; 2), A(1; 3), B(-2; 1).

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆₁ đi qua A và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$.

b) Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆₂ đi qua B và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{v}$.

c) Lập phương trình tham số của đường thẳng AB.

Lời giải

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆₁ đi qua A(1; 3) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$= (2; 1) là: 2(x – 1) + 1(y – 3) = 0

⇔ 2x – 2 + y – 3 = 0

⇔ 2x + y – 5 = 0

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆₁ là 2x + y – 5 = 0.

b) Phương trình tham số của đường thẳng ∆₂ đi qua B(-2; 1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{v}$= (3; 2) là: $\left\{\begin{array}{l}x=-2+3t\\ y=1+2t\end{array}\right.$.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆₂ là $\left\{\begin{array}{l}x=-2+3t\\ y=1+2t\end{array}\right.$.

c) Ta có: $\overrightarrow{BA}$= (3; 2)

Phương trình tham số của đường thẳng AB đi qua B(-2; 1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{BA}$= (3; 2) là: $\left\{\begin{array}{l}x=-2+3t\\ y=1+2t\end{array}\right.$.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng AB là $\left\{\begin{array}{l}x=-2+3t\\ y=1+2t\end{array}\right.$.

Bài 7.2 trang 34 Toán 10 Tập 2:

Lập phương trình tổng quát của các trục toạ độ

Lời giải

* Phương trình tổng quát của trục Ox đi qua điểm O(0; 0) và nhận vectơ đơn vị $\overrightarrow{j}$(0;1) làm VTPT là: 0.(x – 0) + 1.(y – 0) = 0 hay y = 0 .

* Phương trình tổng quát của trục Oy đi qua điểm O(0; 0) và nhận vectơ đơn vị $\overrightarrow{i}$(1; 0) làm VTPT là: 1.(x - 0) + 0.(y – 0) = 0 hay x = 0.

Bài 7.3 trang 34 Toán 10 Tập 2:

Cho hai đường thẳng ∆₁: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3+5t\end{array}\right.$ và ∆₂: 2x + 3y – 5 = 0.

a) Lập phương trình tổng quát của ∆₁.

b) Lập phương trình tham số của ∆₂.

Lời giải

a) Đường thẳng ∆₁ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}$(2; 5), do đó đường thẳng ∆₁ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}$(5; -2).

Lấy A(1; 3) là một điểm thuộc đường thẳng ∆₁

Suy ra phương trình tổng quát của ∆₁ đi qua điểm A(1; 3) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}$(5; -2) là: 5(x – 1) – 2(y – 3) = 0 ⇔ 5x – 5 – 2y + 6 = 0 hay 5x – 2y + 1 = 0.

Vậy

b) Đường thẳng ∆₂ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}$(2; 3), do đó đường thẳng ∆₁ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_2}$(3; -2)

Lấy M(1; 1) thuộc đường thẳng ∆₂: 2x + 3y – 5 = 0.

Do đó đường thẳng ∆₂ đi qua điểm M(1; 1) nhận vectơ $\overrightarrow{u_2}$(3; -2) là vectơ chỉ phương, phương trình tham số của ∆₂ là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=1-2t\end{array}\right.$

Bài 7.4 trang 34 Toán 10 Tập 2:

Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC có A(1; 2); B(3; 0) và C(-2; -1)

a) Lập phương trình đường cao kẻ từ A

b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ B

Lời giải

a) Gọi H là chân đường cao kẻ từ A xuống BC

Ta có : AH ⊥ BC nên đường thẳng AH nhận $\overrightarrow{CB}$= (5; 1) làm vectơ pháp tuyến

Suy ra phương tổng quát của đường thẳng AH đi qua điểm A(1; 2) và nhận $\overrightarrow{CB}$= (5; 1) làm VTPT là:

5(x – 1) + 1(y – 2) = 0

⟺ 5x – 5 + y – 2 = 0 hay 5x + y – 7 = 0.

Vậy phương trình đường cao kẻ từ A là 5x + y – 7 = 0.

b) Gọi M là trung điểm của AC

Ta có, toạ độ của điểm M là: $\left\{\begin{array}{l}{x}_M=\frac{x_A+x_C}{2}\\ y_M=\frac{y_A+y_C}{2}\end{array}\right.$  

                                         $\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_M=\frac{1-2}{2}=\frac{-1}{2}\\ y_M=\frac{2-1}{2}=\frac{1}{2}\end{array}\right.$ 

⇒ M $\left(\frac{-1}{2};\frac{1}{2}\right)$

⇒$\overrightarrow{MB}=\left(\frac{7}{2};\frac{-1}{2}\right)$

Lấy $\overrightarrow{u}$= $2\overrightarrow{MB}$= (7 ; -1). Khi đó $\overrightarrow{u}$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng BM.

Đường thẳng BM đi qua điểm B(3; 0) và nhận $\overrightarrow{u}$(7; -1) làm vectơ chỉ phương, phương trình tham số của đường thẳng BM là: $\left\{\begin{array}{l}x=3+7t\\ y=-t\end{array}\right.$.

Vậy phương trình tham số của đường trung tuyến kẻ từ B là: $\left\{\begin{array}{l}x=3+7t\\ y=-t\end{array}\right.$.

Bài 7.5 trang 34 Toán 10 Tập 2:

(Phương trình đoạn chắn của đường thẳng)

Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) với ab ≠ 0 (H7.3) có phương trình là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

 

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow{AB}$= (-a; b)

Đường thẳng AB nhận $\overrightarrow{AB}$= (-a; b) làm vectơ chỉ phương, do đó vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}$(b; a)

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng AB đi qua điểm A (a; 0) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$(b; a) là: b(x – a) + a(y – 0) = 0

⇔ bx + ay – ab = 0   (1)

Vì ab ≠ 0 nên chia cả 2 vế của (1) cho tích ab ta được: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}-1=0$ hay $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$.

Vậy phương trình đường thẳng AB là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$.

Bài 7.6 trang 34 Toán 10 Tập 2:

Theo Google Maps, sân bay Nội  Bài có vĩ độ 21,2º Bắc, kinh độ 105,8º Đông, sân bay Đà Nẵng có vĩ độ 16,1º Bắc, kinh độ 108,2º Đông. Một máy bay bay từ sân bay Nội Bài đến sân bay Đà Nẵng. Tại thời điểm t giờ, tính từ lúc xuất phát, máy bay ở vị trí có vĩ độ xº Bắc , kinh độ yº Đông được tính theo công thức:

$\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{21,2}-\frac{153}{40}t\\ y=\mathrm{105,8}+\frac{9}{5}t\end{array}\right.$

a) Hỏi chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất mấy giờ?

b) Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17 (17º Bắc) chưa?

Lời giải

a) Tại sân bay Đà Nẵng có vĩ độ 16,1$°$ Bắc, kinh độ 108,2^$°$ Đông tương ứng với x = 16,1; y = 108,2

Theo giả thiết ta có: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{16,1}=\mathrm{21,2}-\frac{153}{40}t\\ \mathrm{108,2}=\mathrm{105,8}+\frac{9}{5}t\end{array}\right.$ ⇒ t = $\frac{4}{3}$

Vậy chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất $\frac{4}{3}$ giờ.

b) Tại thời điểm 1 giờ tương ứng với t = 1 ta có: $\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{21,2}-\frac{153}{40}.1\\ y=\mathrm{105,8}+\frac{9}{5}.1\end{array}\right.$ ⇒ $\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{17,375}\\ y=\mathrm{107,6}\end{array}\right.$

Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh máy bay ở vị trí có vĩ độ 17,375º Bắc , kinh độ 107,6º Đông

Vậy tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17 (17º Bắc).

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 31 Tập 2

Giải Toán 10 trang 32 Tập 2

Giải Toán 10 trang 33 Tập 2

Giải Toán 10 trang 34 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách.

Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài 22: Ba đường Conic

Bài tập cuối chương 7

Bài 23: Quy tắc đếm